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課時作業(yè)(四)幾個基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練基礎(chǔ)1.已知函數(shù)f(x)=t2,g(x)=2cosx,則()A.f′(x)=0,g′(x)=-2sinxB.f′(x)=2t,g′(x)=-2sinxC.f′(x)=0,g′(x)=2sinxD.f′(x)=2t,g′(x)=2sinx2.已知f(x)=x3-2xf′(1),則f′(2)等于()A.11B.10C.8D.13.曲線y=eq\f(9,x)在點(3,3)處的切線的傾斜角為________.4.分別求出曲線y=eq\r(x)在(1,1)處與(2,eq\r(2))處的切線方程.提能力5.已知直線y=kx是y=lnx的切線,則k的值為()A.eq\f(1,2)B.-eq\f(1,2)C.eq\f(1,e)D.-eq\f(1,e)6.(多選)直線y=eq\f(1,2)x+b能作為下列函數(shù)圖象的切線的是()A.f(x)=eq\f(1,x)B.f(x)=x3C.f(x)=x2D.f(x)=-x27.曲線f(x)=ex在x=0處的切線與曲線g(x)=ax2-a(a≠0)相切于點P,則a=________,P的坐標(biāo)為________.8.求與曲線y=f(x)=eq\r(3,x2)在點P(8,4)處的切線垂直,且過點(4,8)的直線方程.9.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1.若曲線y=f(x)與y=g(x)在它們的交點(1,c)處有相同的切線,求實數(shù)a,b的值,并寫出切線l的方程.培優(yōu)生10.設(shè)f1(x)=sinx,f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,則f2022(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx11.已知兩條曲線y=sinx,y=cosx.是否存在這兩條曲線的一個公共點,使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直?并說明理由.課時作業(yè)(四)幾個基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.解析:因為f(x)=t2,g(x)=2cosx,則f′(x)=0,g′(x)=-2sinx.答案:A2.解析:由題意,函數(shù)f(x)=x3-2xf′(1),可得f′(x)=3x2-2f′(1),令x=1,可得f′(1)=3-2f′(1),解得f′(1)=1,所以f′(x)=3x2-2,所以f′(2)=3×22-2=10.答案:B3.解析:∵y′=-eq\f(9,x2),∴y′|x=3=-1,∴曲線在點(3,3)處的切線斜率為-1,即tanα=-1,其中α為傾斜角,因為α∈[0,π),所以α=eq\f(3π,4).答案:eq\f(3π,4)4.解析:f′(x)=(eq\r(x))′=eq\f(1,2)x-eq\f(1,2)=eq\f(1,2\r(x)),f′(1)=eq\f(1,2),所以曲線y=eq\r(x)在(1,1)處的切線方程為y-1=eq\f(1,2)(x-1),化簡為x-2y+1=0;同理f′(2)=eq\f(\r(2),4),所以曲線y=eq\r(x)在(2,eq\r(2))的切線方程為y-eq\r(2)=eq\f(\r(2),4)(x-2),化簡為x-2eq\r(2)y+2=0.5.解析:設(shè)切點為(x0,lnx0),對函數(shù)y=lnx求導(dǎo),則y′=eq\f(1,x),所以切線斜率為k=eq\f(1,x0),又因為直線y=kx是y=lnx的切線,所以lnx0=eq\f(1,x0)·x0=1?x0=e,所以k=eq\f(1,e).答案:C6.解析:若f(x)=eq\f(1,x),則f′(x)=-eq\f(1,x2),令-eq\f(1,x2)=eq\f(1,2),無解,故排除A;若f(x)=x3,則f′(x)=3x2,令3x2=eq\f(1,2),得x=±eq\f(\r(6),6),即曲線在點(eq\f(\r(6),6),eq\f(\r(6),36))與點(-eq\f(\r(6),6),-eq\f(\r(6),36))處的切線斜率為eq\f(1,2),B正確;若f(x)=x2,則f′(x)=2x,令2x=eq\f(1,2),得x=eq\f(1,4),故曲線在點(eq\f(1,4),eq\f(1,16))處的切線斜率為eq\f(1,2),C正確;若f(x)=-x2,則f′(x)=-2x,令-2x=eq\f(1,2),得x=-eq\f(1,4),故曲線在點(-eq\f(1,4),-eq\f(1,16))處的切線斜率為eq\f(1,2),D正確.答案:BCD7.解析:曲線f(x)=ex在x=0處的切線方程為y=x+1.設(shè)其與曲線g(x)=ax2-a(a≠0)相切于點(x0,axeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))-a),則g′(x0)=2ax0=1,且axeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))-a=x0+1.解得x0=-1,a=-eq\f(1,2),切點坐標(biāo)為(-1,0).答案:-eq\f(1,2)(-1,0)8.解析:因為y=eq\r(3,x2),所以y′=(eq\r(3,x2))′=(xeq\f(2,3))′=eq\f(2,3)x-eq\f(1,3),所以f′(8)=eq\f(2,3)×8-eq\f(1,3)=eq\f(1,3),即曲線在點P(8,4)處的切線的斜率為eq\f(1,3).所以所求直線的斜率為-3,從而所求直線方程為y-8=-3(x-4),即3x+y-20=0.9.解析:∵f(x)=eq\f(1,3)x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1,∴f′(x)=x2-a,g′(x)=2bx.∵曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,∴f(1)=g(1),且f′(1)=g′(1),即eq\f(1,3)-a=b+2b-1,且1-a=2b,解得a=eq\f(1,3),b=eq\f(1,3),得切點坐標(biāo)為(1,0).∴切線方程為y=eq\f(2,3)(x-1),即2x-3y-2=0.10.解析:∵f1(x)=sinx,∴f′1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=f′1(x)=cosx,f3(x)=f′2(x)=(cosx)′=-sinx,f4(x)=f′3(x)=(-sinx)′=-cosx,f5(x)=f′4(x)=(-cosx)′=sinx,由此可知f2022(x)=f2(x)=cosx.答案:C11.解析:不存在,理由如下:設(shè)這兩條曲線的一個公共點為P(x0,y0).由于y
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