新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)五十一正態(tài)分布北師大版選擇性必修第一冊

課時作業(yè)(五十一)正態(tài)分布[練基礎(chǔ)]1．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則a的值為()A.eq\f(7,3)B.eq\f(5,3)C．5D．32．若隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)，X在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1，p2，則p1，p2的關(guān)系為()A．p1>p2B．p1<p2C．p1＝p2D．不確定3．某廠生產(chǎn)的零件外徑ξ～N(10,0.04)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測得其外徑分別為9.9cm，9.3cm，則可認(rèn)為()A．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常B．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常C．上午、下午生產(chǎn)情況均正常D．上午、下午生產(chǎn)情況均異常4．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)等于()A．0.3B．0.35C．0.5D．0.75．某商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量ξ(單位：kg)服從正態(tài)分布N(10，σ2)，根據(jù)檢測結(jié)果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司為每位職工購買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有1000名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工數(shù)大約為()A．10B．20C．30D．406．[多選題]已知在某市的一次學(xué)情檢測中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(105,100)，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，下列說法正確的是()附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974.A．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的期望為105B．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為100C．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績及格率超過0.99D．該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等7．已知隨機變量落在區(qū)間(0.2，＋∞)內(nèi)的概率為0.5，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時達到最高點．8．若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544，設(shè)ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.1587，則σ＝________.9．某市有48000名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，從理論上講，在80分到90分之間有________人．10．生產(chǎn)工藝工程中產(chǎn)品的尺寸誤差X(單位：mm)～N(0，1.52)，如果產(chǎn)品的尺寸與規(guī)定的尺寸偏差的絕對值不超過1.5mm為合格品，求：(1)X的密度函數(shù)；(2)生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率．[提能力]11．[多選題]若隨機變量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立的有()A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)12．已知檢測某元件的測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，且ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4.任取這樣的元件100個，測量結(jié)果在(0,2)內(nèi)的元件個數(shù)的期望值為()A．40B．50C．80D．9013．某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：時)均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________．14．根據(jù)公共衛(wèi)生傳染病分析中心的研究，傳染病爆發(fā)疫情期間，如果不采取任何措施，則會出現(xiàn)感染者基數(shù)猛增，重癥擠兌，醫(yī)療資源負(fù)荷不堪承受的后果．如果采取公共衛(wèi)生強制措施，則會導(dǎo)致峰值下降，峰期后移．如圖，設(shè)不采取措施、采取措施情況下分別服從正態(tài)分布N(35,2)，N(70,8)，則峰期后移了________天，峰值下降了________%(注：正態(tài)分布的峰值計算公式為eq\f(1,\r(2π)σ))15．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.[培優(yōu)生]16．《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成．將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B＋、B、C＋、C、D＋、D、E共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N(60,169)．(1)求物理原始成績在區(qū)間(47,86)的人數(shù)；(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(附：若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997)課時作業(yè)(五十一)1．解析：∵ξ服從正態(tài)分布N(4，3)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，∴2a－3＋a＋2＝4×2，解得a＝3.答案：D2．解析：由正態(tài)曲線的對稱性及題意知：μ＝0，σ＝1，所以曲線關(guān)于直線x＝0對稱，所以p1＝p2.故選C.答案：C3．解析：因測量值ξ為隨機變量，又ξ～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，記I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4，10.6)，9.9∈I，9.3?I.∴上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常．故選A.答案：A4．解析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性及P(ξ<2)＝P(ξ>6)，得μ＝eq\f(2＋6,2)＝4，則P(2≤ξ<4)＝eq\f(1,2)P(2≤ξ<6)＝eq\f(1,2)×(1－0.15×2)＝0.35.故選B.答案：B5．解析：∵大米質(zhì)量ξ服從正態(tài)分布N(10，σ2)，∴正態(tài)曲線關(guān)于直線ξ＝10對稱，∵P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，∴P(ξ<9.9)＝eq\f(1－0.96,2)＝0.02，∴分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工數(shù)大約為0.02×1000＝20.故選B.答案：B6．解析：依題意μ＝105，σ＝10，2σ＝20，μ－2σ＝85.期望為105，選項A正確；方差為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，選項B錯誤；該市85分以上占1－eq\f(1－0.9544,2)＝0.9772，故C錯誤；由于eq\f(90＋120,2)＝105，根據(jù)對稱性可判斷選項D正確．答案：AD7．解析：由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱和隨機變量落在區(qū)間(0.2，＋∞)內(nèi)的概率為0.5，得μ＝0.2.∴正態(tài)曲線f(x)在x＝0.2時，達到最高點．答案：0.28．解析：∵P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，∴P(ξ≥μ＋σ)＝eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，∵ξ～N(1，σ2)，∴P(ξ≥1＋σ)＝0.1587，∴1＋σ＝3，即σ＝2.答案：29．解析：設(shè)X表示該市學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，則X～N(80，102)，則P(80－10<X≤80＋10)＝0.683.所以在80分到90分之間的人數(shù)為48000×eq\f(1,2)×0.683≈16392(人).答案：1639210．解析：(1)由題意知X～N(0，1.52)，即μ＝0，σ＝1.5，故密度函數(shù)φ(x)＝eq\f(1,1.5\r(2π))e－eq\f(x2,4.5).(2)設(shè)Y表示5件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，每件產(chǎn)品是合格品的概率為P(|X|≤1.5)＝P(－1.5≤X≤1.5)＝0.683，而Y～B(5，0.683)，合格率不小于80%，即Y≥5×0.8＝4，故P(Y≥4)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))×0.6834×(1－0.683)＋0.6835≈0.494.11．答案：AC12．解析：∵ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，由正態(tài)曲線的對稱性可知ξ在(1，2)內(nèi)取值的概率也為0.4，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.4＋0.4＝0.8，任取這樣的元件100個，測量結(jié)果在(0，2)內(nèi)的期望值為100×0.8＝80.故選C.答案：C13．解析：由三個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000，502)得，三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為p＝eq\f(1,2).使用壽命超過1000小時的元件1或元件2正常工作的概率為p1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4).那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為p2＝p1×p＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)14．解析：(1)由題意可知，峰期后移了70－35＝35(天)；(2)峰值下降了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2π)×\r(2))－\f(1,\r(2π)×\r(8))))÷eq\f(1,\r(2π)×\r(2))＝eq\f(1,2)＝50%.答案：355015．解析：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)由(1)知，Z～N(200，150)，所以P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.16．解析：(1)因為物理原始成績ξ～N(60，132)，所以P(47<ξ<86)＝P(47<ξ<60)＋P(60≤ξ<86)＝eq\f(1,2)P(60－13<ξ<60＋13)＋eq\f(1,2)P(60－2×13≤ξ<60＋2×13)＝eq\f(0.682,2)＋eq\f(0.954,2)＝0.818.所以物理原始成績在(47，86)的人數(shù)為2000×0.818＝1636(人).(2)由題意得，隨機抽取1人，其成績在區(qū)間[61，80]內(nèi)的概率為eq\f(2,5).所以隨機抽取三人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·eq\f(2,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\u