微積分吳傳生版高等數(shù)學(xué)課件

微積分吳傳生版高等數(shù)學(xué)課件2024-01-25緒論極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分積分學(xué)微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重積分與曲線積分目錄01緒論函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、圖像、極限、連續(xù)性等。積分學(xué)研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的累積效應(yīng)，即定積分。微分學(xué)研究函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，即導(dǎo)數(shù)。微積分的研究對(duì)象123古希臘時(shí)期，阿基米德利用窮竭法計(jì)算面積和體積，中國(guó)南北朝時(shí)期，祖沖之父子利用割圓術(shù)計(jì)算圓周率。古代微積分思想的萌芽牛頓和萊布尼茲分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)，其中牛頓注重物理應(yīng)用，萊布尼茲注重?cái)?shù)學(xué)形式。17世紀(jì)微積分的創(chuàng)立歐拉、拉格朗日等人對(duì)微積分進(jìn)行了嚴(yán)格化處理，建立了實(shí)數(shù)理論和極限理論，為微積分學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。18世紀(jì)微積分的嚴(yán)格化微積分的發(fā)展歷史微分思想通過(guò)局部以直代曲的方法，用切線的斜率近似代替函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。積分思想通過(guò)分割、近似、求和、取極限的方法，將曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算。微積分基本定理揭示了微分與積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，即定積分等于被積函數(shù)的原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量。微積分的基本思想02極限與連續(xù)03左右極限函數(shù)在某一點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)極限的定義及性質(zhì)。01極限的定義描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處的變化趨勢(shì)。02極限的性質(zhì)唯一性、局部有界性、保號(hào)性、四則運(yùn)算法則。極限的概念與性質(zhì)極限的四則運(yùn)算法則加法、減法、乘法、除法的極限運(yùn)算法則。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義、性質(zhì)及比較。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限的求解方法。極限的運(yùn)算法則函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義及性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)的定義間斷點(diǎn)的定義及分類，包括第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)及其分類連續(xù)性、介值性、最大值最小值定理等。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)03導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)分別表示函數(shù)在某一點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)的變化趨勢(shì)，用于判斷函數(shù)在該點(diǎn)的可導(dǎo)性。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，即切線的傾斜程度?？蓪?dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。可導(dǎo)是比連續(xù)更強(qiáng)的條件。導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)四則運(yùn)算法則介紹了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。高階導(dǎo)數(shù)討論了函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)及其計(jì)算方法，包括萊布尼茲公式等?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則微分的概念與性質(zhì)微分的定義微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部變化量的線性近似，即函數(shù)的局部線性化。微分的幾何意義微分在幾何上表示曲線在某一點(diǎn)處的切線的縱截距，即切線的垂直距離。微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分是導(dǎo)數(shù)乘以自變量的增量，即dy=f'(x)dx，其中f'(x)是函數(shù)y=f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)。微分的基本公式與運(yùn)算法則介紹了微分的基本公式，如dx^n=nx^(n-1)dx等，以及微分的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的微分法則。04積分學(xué)01定積分是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的積分，表示函數(shù)圖像與x軸所圍成的面積。定積分的定義02定積分具有線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式等性質(zhì)。定積分的性質(zhì)03定積分可以表示平面圖形的面積、空間圖形的體積等。定積分的幾何意義定積分的概念與性質(zhì)牛頓-萊布尼茲公式通過(guò)求解被積函數(shù)的原函數(shù)，并利用區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算定積分。換元法通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化被積函數(shù)，從而更容易求解定積分。分部積分法將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，并分別對(duì)其求導(dǎo)和積分，從而求解定積分。定積分的計(jì)算法則廣義積分的計(jì)算通過(guò)變量代換或分部積分等方法，將廣義積分轉(zhuǎn)化為普通定積分進(jìn)行計(jì)算。含參變量積分的計(jì)算通過(guò)求導(dǎo)或微分等方法，將含參變量積分轉(zhuǎn)化為普通定積分進(jìn)行計(jì)算，并得出參數(shù)對(duì)積分結(jié)果的影響。含參變量積分的概念含參變量積分是指被積函數(shù)中含有除積分變量外的其他參數(shù)，且這些參數(shù)對(duì)積分結(jié)果有影響。廣義積分的概念廣義積分是指積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間或被積函數(shù)在有限區(qū)間上有瑕點(diǎn)的定積分。廣義積分與含參變量積分05微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等，則至少存在一點(diǎn)使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值之差與區(qū)間長(zhǎng)度的商。柯西中值定理如果兩個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不為零，則至少存在一點(diǎn)使得兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之比等于區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值之比。羅爾定理洛必達(dá)法則與泰勒公式在一定條件下，通過(guò)求導(dǎo)可以簡(jiǎn)化兩個(gè)函數(shù)之比的極限運(yùn)算。具體地，如果兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限都存在或?yàn)闊o(wú)窮大，且兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的極限存在，則原函數(shù)的極限等于導(dǎo)數(shù)的極限。洛必達(dá)法則用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表示一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)附近的性態(tài)。具體地，如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)具有各階導(dǎo)數(shù)，則可以構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式，使得該多項(xiàng)式在該點(diǎn)及其附近與函數(shù)具有相同的性態(tài)。泰勒公式單調(diào)性與極值通過(guò)導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值。具體地，如果函數(shù)在某區(qū)間的導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)增加；如果導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)減少。同時(shí)，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。凹凸性與拐點(diǎn)通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn)。具體地，如果函數(shù)在某區(qū)間的二階導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間為凹函數(shù)；如果二階導(dǎo)數(shù)小于零，則為凸函數(shù)。同時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是函數(shù)的拐點(diǎn)。函數(shù)圖像的描繪通過(guò)導(dǎo)數(shù)可以描繪出函數(shù)的圖像。具體地，可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性和拐點(diǎn)等信息，大致描繪出函數(shù)的圖像形狀。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性態(tài)研究中的應(yīng)用06重積分與曲線積分在平面區(qū)域上，對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行積分的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算。二重積分的定義包括線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式等。二重積分的性質(zhì)表示以二元函數(shù)為頂面、以平面區(qū)域?yàn)榈酌娴那斨w的體積。二重積分的幾何意義二重積分的概念與性質(zhì)直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算法則通過(guò)累次積分進(jìn)行計(jì)算，先對(duì)其中一個(gè)變量進(jìn)行積分，再對(duì)另一個(gè)變量進(jìn)行積分。極坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算法則將平面區(qū)域轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的形式，然后進(jìn)行累次積分。二重積分的換元法通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算。二重積分的計(jì)算法則030201ABCD三重積分與曲線積分簡(jiǎn)介三重積分的概念在空間區(qū)域上，對(duì)三元函數(shù)進(jìn)行積