(1.10)-5.2 無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

5.3無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

IIR網(wǎng)絡(luò)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有三種，即直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型。1．直接型將N階差分方程重寫(xiě)如下：對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為對(duì)于差分方程：y(n)由兩部分組成：

第一部分是表示將輸出y(n)加以延時(shí)，組成N節(jié)延時(shí)結(jié)構(gòu)，加權(quán)相加，由于含有延時(shí)部分，是一個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò)。

第二部分表示將輸入x(n)及延時(shí)后的輸入，組成一個(gè)M節(jié)延時(shí)結(jié)構(gòu)，加權(quán)相加，是一個(gè)橫向網(wǎng)絡(luò)。

其方框圖結(jié)構(gòu)如下：Z-1Z-1x(n)y(n)a1a2b0改為流圖表示。怎么畫(huà)圖？

設(shè)M=N=2，差分方程為畫(huà)出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2x(n)x(n-1)x(n-2)y(n)y(n-1)y(n-2)H1(z)H2(z)圖5.3.1(a)先零點(diǎn)后極點(diǎn)=H1(z)·H2(z)根據(jù)交換律，也可以寫(xiě)成H(z)=H2(z)·H1(z),按照該式，相當(dāng)于將圖5.3.1(a)中兩部分流圖交換位置，如圖5.3.1(b)所示。x(n)y(n)b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2w2w1H2(z)H1(z)圖5.3.1(b)先極點(diǎn)后零點(diǎn)=H2(z)·H1(z)b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2x(n)x(n-1)x(n-2)y(n)y(n-1)y(n-2)H1(z)H2(z)圖5.3.1(a)該圖中節(jié)點(diǎn)變量w1=w2，因此前后兩部分的延時(shí)支路可以合并。x(n)y(n)b0b1b2z-1z-1z-1z-1a1a2w2w1H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z-1z-1圖5.3.1(c)合并形成如圖5.3.1(c)所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖，我們將圖5.3.1(c)所示的這類流圖稱為IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。M=N=2時(shí)的系統(tǒng)函數(shù)為對(duì)照?qǐng)D5.3.1(c)的各支路的增益系數(shù)與H(z)分母分子多項(xiàng)式的系數(shù)可見(jiàn)，可以直接按照H(z)畫(huà)出直接型結(jié)構(gòu)流圖。圖5.3.1IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu)【例5.3.1】設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫(huà)出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。

解由H(z)寫(xiě)出差分方程如下：按照差分方程畫(huà)出如圖5.3.2所示的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。圖5.3.2例5.3.1圖上面我們按照差分方程畫(huà)出了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，也可以按照H(z)表達(dá)式，直接畫(huà)出直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這里需要用到Masson公式。下面講述直接型的MATLAB的表示與實(shí)現(xiàn)。在MATLAB中，直接型結(jié)構(gòu)由2個(gè)行向量B和A表示，B和A與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系如下：A=[a0,a1,a2,…,aN],

B=[b0,b1,b2,…,bM]則直接型系統(tǒng)函數(shù)為調(diào)用1.4.2節(jié)介紹的MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)filter就是按照直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波器。如果濾波器輸入信號(hào)向量為xn，輸出信號(hào)向量為yn，則yn=filter(B,A,xn)按照直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)xn的濾波，計(jì)算系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)向量xn的零狀態(tài)響應(yīng)輸出信號(hào)向量yn，yn與xn長(zhǎng)度相等。2．級(jí)聯(lián)型在(5.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子、分母均為多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)?，F(xiàn)將分子、分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得到：（5.3.1）式中：A是常數(shù);cr和dr分別表示H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。由于多項(xiàng)式的系數(shù)是實(shí)數(shù)，cr和dr是實(shí)數(shù)或者是共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)，將共軛成對(duì)的零點(diǎn)（極點(diǎn)）放在一起，形成一個(gè)二階多項(xiàng)式，其系數(shù)仍為實(shí)數(shù)；再將分子、分母均為實(shí)系數(shù)的二階多項(xiàng)式放在一起，形成一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)。（5.3.2）式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均為實(shí)數(shù)。這樣H(z)就分解成一些一階或二階的子系統(tǒng)函數(shù)的相乘形式：

式中Ｈi(z)表示一個(gè)一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的子系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5.3.3所示，H(z)則由k個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成。Hj(z)如下式：（5.3.3）(a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖5.3.3一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)【例5.3.2】設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：試畫(huà)出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

解將H(z)的分子、分母進(jìn)行因式分解，得到：為減少單位延遲的數(shù)目，將一階的分子、分母多項(xiàng)式組成一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)，二階的分子、分母多項(xiàng)式組成一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，畫(huà)出級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖如圖5.3.4所示。圖5.3.4例5.3.2圖級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)零點(diǎn)、一對(duì)極點(diǎn)。在（5.3.2）式中，調(diào)整β0j、β1j和β2j三個(gè)系數(shù)可以改變一對(duì)零點(diǎn)的位置，調(diào)整α1j和α2j可以改變一對(duì)極點(diǎn)的位置。因此，相對(duì)直接型結(jié)構(gòu)，其優(yōu)點(diǎn)是調(diào)整方便。此外，級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會(huì)再流到前面，運(yùn)算誤差的積累相對(duì)直接型也小。3．并聯(lián)型（略）如果將級(jí)聯(lián)形式的H(z)展成部分分式形式，則得到：（5.3.4）對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為這k個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)。上式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)或二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是實(shí)數(shù)。如果β1i=α2i=0，則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由（5.3.4）式，其輸出Y(z)表示為上式表明將x(n)送入每個(gè)二階（包括一階）網(wǎng)絡(luò)后，將所有輸出加起來(lái)得到輸出y(n)。【例5.3.3】畫(huà)出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.3.5所示。圖5.3.5例5.3.3圖在這種并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對(duì)共軛極點(diǎn)，因此調(diào)整極點(diǎn)位置方便，但調(diào)整零點(diǎn)位置不如級(jí)聯(lián)型方便。另外，各個(gè)基本網(wǎng)絡(luò)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運(yùn)算誤差互不影響，不像直接型和級(jí)聯(lián)型那樣有誤差積累，因此，并聯(lián)形式運(yùn)算誤差最小。由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，可同時(shí)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)與直接型和級(jí)聯(lián)型比較，其運(yùn)算速度最高。

MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了14種線性系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變換函數(shù)，實(shí)現(xiàn)各種結(jié)構(gòu)之間的變換?？上鄙俨⒙?lián)結(jié)構(gòu)于其他結(jié)構(gòu)之間的變換函數(shù)，參考文獻(xiàn)[10，18]中開(kāi)發(fā)了直接型與并聯(lián)型的相互變換函數(shù)tf2par和par2tf。本書(shū)涉及的3種常用結(jié)構(gòu)（直接型、級(jí)聯(lián)型、格型）之間的變換函數(shù)有如下4種：

(1)tf2sos直接型到級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)變換。

(2)sos2tf級(jí)聯(lián)型到直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換。

(3)tf2latc直接型到格型結(jié)構(gòu)變換。

(4)latc2tf格型到直接型結(jié)構(gòu)變換。下面先簡(jiǎn)要介紹變換函數(shù)tf2sos和sos2tf及其調(diào)用格式，tf2latc和latc2tf在5.7節(jié)介紹。

(1)[S,G]=tf2sos(B,A):實(shí)現(xiàn)直接型到級(jí)聯(lián)型的變換。B和A分別為直接型系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量，當(dāng)A=1時(shí)，表示FIR系統(tǒng)函數(shù)。返回L級(jí)二階級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣S和增益常數(shù)G。S為L(zhǎng)×6矩陣，每一行表示一個(gè)二階子系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)向量，第k行對(duì)應(yīng)的2階系統(tǒng)函數(shù)為級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=H1(z)H2(z)…HL(z)例5.3.2的求解程序如下：

B=[8，-4，11，-2]；

A=[1，-1.25，0.75，-0.125]；

[S，G]=tf2sos(B,A)運(yùn)行結(jié)果：S=1.0000-0.190001.0000