2020-2021學(xué)年高三（下）月考數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年北京市海淀區(qū)育英中學(xué)高三（下）月考數(shù)學(xué)試卷

（3月份）

一、選擇題（共10小題）.

1.已知?dú)v={尤|4-。=0},N={x\ax-1=0},若MGN=M則實(shí)數(shù)"的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.0或1或-1

2.設(shè)m〃為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)里-=l+i，貝I（）

a+bi

2112

A.a=~，b=-B.。=3,h=1C.=—,b=-D.a=1,b=3

22a22

3.己知x>y,則下列各不等式中一定成立的是（）

A.x2>y1B.—

xy

4.直線/：y=kx+｝與圓O：/+尸=1相交于A,B兩點(diǎn)，則“k=1”是"|研|=&"的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的所有棱長(zhǎng)構(gòu)成的集合為（）

A.[2,4,2加，6}B.[2,4,2巡，6}

C.[2,4,2遙，472>6}D.{2,4,2巡，4^}

a2一a1

6.已知數(shù)列1,0,42,4成等差數(shù)列，1,bl,出"3,4成等比數(shù)列，則上-1的值是（）

b2

A.—B.--C.—-—D.—

22224

jr

7.已知函數(shù)f（x）=asinx-2j§cosx的一條對(duì)稱軸為——，/（?）tf（x2）=0,且函數(shù)

6

/（X）在（xi,X2）上具有單調(diào)性，則|羽+刈的最小值為（）

8.已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形A8COEF內(nèi)的一點(diǎn)，則屈?標(biāo)的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)

9.日唇是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到唇面的影子來(lái)測(cè)定

時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為。)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指04與地球赤道所

在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與0A垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日

唇，若凸面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則號(hào)針與點(diǎn)A處的水平面

所成角為()

10.若函數(shù)/(無(wú))圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)(A,B)稱為函數(shù)f(x)

的“友好點(diǎn)對(duì)”且點(diǎn)對(duì)(A,B)與(B,A)可看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”.若函數(shù)/CO

x2+2ex,+m_l,x《0

=，2(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e-2.718)恰好有兩個(gè)“友好點(diǎn)

x+^->x>0

X

對(duì)”則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為()

A.mW(e-1)2B.m>(e-1)2C.m<(e-1)2D.(e-1)2

二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分.)

H.(X-去)12展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

VX

12.在△ABC中，a=5,c=7,cosC=]，貝I%=_____，△ABC的面積為_(kāi)______.

5

13.過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為、行的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，/

為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在/上且MN，/,則M到直線N尸的距離為.

22

14.雙曲線號(hào)-3Ka>。，b>0)的右焦點(diǎn)為F[(2&,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),

點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且△入2「1周長(zhǎng)的最小值為8,則雙曲線的離心率為

15.如圖，正方體ABC。-A山CQi的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)0為底面A8C￡>的中心，點(diǎn)尸在側(cè)面

BBCiC的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若力IOLOP,則△AGP面積的最大值為

三、解答題(共6小題，共85分.)

16.如圖，直四棱柱ABC。-AiBiCQi的底面是菱形，A4i=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

M,N分別是8C,BB\,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE：

(2)求二面角A-M4-N的正弦值.

17.已知函數(shù)f(x)=asin(2x?^-)-2cos?(a>0),且滿足--------

(I)求函數(shù)/(x)的解析式及最小正周期；

(II)若關(guān)于x的方程f(x)=1在區(qū)間［0,加上有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

從①/(x)的最大值為1，(gy(%)的圖象與直線y=-3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于死

③/(X)的圖象過(guò)點(diǎn)(；，0)這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.

18.為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，弘揚(yáng)奧林匹克精神，北京市多所中小學(xué)校開(kāi)展了模擬冬奧

會(huì)各項(xiàng)比賽的活動(dòng).為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)中的參與情況，在北京市

中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如下：

(I)現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查.求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪

人數(shù)都超過(guò)40人的概率；

(II)現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記X為教練

選中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)某校聘請(qǐng)了一名越野滑輪教練，對(duì)高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個(gè)動(dòng)作進(jìn)

行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在

指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0」.在指導(dǎo)后的考核中，

甲同學(xué)總考核成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了

變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知/(x)=e'+sinx+ax(aGR).

(I)當(dāng)a--2時(shí)，求證：/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；

(II)若對(duì)任意x20,/(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(III)若/(X)有最小值，請(qǐng)直接給出實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22_

20.已知橢圓C：的左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離為遙.

4bZ

(I)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(II)點(diǎn)P在橢圓C上，線段AP的垂直平分線分別與線段AP、x軸、y軸相交于不同

的三點(diǎn)M,H,Q.

(i)求證：點(diǎn)M,。關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱；

(ii)若△PAQ為直角三角形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

21.首項(xiàng)為0的無(wú)窮數(shù)列｛m｝同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：

①以"+1-飆|=〃；②an《當(dāng)工

（I）請(qǐng)直接寫出“4的所有可能值；

（II）記瓦=3，若瓦V瓦+i對(duì)任意成立,求｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

（III）對(duì)于給定的正整數(shù)%,求0+S+…+以的最大值.

參考答案

一、選擇題（共10小題）.

1.己知M={x|x-a=0},N={x\ax-1=0},若MCN=N,則實(shí)數(shù)“的值為（)

A.1B.-1C.1或-1D.0或1或-1

解：根據(jù)題意，分析可得，

M是x-a=0的解集，而x-a=0=x=a；

故知={〃},

若MCIN=N,則NUM,

(l)N—0,則”=0；

②NW0,則有N=｛』，

a

必有工=〃，

a

解可得，。=±1；

綜合可得，。=0,1,-1；

故選：D.

2.設(shè)mb為實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)L2=i+i，則（）

a+bi

3112

A.=—,b=-B.。=3,b=lC.4=—,b=—D.ci=1,b=3

a2222

解：由I*21=]+j可得l+2i=Qa-b)+(〃+b)i,所以01,解得b=^z~,

a+bila+b=222

故選：A.

3.已知x>y,則下列各不等式中一定成立的是（）

A.x2>y2B.—>—

xy

xy

C(|)x|)D.y+3~y>2

解：由取x=l,y=-l可排除AC,

取x=2,y=l可排除8.

故選：D.

4.直線/：y=kx+\與圓O：N+）,2=I相交于A,B兩點(diǎn),則“仁1”是“|AB|二加”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：圓心到直線的距離d=~~r1--

當(dāng)k=l時(shí)，d=-^,|AB|=2喙=加,

V2

即充分性成立，

若|AB|=如,則|的=2五2_~2=2yji-a2=&，

1+公=2,即42=],

則2士1,

即"=1"是"|郎|=加"的充分不必要條件，

故選：A.

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的所有棱長(zhǎng)構(gòu)成的集合為（）

A.[2,4,2M,6}B.[2,4,2疾,6}

C.[2,4,2“，442>6}D.[2,4,2遙，473）

解：根據(jù)幾何體得三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：

該幾何體的下底面為腰長(zhǎng)為2代，底為4的等腰三角形.

故：利用勾股定理：

解得：各棱長(zhǎng)為：4,yj42+22=2A/5,442+（2粕）2=6,V42+42=4V2,

故選：C.

a?一a1

6.己知數(shù)列1,0,42,4成等差數(shù)列，1,bl,日歷，4成等比數(shù)列，則上~的值是（）

b2

A.—B.--C.—sg--D.—

22224

解：；1,alt及，4成等差數(shù)列,

.,.3d—4-1=3,即d=l,

Cl2~ai=d-1>

又1,b\,b2,歷，4成等比數(shù)列，

.,.岳2=6163=1X4=4,解得歷=±2,

又歷2=歷>（）,，歷二？，

a2-a1_1

則――了

故選：A.

7,已知函數(shù)f（x）=asinx-2jEcosx的一條對(duì)稱軸為x=Y-，/（xi）（X2）=0,且函數(shù)

6

f（X）在（XI,X2）上具有單調(diào)性，則田+X2|的最小值為（）

D.”

3

解：函數(shù)f（數(shù)二asinx-2?cosx=0@2+1不吊（x+0）其中tan0=_2、3

a

jr

函數(shù)/（X）的一條對(duì)稱軸為乂二一，

6

可得/（2yX^y-=±7a2+12

解得：a=2.

.??。=號(hào)

TT

對(duì)稱中心對(duì)稱橫坐標(biāo)X--^-=匕1,

TT

可得x=k兀+3-,k&L.

又/（?）4/（X2）=0,且函數(shù)/（X）在（為，X2）上具有單調(diào)性.

\x\+x2\=2\k+—-\

3

當(dāng)《=o時(shí)，可得M+X2|=2；

o

故選：C.

8.已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形A8COE/內(nèi)的一點(diǎn)，則而?標(biāo)的取值范圍是()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)

解：畫出圖形如圖，

AP,AB=|AP||AB|cos<AP,族〉?，它的幾何意義是AB的長(zhǎng)度與屈在正向量的投

影的乘積，顯然，P在C處時(shí)，取得最大值，|正|cos/CAB=|Q|4|=3，可

得后而=屈I?|cos<m,AB>=2X3=6,最大值為6,

在F處取得最小值，|AP||AB|cos<AP,AB>=-2X2X--2,最小

值為-2,

P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，

所以屈,標(biāo)的取值范圍是(-2,6)?

故選：A.

9.日號(hào)是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與唇面垂直的辱針投射到唇面的影子來(lái)測(cè)定

時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為。)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指04與地球赤道所

在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與0A垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日

唇，若號(hào)而與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則唇針與點(diǎn)A處的水平面

所成角為()

A.20°B.40°C.50°D.90°

解：可設(shè)4所在的緯線圈的圓心為O',O。'垂直于緯線所在的圓面，

由圖可得為唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角，

又/。40'為40。且04_LAH,

在Rt/XOHA中，O'A_LO”，：.ZOHA=ZOAO'=40°,

另解：畫出截面圖，如下圖所示，其中CQ是赤道所在平面的截線.

/是點(diǎn)A處的水平面的截線，由題意可得OA，/,A3是唇針?biāo)谥本€.胴是號(hào)面的截線,

由題意唇面和赤道面平行，劈針與唇面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得＞n//CD,

根據(jù)線面垂直的定義可得由于NAOC=40°,m〃CO,

所以NOAG=NAOC=40°,由于NOAG+NGAE=NBAE+NGAE=90°,

所以NBAE=/OAG=40°,也即唇針與A處的水平面所成角為NB4E=40°,

故選：B.

10.若函數(shù)/（x）圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)（A,B）稱為函數(shù)/（X）

的“友好點(diǎn)對(duì)”且點(diǎn)對(duì)(A,B)與(B,A)可看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”.若函數(shù)/(x)

x2+2ex+m-l,

=<2(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e、2.718)恰好有兩個(gè)“友好點(diǎn)

xjx>0

X

對(duì)”則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.mW(e-1)2B.m>(e-1)2C.(e-1)2D.加2(e-1)2

解：當(dāng)xWO時(shí)，y=N+2cx+〃?-1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=N-2e無(wú)-1,

BPy=-x2+2ex-?n+l,x>0,

設(shè)力(x)=-x2+2ex-m+l,x>0,

條件等價(jià)為當(dāng)x>0時(shí)，h(x)與f(x)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則h(x)=-x2+2ex-m+\=-(x-e)2+e2+\-tn,x>0,

當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)/i(x)取得最大值/z(e)=e2+l-m,

222_2

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+且f(x)=1--^-=——

xXX

由/(x)>0得x>e,此時(shí)/(x)為增函數(shù)，

由/(x)V0得OVxVe,此時(shí)/(x)為減函數(shù),

2

即當(dāng)冗=￡時(shí).，函數(shù)/(x)取得極小值同時(shí)也是最小值/(e)=e/—=e+e=2e,

e

作出當(dāng)x>0時(shí)，h(x)與f(x)的圖象如圖：

要使兩個(gè)圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則〃(e)>/(e),即e2+l-m>2e,

2

即e-2e+\>m9

即mV(e-1)2,

故選：C.

6

二、填空：（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）

11.白）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-220

VX

r4r

r12

解：71\rpr12-r3=/rr3?

Tr+1-(-1；C12x,x(T)C12x

4r

由12^-=0f＜「=9，

/.Tio=-Ci23=-220.

故答案為：-220.

12.在AABC中，a=5,c=7,cosC=i則＞=6,zMBC的面積為」

5

解：?.?〃=5,c=7,cosC=4-?

o

???sinC=A/1_C0S2c=-^p.,

D

:由余弦定理可得：72=52+/-2X5XbX/可得：62-26-24=0,解得：b=6,或

-4（舍去），

6n.

SAABC=-^＜Z加inC=LX5X6X^^=

225

故答案為：6,676.

13.過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為愿的直線交C于點(diǎn)M（M在x軸上方），/

為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在/上且MN，/,則M到直線N尸的距離為

解：如圖,

由拋物線C：y2=4x,得F(1,0),

則MF：y=“(x-l)，與拋物線V=4x聯(lián)立得3/-10x+3=0,解得X[],X2=3.

o

.,.M(3,2禽)，

,：MN±l,2%),

:尸(1,0),；.NF：y=~V3(x-l)-即Fx+y-F=0.

173(3-1)+273I

：.M到NF的距離為?一廠「,丁一=2?.

V(-V3)2+I2

故答案為：2a.

22

14.雙曲線三l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為Fi(2加，0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),

點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且△APFi周長(zhǎng)的最小值為8,則雙曲線的離心率為_(kāi)2&_.

解：設(shè)左焦點(diǎn)B(-272-0)，因?yàn)椤鰽PFi周長(zhǎng)為HP|+|PQ|+|AQ|,

由于P在雙曲線的左支上，所以|PQ|=2a+|PF2|,

所以周長(zhǎng)\AP\+\PFi\+\AFt\=\AP\+\PFi\+2a+\AFi\》\AF2\+2a+\AFi\=

d(2。2+]+2°+;(2。2+]=6+2”,

當(dāng)且僅當(dāng)尸2,P,A三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最小，

所以由題意可得6+2〃=8,所以。=1,

所以罔心率e=￡=2，^,

a

故答案為：2^2，

15.如圖，正方體ABCQ-A/IGQI的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為底面4BCO的中心，點(diǎn)尸在側(cè)面

88GC的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若。O_LOP,則△OiG尸面積的最大值為—遍_(kāi)

解：由正方體的性質(zhì)可知，當(dāng)P位于點(diǎn)C時(shí)，DyOlOC,

當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)Pl時(shí)，DD\=2,。0=80=&,BPi=BiPi=l,B\Di=2近,

求得0口1=點(diǎn)0=泥，0P,=72+1=7301P1=V8+1=3,

222

^rW0D1+0P1=D1P1,故。CUOPi,

又OPiCOC=。，所以平面0Pc,

故點(diǎn)P的軌跡在線段PC上，

由CiPi=CPi=jm可得NCiCP為銳角，而CG=2<jm

故點(diǎn)P到棱CiDi的最大值為遙，

所以△OiCiP面積的最大值為/X2XA/5=V5.

故答案為：?v/5,

三、解答題：(本大題共6小題，共85分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.)

16.如圖，直四棱柱ABCO-4B1GA的底面是菱形，A4i=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

M,N分別是BC,BBT,AI。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角A--N的正弦值.

【解答】（1）證明：如圖，過(guò)N作N”，A￡>,則N〃〃A4i,Ji-NH=yAAf

又MBHM,MB=LAA,，；?四邊形MV"”為平行四邊形，則NM〃BH,

21

由N4〃44,N為4。中點(diǎn)，得”為AO中點(diǎn)，而E為BC中點(diǎn)，

J.BE//DH,BE=DH,則四邊形為平行四邊形，則出/〃。E,

.,.NM//DE,

平面CiDE,OEu平面CiDE,

〃平面CiDE；

（2）解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于OC得直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，以

DD\所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則N（返，一,2），M（愿，1，2）,Ai（?,-1,4）,

22

=NA1=（-^->9，2），

設(shè)平面4MN的一個(gè)法向量為m=（x,y,z），

取工=?，得m=（舊，-1,-1）?

又平面MA4的一個(gè)法向量為n=（l,0,0），

m*n

-,.cos<m,n>=-V1V15

m|*|n|Vs5

二面角A-MAx-N的正弦值為叵.

5

17.已知函數(shù)f(x)=asin(2x"^~)-2cos?(a>0)，且滿足-------

(1)求函數(shù)f(x)的解析式及最小正周期：

(II)若關(guān)于x的方程/CO=1在區(qū)間［0,M上有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

從①/Xx)的最大值為1,②/Yx)的圖象與直線)，=-3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于m

@/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(7勺1，0)這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.

6

解：(I)函數(shù)/(x)=asin(2x--)-2cos2(x+—)

66

兀、兀

=asin(2x----)-cos(2x+---)-1

63

冗、冗、

=asin⑵----)-sin(-2x+——)-1

66

K

=(。+1)sin(2x----)-1,

6

若滿足①f(3的最大值為1,則。+1=2,解得。=1,

TT

所以/(無(wú))=2sin(2x--1；

f(x)的最小正周期為了=等=死

JT

(II)令/(x)=1,得sin(2x-——)=1,

6

irjr

解得2x—-=-F2包,依Z；

62

即x=攵€Z：

若關(guān)于X的方程/(x)=1在區(qū)間［0,，加上有兩個(gè)不同解，則x=2或萼;

OO

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是［手,7兀)

若滿足②/.(x)的圖象與直線y=-3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于n,

且/■(x)的最小正周期為T=2gL=Tt,所以-(?+1)-1=-3,解得a=l；

以下解法均相同.

若滿足③/(X)的圖象過(guò)點(diǎn)(:TT二，0),

6

IT1T

則/(---)=(a+1)sin----1=0,解得”=1；

66

以下解法均相同.

18.為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，弘揚(yáng)奧林匹克精神，北京市多所中小學(xué)校開(kāi)展了模擬冬奧

會(huì)各項(xiàng)比賽的活動(dòng).為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)中的參與情況，在北京市

(I)現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查.求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪

人數(shù)都超過(guò)40人的概率；

(II)現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記X為教練

選中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)某校聘請(qǐng)了一名越野滑輪教練，對(duì)高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個(gè)動(dòng)作進(jìn)

行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在

指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.L在指導(dǎo)后的考核中，

甲同學(xué)總考核成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了

變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(I)記“選出的兩所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過(guò)40人”為事件S,現(xiàn)從這10

所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，可得基本事件總數(shù)為

參與越野滑輪人數(shù)超過(guò)40人的學(xué)校共4所，隨機(jī)選擇2所學(xué)校共C：=6種，

「2山

所以P(S)=仔=1039喂......

(II)X的所有可能取值為0,1,2,參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校共4所.

P(X=0)=

X的分布列為：

X012

p182

1OOA

E(X)=0X^-+lX-^+2X-^^..........

olblbD

(III)答案不唯一.

答案示例1:可以認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核為“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.理由如下：

指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：境?0.Ro.9+cg?0.l3=0.028.

指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率非常小，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為指導(dǎo)后總考核

達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.

答案示例2：無(wú)法確定.理由如下：

指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：C§?0.d。.9+C*0.l3=0.028.

雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，所以，無(wú)法確定總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變

化......

19.已知/(x)u^+sinx+or(aGR).

(I)當(dāng)a=-2時(shí)，求證：/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；

(II)若對(duì)任意x20,f(x)21恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(III)若f(x)有最小值，請(qǐng)直接給出實(shí)數(shù)“的取值范圍.

【解答】(I)解：a--2,f(x)=e，+cosx-2,

當(dāng)x<0時(shí)，*<1,cosxW1,

所以f(x)=ev+cosx-2<0.

所以/(x)在(-8,o)上單調(diào)遞減.

(II)解：當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=121,對(duì)于aeR,命題成立，

當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)g(JC)=e，+cosx+a,

則g'(x)=ex-sinx.

因?yàn)楫a(chǎn)>1,siruWl,

所以g'(x)—e'-sinx>l-1=0,g(x)在(0,+°0)上單調(diào)遞增.

又g(0)=2+a,

所以g(x)>2+a.

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(x)>2+a.

①當(dāng)心-2時(shí)，/(x)>0,

所以于(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(0)=1,

所以f(x)>1恒成立.

②當(dāng)。<-2時(shí)，f(0)=2+“<0,

因?yàn)?(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)x=ln(2-a)時(shí)，f(x)=-a+2+cosx+a=2+cosj;>0,

所以存在xoW(0,+8),對(duì)于x€(0,AO),f(x)V0恒成立.

所以f(x)在(0,JCO)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xe(0,xo)時(shí)，f(x)<f(0)=1,不合題意.

綜上，當(dāng)-2時(shí)，對(duì)于xNO,/(X)21恒成立.

(III)解：a<0.

22

20.已知橢圓C：的左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離為氣.

4

(I)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(II)點(diǎn)P在橢圓C上，線段AP的垂直平分線分別與線段AP、x軸、y軸相交于不同

的三點(diǎn)例，H,Q.

(i)求證：點(diǎn)M,Q關(guān)于點(diǎn)”對(duì)稱；

(ii)若△尸AQ為直角三角形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

解：（I）依題意，有d4+b2=遙

所以b=\歷，

22

橢圓方程為^-+y-=1

42

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F[（-&,0）,F2（A/2.0），

22

證明：（11）⑴證法1：設(shè)p（m,再），則X。jo

42

依題意xo#±2,yoAO,A（-2,0）,所以從（手；二,jLP.）

yp

所以直線PA的斜率k

A

P-X0+2

因?yàn)镻AVMQ,所以kpA?kMQ=~1

x0+2

所以直線MQ的斜率1<JMiiCy=

y。

Ynxfj+2Xn-2

所以直線MQ的方程為yg--二一（x-三）

yn（X0^2）（Xn~2）

令x=o,得至獨(dú)白二----------------

Q22y0

22

因?yàn)閄：J；=1，所以yQ=_?，所以Q（0,-當(dāng)），

所以H是M,。的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M,。關(guān)于點(diǎn)”對(duì)稱.

證法2：設(shè)尸（冽，川），直線AP的方程為y=Z（x+2）,

（22

xy

聯(lián)立方程｛4氣-匕消元得（1+2R）/+8松什8/-4=0,

y=k（x+2）

2

所以△=16>0,所以Xn+(-2)=?二

l+2k2

9O9

KC1>1-4k"+2KCHI-4k”./-4k“、2k

所以xo=------y，所以XM=-----7-y=k(-----^-2)=-----7,

l+2k21+2/"Ml+2k?l+2kJ

所以見(jiàn)(二鳴，一^y)，因?yàn)锳PLMQ,所以K=4,

1+2k2l+2k2MQk

Ob-1-4k2

所以直線MQ的方程為y—生行=-；(x^^)，

l+2kJkl+2kJ

2k_1_4k2-2k

令x=0,得到VQ=?

l+2k2ki+2k21+2k2

所以Q（。，言），

所以，是M,。的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M,。關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱.

證法3：設(shè)尸（xo,和），直線AP的方程為x=）-2,

(22

Xy

聯(lián)立方程4+2消元得，(於+2)產(chǎn)-4ry=0,

x=ty-2

4t4t

因?yàn)閛+yo蘋?所以y。苫『

2t-4

所以yM=t2+2XMt2+2

-4：2t

所以兒（一),

t2+2t2+2

1

因?yàn)锳P_LMQ,所以KMQ----，

k

2t_/-4、

所以直線MQ的方程為y-5=-tkx--5),

t^+2t42

令x=o,得至ijyq=孑二所以Q（。，n2t-）.

yt"+2t'+2

所以”是M,。的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M,Q關(guān)于點(diǎn)H對(duì)稱.

（H）方法1：因?yàn)闉橹苯侨切?，且|PQ|=HQ|,所以△APQ為等腰直角三角形,

所以|API=&|AQ|,

因?yàn)镻(期，yo).Q(Q,

即J(Xo+2)2+y,二如

化簡(jiǎn)，得到3X02+16X0-12=0，解得x0=-6（舍），

o

即點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為宗

方法2：因?yàn)?42。為直角三角形,且|PQ|=|4Q|,所以NAQP=90°

所以與-PQ=O'

因?yàn)镻(xo,yo)，Q(0,~~2~y

所以刀=(2,-今?PQ=(-x0)―/)

22

因?yàn)閄。jo

4百-1

化簡(jiǎn)，得到3XO2+16XO-12=O,解得X0=4，XQ=-6（舍），

0

即點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為號(hào).

方法3：因?yàn)椤鰽PQ為直角三角形，且|PQI=