第02講 立方根-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步學(xué)與練（人教版）（解析版）

第02講立方根課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①立方根的概念②立方根的性質(zhì)掌握立方根的概念，能夠熟練求一個(gè)數(shù)的立方根以及利用立方根對(duì)一個(gè)數(shù)開立方運(yùn)算。掌握立方根的性質(zhì)，能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01同類項(xiàng)立方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根。這就是說，如果，那么叫做的立方根．記作。其中叫做三次根號(hào)。根指數(shù)3不能省略。求立方根：求一個(gè)數(shù)的立方根叫做開立方，與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算?！炯磳W(xué)即練1】1．求下面數(shù)的立方根．（1）﹣8；（2）；（3）±125；（4）81×9．【分析】直接利用立方根的意義計(jì)算得出答案即可．【解答】解：（1）因?yàn)椋ī?）3＝﹣8，所以﹣8的立方根是﹣2，即＝﹣2；（2）因?yàn)椋ǎ?＝，所以的立方根是，即＝；（3）因?yàn)椋ā?）3＝±125，所以±125的立方根是±5，即＝±5；（4）81×9＝729，因?yàn)?3＝729，所以729的立方根是9，即＝9．【即學(xué)即練2】2．解下列方程：（1）x3＝512（2）64x3﹣125＝0（3）（x﹣1）3＝﹣216．【分析】（1）根據(jù)開立方，可得答案；（2）根據(jù)移項(xiàng)、等式的性質(zhì)，可得乘方形式，根據(jù)開方運(yùn)算，可得答案；（3）根據(jù)開方運(yùn)算，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案．【解答】解；（1）開方，得x＝8；（2）移項(xiàng)、系數(shù)化為1得，xx＝；（3）開方，得x﹣1＝﹣6，移項(xiàng)，得x＝﹣5．知識(shí)點(diǎn)02立方根的性質(zhì)立方根的基本性質(zhì)：由立方運(yùn)算可知，任何數(shù)都有立方根，且都只有1個(gè)立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。立方根等于它本身的數(shù)是0，±1。其他性質(zhì)：①一個(gè)數(shù)的立方根的立方等于它本身。即②一個(gè)數(shù)的立方的立方根等于它本身。即③一個(gè)數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)的立方根。即【即學(xué)即練1】3．計(jì)算＝5．【分析】根據(jù)，即可．【解答】解：∵，∴．故答案為：5．【即學(xué)即練2】4．計(jì)算：＝﹣1．【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解題即可．【解答】解：＝＝﹣1，故答案為：﹣1．題型01求一個(gè)數(shù)的立方根【典例1】8的立方根為（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．64【分析】首先根據(jù)立方根的定義求出8的立方，然后就可以解決問題．【解答】解：∵2的立方是8，∴8的立方根為2．故選：B．【變式1】﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．不存在 D．﹣【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解答．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故選：B．【變式2】求下列各數(shù)的立方根：（1）0.125；（2）﹣；（3）729．【分析】根據(jù)立方根的定義逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解；（1）0.125的立方根是0.5，即＝0.5；（2）﹣的立方根是﹣，即＝﹣；（3）729的立方根是9，即＝9．題型02利用立方根解方程【典例1】求下列各式中x的值．（1）﹣x3＝0.027；（2）8（x﹣1）3＝﹣64．【分析】（1）先兩邊同時(shí)除以﹣1，系數(shù)化為1，再開立方法進(jìn)行解答；（2）先兩邊同時(shí)除以8，系數(shù)化為1，再開立方法進(jìn)行解答．【解答】解：（1）﹣x3＝0.027，x3＝﹣0.027，x＝﹣0.3；（2）8（x﹣1）3＝﹣64，（x﹣1）3＝﹣8，x﹣1＝﹣2，x＝﹣1．【變式1】求下列各式中的x值．①2x3＝﹣②（x+1）3＝8③3（x﹣1）3﹣81＝0．【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可．【解答】解：①系數(shù)化為1得，x3＝﹣，解得：x＝﹣；②開立方得，x+1＝2，解得：x＝1；③移項(xiàng)得，3（x﹣1）3＝81，系數(shù)化為1得，（x﹣1）3＝27，解得：x＝4．【變式2】求下列各式中的x．（1）125x3＝8（2）（﹣2+x）3＝﹣216（3）＝﹣2（4）27（x+1）3+64＝0．【分析】題中的四小題都可用直接開立方法進(jìn)行解答．【解答】解：（1）∵x3＝＝，∴x＝．（2）∵（﹣2+x）3＝﹣216＝（﹣6）3，∴﹣2+x＝﹣6，x＝﹣4．（3）∵＝﹣2，∴x﹣2＝﹣8，x＝﹣6．（4）∵（x+1）3＝﹣，∴x+1＝﹣，x＝﹣．題型03立方根的性質(zhì)【典例1】立方根和算術(shù)平方根都等于它本身的數(shù)是（）A．0 B．1，0 C．0，1，﹣1 D．0，﹣1【分析】首先設(shè)出這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)立方根是它本身列式為x3＝x，由算術(shù)平方根是它本身列式為＝x，聯(lián)立兩式解得x．【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意可知，，解得x＝1或0，故選：B．【變式1】已知，，則x2﹣x的值為（）A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0、2或6【分析】根據(jù)立方根等于本身的數(shù)有0，±1，求出x的值，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵立方根等于本身的數(shù)有0，±1，∴x﹣1＝0或x﹣1＝±1，解得x＝1或0或2，∴x2﹣x的值為0或2．故選：B．【典例2】（﹣4）3的立方根是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)題意可得（﹣4）3＝﹣64，再根據(jù)立方根的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴（﹣4）3的立方根是．故選：B．【變式1】若a＜0，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．2 B．﹣2 C．2﹣2a D．2a﹣2【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)算術(shù)平方根及立方根的定義化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵a＜0，∴原式＝﹣a﹣（a﹣2）＝﹣a﹣a+2＝2﹣2a，故選：C．【變式2】若，則k的值為5．【分析】根據(jù)立方根的定義即可求得答案．【解答】解：∵＝5﹣k＝k﹣5，∴k＝5，故答案為：5．【典例3】如果，那么x與y的關(guān)系是（）A．x＝y(tǒng)＝0 B．x＝y(tǒng) C．x+y＝0 D．xy＝1【分析】如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：，由此即可得到答案．【解答】解：∵，∴＝﹣＝，∴x＝﹣y，∴x+y＝0．故選：C．題型04算術(shù)平方根、平方根以及立方根綜合應(yīng)用【典例1】一個(gè)正數(shù)b的平方根為a+1和2a﹣7，則9a+b的立方根是（）A．2 B．3 C．9 D．±3【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有平方根，0的平方根是0即可求解．【解答】解：∵正數(shù)b的平方根為a+1和2a﹣7，∴a+1+2a﹣7＝0，∴a＝2，∴a+1＝2+1＝3，∴b＝32＝9，∴9a+b＝9×2+9＝27，∴9a+b的立方根是3，故選：B．【變式1】若2a+1的平方根是±3，3b﹣1的立方根是2，則a+b的值是7．【分析】根據(jù)平方根及立方根的定義分別求得a，b的值，然后將其代入a+b中計(jì)算即可．【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，3b﹣1的立方根是2，∴2a+1＝9，3b﹣1＝8，解得：a＝4，b＝3，則a+b＝4+3＝7，故答案為：7．【變式2】已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，求a+b+1的立方根2．【分析】根據(jù)平方根及算術(shù)平方根的定義求得a，b的值后代入a+b+1中計(jì)算，然后利用立方根的定義即可求得答案．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，∴2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∴a+b+1＝5+2+1＝8，那么a+b+1的立方根為2，故答案為：2．【變式3】已知a+1的平方根是±2，2a+b﹣2的立方根是2，則a2+b2的算術(shù)平方根是5．【分析】根據(jù)平方根及立方根的定義求得a，b的值，然后將其代入a2+b2中計(jì)算，再利用算術(shù)平方根的定義即可求得答案．【解答】解：∵a+1的平方根是±2，2a+b﹣2的立方根是2，∴a+1＝4，2a+b﹣2＝8，∴a＝3，b＝4，則a2+b2＝32+42＝9+16＝25，那么原式的算術(shù)平方根是5，故答案為：5．1．﹣的立方根為（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】直接根據(jù)立方根的定義解答即可．【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，∴﹣的立方根為﹣．故選：A．2．下列各式中，正確的是（）A． B．﹣（）2＝4 C． D．【分析】依據(jù)平方根、平方根立方根、算術(shù)平方根的定義和性質(zhì)求解即可．【解答】解：A、±＝±3，故A正確；B、﹣（）2＝﹣2，故B錯(cuò)誤；C、≠﹣3，故C錯(cuò)誤；D、＝＝2，故D錯(cuò)誤．故選：A．3．下列結(jié)論正確的是（）A．64的立方根是±4 B．1的平方根是1 C．算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0 D．＝﹣【分析】直接根據(jù)立方根，平方根，算術(shù)平方根的概念解答即可．【解答】解：A.64的立方根是4，不正確，不符合題意；B.1的平方根為±1，不正確，不符合題意；C．算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有1和0，不正確，不符合題意；D．＝﹣3，﹣＝﹣3，故＝﹣，正確，符合題意．故選：D．4．甲、乙、丙三人對(duì)平方根和立方根進(jìn)行了研究，以下是他們?nèi)说慕Y(jié)論：甲：當(dāng)a＞0時(shí)，；乙：a＜0時(shí)，；丙：當(dāng)a＞0時(shí)，，則下列說法正確的是（）A．只有甲、乙正確 B．只有甲、丙正確 C．甲、乙、丙都正確 D．甲、乙、丙都不正確【分析】利用平方根，算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)對(duì)甲，乙，丙進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵當(dāng)a＞0時(shí)，，∴甲的說法正確；∵a＜0時(shí)，﹣＝﹣（﹣a）＝a，∴乙的說法不正確；∵當(dāng)a＞0時(shí)，，∴丙的說法正確．故選：B．5．已知，則的值是（）A．0.1a B．a(chǎn) C．1.1a D．10.1a【分析】根據(jù)被開方數(shù)的變化與立方根的值的變化之間的變化規(guī)律即可得到答案．【解答】解：∵，∴．故選：D．6．若a，b為實(shí)數(shù)，且，則的值為（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．3【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)和偶次方為非負(fù)數(shù)，得到相應(yīng)的關(guān)系式求出a、b的值，然后代入求解，最后求數(shù)的立方根即可【解答】解：∵，∴a+1＝0，9﹣b＝0，解得：a＝﹣1，b＝9，∴，故選：B．7．一個(gè)正方體木塊的體積是27cm3，現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，每個(gè)小正方體木塊的棱長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【分析】由題意可知每個(gè)小正方體木塊的體積為cm3，再根據(jù)立方根的定義即可求出個(gè)小正方體木塊的棱長(zhǎng)．【解答】解：一個(gè)正方體木塊的體積是27cm3，將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，則每個(gè)小正方體木塊的體積為cm3，所以每個(gè)小正方體木塊的棱長(zhǎng)是cm，故選：A．8．若x＞1，則x2、x，，這四個(gè)數(shù)中（）A．最大，x2最小 B．x最大，最小 C．x2最大，最小 D．x最大，x2最小【分析】利用實(shí)數(shù)的大小比較來計(jì)算即可．【解答】解：∵x＞1，∴x2＞x＞＞，故選：C．9．若x2＝（﹣3）2，y3＝﹣8，那么代數(shù)式x+y的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣5【分析】先由平方根與立方根定義求出x、y值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵x2＝（﹣3）2＝9，∴x＝±3，∵y3＝﹣8，∴y＝﹣2，當(dāng)x＝3，y＝﹣2時(shí)，x+y＝3﹣2＝1；當(dāng)x＝﹣3，y＝﹣2時(shí)，x+y＝﹣3﹣2＝﹣5；∴x+y的值是1或﹣5，故選：D．10．實(shí)數(shù)介于m和m+1之間（m為整數(shù)），則m的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)立方根的定義估算出在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可．【解答】解：∵64＜99＜125，∴＜＜，即4＜＜5，則m＝4，故選：D．11．﹣64的立方根是﹣4．【分析】直接利用立方根的意義，一個(gè)數(shù)的立方等于a，則a的立方根是這個(gè)數(shù)進(jìn)行求解．【解答】解：根據(jù)立方根的意義，一個(gè)數(shù)的立方等于a，則a的立方根是這個(gè)數(shù)，可知﹣64的立方根為﹣4．故答案為：﹣4．12．如果一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是a+1和2a﹣22，這個(gè)正數(shù)的立方根是4．【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，然后計(jì)算即可．【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是a+1和2a﹣22，∴a+1＝﹣（2a﹣22），解得a＝7，∴這個(gè)正數(shù)是64，∴這個(gè)正數(shù)的立方根是4，故答案為：4．13．已知5x﹣1的平方根是±3，y﹣3的立方根是﹣2，則x+y＝﹣3．．【分析】先根據(jù)平方根與立方根的定義求出x與y的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：∵5x﹣1的平方根是±3，y﹣3的立方根是﹣2，∴5x﹣1＝（±3）2＝9，y﹣3＝（﹣2）3＝﹣8，∴x＝2，y＝﹣5，∴x+y＝﹣3．故答案為：﹣3．14．已知，則a+b﹣c的立方根是2．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b、c的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴a﹣6b＝0，c+b＝0，c+1＝0，即，解得：，∴a+b﹣c＝6+1﹣（﹣1）＝8，∴8的立方根是2，故答案為：2．15．若，則x的值為0或﹣1或．【分析】根據(jù)立方根的定義得出2x+1＝1或2x+1＝0或2x+1＝﹣1即可．【解答】解：由于，即＝2x+1，所以2x+1＝1或2x+1＝0或2x+1＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣或x＝﹣1，故答案為：0或﹣1或．16．計(jì)算：①②﹣③+．【分析】①先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算即可；②先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)的減法運(yùn)算即可；③先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算即可；【解答】解：①原式＝2×（﹣）＝﹣；②原式＝7﹣（﹣0.5）＝7.5；③原式＝﹣+＝﹣1．17．求下列各式中未知數(shù)x的值．（1）x3＝﹣；（2）2（x+1）3＝250．【分析】（1）直接開立方求解；（2）兩邊同時(shí)除2，然后開立方求出x+1的值，然后求解x的值．【解答】解：（1）開立方得：x＝﹣；（2）兩邊同時(shí)除2得，（x+1）3＝125，開立方得：x+1＝5，移項(xiàng)得：x＝4，系數(shù)化為1得：x＝12．18．已知2a+1的一個(gè)平方根是3，1﹣b的立方根為﹣1．（1）求a與b的值；（2）求a+2b的立方根．