微積分上冊教學課件

微積分上冊2024-01-25緒論函數(shù)與極限導數(shù)與微分中值定理與導數(shù)的應用不定積分定積分及其應用目錄CONTENT緒論01微積分的研究對象微分學主要研究函數(shù)在某一點附近的局部性質，包括函數(shù)的導數(shù)、微分、微分中值定理等內容。積分學主要研究函數(shù)在一個區(qū)間上的整體性質，包括定積分、不定積分、積分中值定理等內容。古希臘數(shù)學家阿基米德等人通過“窮竭法”等樸素方法研究了與微積分相關的問題。古代萌芽階段17世紀牛頓和萊布尼茲分別獨立創(chuàng)立了微積分，為近代數(shù)學和物理學的發(fā)展奠定了基礎。近代創(chuàng)立階段19世紀數(shù)學家柯西等人對微積分進行了嚴謹化處理，建立了極限理論，使得微積分學更加嚴密和完善。嚴謹化發(fā)展階段微積分的發(fā)展歷史局部與整體的思想微分學研究函數(shù)的局部性質，而積分學研究函數(shù)的整體性質，兩者相互補充。以直代曲的思想微分學通過切線來近似代替曲線，而積分學則通過矩形面積的和來近似代替曲邊梯形的面積。極限的思想微積分的理論基礎是極限理論，通過極限來定義導數(shù)、微分和定積分等概念。微積分的基本思想函數(shù)與極限02函數(shù)定義函數(shù)是一種特殊的關系，它使得每個自變量唯一對應一個因變量。函數(shù)的性質包括有界性、單調性、奇偶性、周期性等。函數(shù)的表示法函數(shù)可以通過解析式、表格、圖像等方式表示。函數(shù)的概念與性質極限是描述函數(shù)在某一點或無窮遠處的變化趨勢的重要概念。極限定義包括唯一性、局部有界性、保號性、夾逼性等。極限的性質包括極限的四則運算法則、復合函數(shù)的極限運算法則等。極限的運算法則極限的概念與性質函數(shù)極限的定義函數(shù)在某一點連續(xù)是指函數(shù)在該點的極限值等于函數(shù)值。連續(xù)性的概念連續(xù)性的性質連續(xù)函數(shù)的運算01020403包括連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合函數(shù)的連續(xù)性等。函數(shù)在某一點或無窮遠處的極限值。包括局部有界性、介值性、反函數(shù)的連續(xù)性等。函數(shù)的極限與連續(xù)導數(shù)與微分03導數(shù)的定義通過極限概念定義導數(shù)，描述函數(shù)在某一點處的切線斜率。導數(shù)的幾何意義導數(shù)反映了函數(shù)圖像在某一點處的切線斜率和函數(shù)在該點的局部變化率。導數(shù)的性質包括導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)求導法則、反函數(shù)求導法則等。導數(shù)的概念與性質03微分的應用微分在幾何、物理、經(jīng)濟等領域有廣泛應用，如求曲線的切線、求速度、加速度、求邊際效應等。01微分的定義微分是函數(shù)在某一點處的局部線性逼近，即在該點處用切線近似代替曲線。02微分的基本公式和法則包括微分的基本公式、乘積的微分、商的微分、復合函數(shù)的微分等。微分法及其應用高階導數(shù)的概念高階導數(shù)是指對函數(shù)進行多次求導得到的導數(shù)，反映了函數(shù)的更高階變化率。高階導數(shù)的計算通過逐次求導可以得到高階導數(shù)，需要掌握常見函數(shù)的高階導數(shù)公式。隱函數(shù)的微分法對于無法顯式表達的函數(shù)關系，可以通過隱函數(shù)的方式求導，需要掌握隱函數(shù)求導的方法和技巧。高階導數(shù)與隱函數(shù)微分法中值定理與導數(shù)的應用04闡述了可導的極值點導數(shù)為零的結論，是導數(shù)應用的基礎定理之一。費馬引理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內可導，且區(qū)間兩端函數(shù)值相等，則至少存在一個點使得該點的導數(shù)為零。羅爾定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內可導，則至少存在一個點使得該點的導數(shù)等于區(qū)間兩端函數(shù)值的差與區(qū)間長度的商。拉格朗日中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，涉及兩個函數(shù)的導數(shù)之間的關系?？挛髦兄刀ɡ碇兄刀ɡ砑捌鋺迷谝欢l件下，通過求導數(shù)的極限來求解原極限的方法，特別適用于分式極限的求解。洛必達法則用多項式逼近一個函數(shù)的方法，即一個函數(shù)可以展開成無窮級數(shù)，每一項都是該函數(shù)在某點的導數(shù)乘以相應的冪次再除以相應的階乘。泰勒公式在近似計算、誤差估計、函數(shù)性質研究等方面有廣泛應用。泰勒級數(shù)的應用洛必達法則與泰勒公式函數(shù)的極值函數(shù)在極值點處的導數(shù)為零或不存在，但并非所有導數(shù)為零的點都是極值點，需結合函數(shù)的單調性或二階導數(shù)進行判斷。最值定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值，且最大值和最小值要么在區(qū)間端點取得，要么在區(qū)間內的極值點取得。函數(shù)的單調性通過導數(shù)判斷函數(shù)在某個區(qū)間內的增減性，即當導數(shù)大于零時函數(shù)遞增，導數(shù)小于零時函數(shù)遞減。函數(shù)的單調性與極值不定積分05不定積分的性質包括線性性質、積分區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質等。原函數(shù)與不定積分的關系原函數(shù)是不定積分的結果，不定積分是求原函數(shù)的過程。不定積分的定義不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導數(shù)的過程，表示了函數(shù)圖像與x軸圍成的面積。不定積分的概念與性質換元積分法換元積分法與分部積分法通過變量代換將復雜的不定積分轉化為簡單的不定積分，包括三角代換、根式代換等。分部積分法將不定積分分解為兩個函數(shù)的乘積的積分，通過求導與積分運算的互換，簡化計算過程。根據(jù)被積函數(shù)的特征，選擇合適的方法進行求解。兩種方法的比較與選擇有理函數(shù)的積分通過部分分式分解將有理函數(shù)轉化為簡單分式的和，再分別進行積分。三角函數(shù)的積分利用三角函數(shù)的和差化積、積化和差等公式進行化簡，再進行積分。復合函數(shù)的積分結合換元法和分部積分法求解復合函數(shù)的積分。有理函數(shù)與三角函數(shù)的積分定積分及其應用06通過分割、近似、求和、取極限四個步驟，將曲邊梯形的面積轉化為定積分的形式。定積分的定義包括線性性質、可加性、保號性、絕對值不等式、估值定理等。定積分的性質表示曲邊梯形的面積，也可以表示變力沿直線所作的功、水壓力等物理量。定積分的幾何意義定積分的概念與性質123將所求量進行無限細分，每一小部分近似為直線或平面，從而可以利用已知的直線或平面面積公式進行求解。微元法的思想求解平面圖形的面積、旋轉體的體積等。微元法在幾何中的應用求解變力沿曲線所作的功、液體靜壓力等。微元法在物理中的應用微元法及其應用舉例廣義積分與含參變量的積分當定積分中的被積函數(shù)含有參數(shù)時，該定積分就變?yōu)楹瑓⒆?/p>