知識(shí)資料不等式的證明

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁不等式的證實(shí)8.1基本概念、內(nèi)容、定理、公式8.1.1常用函數(shù)的若干不等式1.拉格朗日估和公式設(shè)在上延續(xù)，是它的一個(gè)原函數(shù)，則當(dāng)單調(diào)減少時(shí)，；當(dāng)單調(diào)增強(qiáng)時(shí)，不等式反向.2.平均有窮不等式1）設(shè)是正數(shù)列，，則規(guī)定：（1）算術(shù)平均值；（2）調(diào)和平均值；（3）幾何平均值；（4）次冪平均值容易知道，，且可以證實(shí)：.這樣在上延續(xù).定理1在上關(guān)于是單調(diào)增強(qiáng)函數(shù),即若，則.推論：.2）加權(quán)平均值定理定理2設(shè)：都是正數(shù)，：都是正數(shù)，且（也稱為權(quán)），則.（1）加權(quán)幾何平均值小于等于加權(quán)算術(shù)平均值.異常地當(dāng)：都是正數(shù)時(shí)，（1）可改為：3）霍爾德幾何平均不等式定理3加權(quán)幾何平均值的和小于或等于和的加權(quán)幾何平均值.即：設(shè)正數(shù)列：；：：，都是正數(shù)，且，則有.其中等號(hào)成立的條件是對(duì)應(yīng)成比例.4）加權(quán)冪平均值設(shè)：是正數(shù)列，：都是正數(shù)，且（也稱為權(quán)），稱為的加權(quán)冪平均值.記為的加權(quán)幾何平均值.用洛比達(dá)法則可證實(shí).定理4：是關(guān)于的單增函數(shù).8.1.2積分不等式1.正當(dāng)延續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上各種平均值的定義與計(jì)算：將等分為個(gè)區(qū)間，分點(diǎn)為，其中，.1）在閉區(qū)間上的算術(shù)平均值==.2）在閉區(qū)間上的幾何平均值==.3）在閉區(qū)間上的調(diào)和平均值=.4）在閉區(qū)間上的次冪平均值=記號(hào)：，，.設(shè)是閉區(qū)間上的正當(dāng)延續(xù)函數(shù)，則.定理5是關(guān)于的單增函數(shù).2.常見的用來證實(shí)積分不等式三種主意：1）設(shè)都是上下界是正的可積函數(shù)，都是正數(shù)，且，則有（霍爾德幾何平均不等式的積分形式）異常地，對(duì)兩個(gè)函數(shù)的情形且時(shí)，就是柯西—施瓦茲不等式.2）利用凸性證實(shí)不等式（1）凸函數(shù)等價(jià)定義（?。┨热羰峭购瘮?shù)對(duì)，滿意，都有.對(duì)，滿意，都有.（自變量的平均值的函數(shù)大于等于函數(shù)值的平均值）異常地，當(dāng)，則上述不等式稱為Jensen不等式.（ⅱ）若可導(dǎo)，則是凸函數(shù)是單調(diào)減少.（ⅲ）若二階可導(dǎo)，，則是凸函數(shù).（直觀理解：若是二階可導(dǎo)凸函數(shù)，則的圖形位于任一點(diǎn)處切線的下方.）（2）凸函數(shù)不等式的積分形式設(shè)是上可積函數(shù)，且，是上延續(xù)凸函數(shù)，則.（倘若是凹函數(shù)，則不等式反向）（3）利用矩形區(qū)域上變量可分離的二元函數(shù)的二重積分的計(jì)算公式設(shè)，在上定義二元函數(shù)，則====.即=.8.2例題選講1.利用拉格朗日估和公式首先證實(shí)拉格朗日估和公式.證實(shí)：是的一個(gè)原函數(shù)，，在上對(duì)使用拉格朗日中值定理，則，使得.不妨設(shè)單調(diào)增強(qiáng)，則，.即.將這個(gè)不等式相加得：,從而，.當(dāng)單調(diào)減少時(shí)，同理可證得.例8-1求極限分析：數(shù)列極限的常用主意有：Stolz定理，定積分定義，拉格朗日估和公式加夾逼法則等等.解法1：設(shè)，，==.解法2：原式===.解法3：，首先預(yù)計(jì)的大小.考慮函數(shù)，則是它的一個(gè)原函數(shù).而且容易知道在上單增，故由拉格朗日估和公式得：即.從而所以由夾逼法則有=.例8-2求證：.證實(shí)：設(shè)在上單減，又是它的一個(gè)原函數(shù)，則由拉格朗日估和公式有：,即.2.利用平均有窮不等式例8-3設(shè)，都是正數(shù)，且，則.證實(shí)：且都是正數(shù)，，且.，.即；.將上面兩式兩邊分離同時(shí)取與次冪，得；（1）.（2）得.注重到，并且兩邊同時(shí)開次方有.即.例8-4已知，，且，求證：（楊格不等式）.證實(shí)：.例8-5設(shè)都是正數(shù)，則有證實(shí)：原不等式等價(jià)于兩邊同時(shí)開次方，即.設(shè)=，=，則，，，由定理即可證得.3.利用高低性首先證實(shí)凸函數(shù)不等式的積分形式：證實(shí)：設(shè)是凸函數(shù)，將等分，設(shè)分點(diǎn)為，則，由凸函數(shù)的Jensen不等式有：，令兩邊求極限得.注：若二階可導(dǎo)，則可用泰勒公式證實(shí).（提醒：設(shè)，將在處展開.）例8-6對(duì)，，則有

分析：乘積要變成和，需要考慮對(duì)數(shù)函數(shù).證實(shí)：對(duì)數(shù)函數(shù)是凸函數(shù)，又上式左邊=即.又對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，.練習(xí)：例8-7設(shè)在上延續(xù)，且，則.分析：利用高低性的積分形式關(guān)鍵要選取合適的高低函數(shù)，注重看見被積函數(shù)中關(guān)于的運(yùn)算.證實(shí)：考慮在上的高低性.，.在上是凹函數(shù).，即.4.利用二重積分的計(jì)算公式例8-8設(shè)，都是上的延續(xù)增函數(shù)，求證：.分析：能用二重積分證實(shí)的不等式，普通都有一個(gè)特點(diǎn)：不等式左右兩邊都能變成兩個(gè)定積分的乘積.證實(shí)：設(shè)=.==.，都是上的增函數(shù)，..即.例8-9設(shè)在上非負(fù)單減，求證：.證實(shí)：利用二重積分計(jì)算公式令===，，在上單減，即..即.5.利用霍爾德不等式首先證實(shí)霍爾德不等式：證實(shí)：===1..例8-10設(shè)是上的延續(xù)正當(dāng)函數(shù)，求證：.證實(shí)1：（用霍爾德不等式）,即.證實(shí)2：（利用高低性）令是凹函數(shù)，.即..證實(shí)3：（用二重積分）令==.引申：仿上例用三種主意證實(shí)下列不等式：，其中，都是上的正當(dāng)延續(xù)函數(shù).6.利用函數(shù)的單調(diào)性例8-11設(shè)，求證：.分析：即證，若令，則.這就暗含著函數(shù)的單調(diào)性：時(shí)，，要證時(shí)，，即函數(shù)單增.證實(shí)：令，，即.又，當(dāng)時(shí)，，，.，即.例8-12設(shè)在上具有一階延續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，求證：.分析：考慮，，只須證實(shí)即可.證實(shí)：令，，，，令，，，，.從而.，.令，即得證.練習(xí)1：設(shè)天然數(shù),求證：。分析：不等式，于是令，又，于是從而。同理不等式，于是令注重到：，于是。從而。練習(xí)2：在區(qū)間內(nèi)，試比較函數(shù)與的大小，并證實(shí)你的結(jié)論。提醒：令，則，（1）當(dāng)時(shí)，，于是，令，，于是即，從而，進(jìn)一步，于是，又，所以。而（2）時(shí)，，因?yàn)椋谑?，從而。故，都有。練?xí)3：設(shè)具有二階導(dǎo)數(shù)，滿意，且對(duì)隨意，都有，證實(shí)：對(duì)隨意，都有。提醒：不等式兩邊同乘，得到，，不等式兩邊同乘，得到，，。7.利用微分中值定理及積分中值定理例8-13設(shè)，在上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證：.證實(shí)：由積分中值定理知：，使得，從而原不等式變?yōu)?即有.引申：事實(shí)上結(jié)論可改為：，.注：設(shè)在上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有結(jié)論：.例8-14設(shè)在上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：，使得.證實(shí)1：設(shè)在處取得最大值，即.設(shè)，則在上分離使用拉格朗日中值定理得：，.，.又，，；，.于是==.證畢！證實(shí)2：設(shè)，則在上有延續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，，故有.考慮兩函數(shù)：，；，；則由柯西中值定理有，.即，.同理，.以上兩式相加，得==，其中.令，則，即.例8-15設(shè)，且，為實(shí)常數(shù)，試證：.證實(shí)：由，得，，注重到，故只需證實(shí).因?yàn)椋顑蛇吳髽O限得.從而.8.利用最大值和最小值證實(shí)例8-16若，求證：，都有.證實(shí)：設(shè)，令，解得.，，，故有.例8-17若在上延續(xù)，且，其中均大于零且為常數(shù)，求證：.證實(shí)1：，即.兩邊取積分得.即.證實(shí)2：是凹函數(shù)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，則，且有.于是由，，.9.利用泰勒公式例8-18設(shè)在上具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：.證實(shí)：在上具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，，使得.若，則不等式取等號(hào)成立；若，，由費(fèi)爾瑪定理知：.于是由泰勒公式在點(diǎn)展開分離取處的值：，，，.又，從而，，.即.例8-19設(shè)在上具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證：.證實(shí)：在上具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，，使得.若，則不等式取等號(hào)成立；若，于是在上分離用拉格朗日中值定理得：，；，，即，.于是=，即.例8-20設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：.證實(shí)：==.例8-21設(shè)，，則.分析：由條件知道該函數(shù)為凸函數(shù)，可以用Jensen不等式來處理；另外，該函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，故又可考慮泰勒展開.證實(shí)1：因?yàn)?，，故為凸函?shù)，即.令，有,兩邊對(duì)求極限，得.證實(shí)2：將在點(diǎn)處展開并求處的值.，因?yàn)椋?，兩邊積分，得.10、雜例（曲線曲面積分重積分不等式）例1：設(shè)曲線，試證：。提醒：，令，由，得到，故，從而。注：（1）若在曲線上，，曲線的長(zhǎng)為，則；（2）若在曲面上，，曲面的面積為，則練習(xí)：設(shè)曲面是圓柱體位于和之間的立體的表面，證實(shí)：。提醒：例2：設(shè)在上延續(xù)，證實(shí)：。證實(shí)1：因?yàn)?，故。證實(shí)2：利用輪換對(duì)稱性，。例3：設(shè)，證實(shí)不等式：。證實(shí)：，因?yàn)楸环e函數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故有不等式：。練習(xí)：證實(shí)不等式。提醒：=，令。例4：設(shè)曲線的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，證實(shí)：。證實(shí)：練習(xí)：證實(shí)不等式，其中。提醒：設(shè)圓心，對(duì)，令，則有。從而，于是兩邊積分得證。例5：設(shè)在上延續(xù)，且，證實(shí)：。證實(shí)：令，則，從而，故。8.3練習(xí)題8-1設(shè)，，都是正數(shù)，且，則.8-2都是正數(shù)，，求證：.8-3設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，（伯努利不等式）.8-4求證：對(duì)，.8-5求證：.8-6求證：，其中是閉區(qū)間上的正當(dāng)延續(xù)函數(shù).8-7設(shè)在上具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)，有.8-8設(shè)函數(shù)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有及，試證：.8-9設(shè)函數(shù)在上具有非負(fù)的二階導(dǎo)數(shù)，證實(shí)：對(duì)任何在區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)，都有.8-10設(shè)函數(shù)是上的正當(dāng)函數(shù)，且，則.8-11設(shè)，證實(shí)當(dāng)時(shí)，有.8-12證實(shí)：.8-13設(shè)函數(shù)是上的延續(xù)函數(shù)，不恒為零，滿意，則.8-14設(shè)函數(shù)在上有延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，又在內(nèi)取得最大值，證實(shí)：.8-15設(shè)是上的非負(fù)延續(xù)函數(shù)，，則對(duì)，.8-16設(shè)，證實(shí)：.8-17證實(shí)：.8-18設(shè)在上具有延續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且，證實(shí)：.8-19設(shè)在上具有延續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且，證實(shí)：.8-20設(shè)為正常數(shù)，證實(shí)：.8-21設(shè)，又在上非負(fù)延續(xù)，且，證實(shí)：.8-22設(shè)在上延續(xù)，且，證實(shí)：.8-23設(shè)在上延續(xù)且單減，證實(shí)：當(dāng)時(shí)，.8-24設(shè)在上具有二階延續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且，證實(shí)：.8-25設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：.8-26設(shè)為常數(shù)，且，，試證實(shí)：.8.4答案與提醒8-1仿例3即可得證.8-2利用，即，故.8-3當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，,即.8-4，即.8-5可利用拉格朗日估和公式或凸函數(shù)的性質(zhì)，即考慮函數(shù)在上是凹函數(shù)，故，即，從而得證.8-6仿例10可用三種主意求證.8-7在上用拉格朗日中值定理，，又，故,從而得證.8-8，故.8-9將分成等分，令，則，兩邊取極限，注重到即得證.8-10證實(shí)1設(shè)，將在隨意點(diǎn)處展開并取最大值.即，兩邊積分，得，即=故.從而得證.證實(shí)2對(duì)，，即得證.（幾何意義，凸函數(shù)曲邊梯形的面積大于或等于梯形的面積）8-11利用單調(diào)性，考慮函數(shù)，證實(shí)在上單調(diào)減少即可.8-12利用單調(diào)性，令即可.8-13令輔助函數(shù)求導(dǎo)得到==.令，則，.即可得證.8-14設(shè)，則.對(duì)在區(qū)間，上分離用拉格朗日中值定理即得證.8-15利用霍爾德不等式即得證.8-16利用拉格朗日估和公式即得.8-17考慮函數(shù)是凹函數(shù)，并利用定積分定義.8-18注