2024年廣東高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年第一次廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷本試卷共4頁，共22小題，滿分150分.考試用時90分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則集合A的非空真子集有（

）個A．5 B．6 C．7 D．82．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，則（

）A． B． C．3 D．44．函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

5．函數(shù)，的最小值為（

）A． B． C． D．6．下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．7．從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球” B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球” D．“至少有一個黑球”與“都是黑球”8．已知，，，則（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù),若，則x＝（

）A．－3 B．－2 C．3 D．3或－210．某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（

）A．86 B．85.5 C．85 D．84.511．已知，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個打電話給甲的概率是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13．若復(fù)數(shù)，則.14．已知角α的終邊經(jīng)過點(3，4)，則cosα=.15．若一個圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為．16．某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學(xué)生6000人．教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學(xué)生進(jìn)行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為150，那么在高中生中抽取了人．17．已知函數(shù)，則．18．已知，，則.三、解答題：本大題共4個大題，第19-21題各10分，第22題12分，共42分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.19．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.(1)求的值；(2)求的面積；20．某果園試種了兩個品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記兩個品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．（單位：）60504560708080808590（單位：）40606080805580807095(1)求，，，；(2)果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計算結(jié)果分析選種哪個品種更合適?并說明理由．21．1.汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故產(chǎn)生原因的一個重要因素．在一個限速為40km/h的彎道上，現(xiàn)場勘查測得一輛事故汽車的剎車距離略超過10米．已知這種型號的汽車的剎車距離（單位：m）與車速（單位：km/h）之間滿足關(guān)系式，其中為常數(shù)．試驗測得如下數(shù)據(jù)：車速km/h20100剎車距離m355(1)求的值；(2)請你判斷這輛事故汽車是否超速，并說明理由．22．如圖，四棱錐的底面為正方形，為的中點.

(1)證明：平面；(2)若平面，證明：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】根據(jù)題意，得到集合，結(jié)合非空真子集的概念，即可求解.【詳解】由集合，所以集合的非空真子集為：，，，，，，共有6個.故選：B.2．D【解析】利用，展開后應(yīng)用基本不等式可得最小值．【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：D．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．3．A【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算求解.【詳解】因為，所以，所以，故選:A.4．B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可得答案.【詳解】由題知的定義域為，又因為，所以為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于軸對稱，排除A、C；又，排除D.故選：B.5．D【分析】由的圖像，即可得出時的最小值．【詳解】由的圖像可知，時，，所以，故選：D．6．A【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.【詳解】角用弧度制表示為，B、D錯誤；終邊相同應(yīng)加上，故C錯誤．故選：A．7．A【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，恰好有一個黑球的事件與恰好有兩個黑球的事件不能同時發(fā)生，可以同時不發(fā)生，因此“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而不對立的兩個事件，A是；對于B，至少有一個黑球的事件與都是紅球的事件是對立事件，B不是；對于C，至少有一個黑球的事件與至少有一個紅球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，C不是；對于D，至少有一個黑球的事件與都是黑球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，D不是.故選：A8．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，，又因為，所以，即，所以.故選：B9．C【分析】分與兩種情況，求出答案.【詳解】當(dāng)時，，解得，不滿足要求，舍去；當(dāng)時，，解得，滿足要求.故選：C10．B【分析】把數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，然后用百分位數(shù)的定義求解.【詳解】從小到大的順序排列數(shù)據(jù)為：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是.故選：B.11．C【分析】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知判斷條件間推出關(guān)系，進(jìn)而確定它們的充分、必要關(guān)系.【詳解】由，當(dāng)時，由冪函數(shù)的性質(zhì)知：必成立，當(dāng)時，也有，∴“”是“”的充要條件.故選：C12．B【分析】根據(jù)題意，打電話的順序是任意的，打電話給甲乙丙三人的概率都相等均為，從而可得到正確的選項．【詳解】∵打電話的順序是任意的，打電話給甲、乙、丙三人的概率都相等，∴第一個打電話給甲的概率為．故選B．【點睛】此題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．13．##【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算與復(fù)數(shù)模的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以.故答案為：.14．【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義直接求解即可【詳解】解：因為角α的終邊經(jīng)過點(3，4)，所以，故答案：【點睛】此題考查任意角的三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15．【分析】利用三角形面積公式求得，再利用圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】依題意，設(shè)圓錐的底面半徑，則母線長為，則，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為．故答案為：．16．30【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.【詳解】高中生中抽取了人，故答案為：3017．##【分析】由指數(shù)與對數(shù)的運算法則求解．【詳解】，則，故答案為：18．【分析】利用數(shù)量積的運算法則將展開，結(jié)合求解即可1.【詳解】因為，，所以，所以.故答案為：.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦公式求得正確答案.（2）先求得，然后利用三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】（1）..由正弦定理可得.（2），所以的面積.20．(1)，，，(2)選擇品種，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差公式求解即可；（2）比較平均值和方差的大小可得答案.【詳解】（1），，

，．（2）由可得兩個品種平均產(chǎn)量相等，又，，則品種產(chǎn)量較穩(wěn)定，故選擇品種.21．(1)(2)超速，理由見解析【分析】（1）將表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)的解析式建立方程組即可求得答案；（2）根據(jù)（1）建立不等式，進(jìn)而解出不等式，最后判斷答案.【詳解】（1）由題意得，解得.（2）由題意知，，解得或（舍去）所以該車超速．22．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）