第1章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

1/86數(shù)字電子技術(shù)李景宏王永軍等編著2/86在電子技術(shù)中，被傳遞、加工和處理的信號可以分為兩大類：模擬信號和數(shù)字信號。模擬信號：時間和幅度都是連續(xù)變化的信號。數(shù)字信號：在時間和幅度上均不連續(xù)的信號。模擬電路：工作信號為模擬信號的電子電路。數(shù)字電路：工作信號為數(shù)字信號的電子電路。第1章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)3/861.1計數(shù)體制數(shù)是用來表示物理量多少的。常用多位數(shù)表示。通常，把數(shù)的組成和由低位向高位進位的規(guī)則稱為數(shù)制。在數(shù)字系統(tǒng)中，常用的數(shù)制包括十進制數(shù)(decimal)，二進制數(shù)(binary)，八進制數(shù)(octal)和十六進制數(shù)(hexadecimal)。4/861.1.1十進制數(shù)(DecimalSystem)組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9進位規(guī)則：逢十進一。不同位置數(shù)的權(quán)不同，可用10i表示。i在(n-1)至-m間取值。n為十進制數(shù)的整數(shù)位位數(shù)，m為小數(shù)位位數(shù)。10稱為基數(shù)(radix或base)。5/86例：729.35729.35=7×102+2×101+9×100+3×10-1+5×10-2

任意一個十進制數(shù)都可以寫成：任意進制數(shù)的按權(quán)展開式6/861.1.2二進制數(shù)(BinarySystem)組成：0、1進位規(guī)則：逢二進一一個二進制數(shù)M2可以寫成：7/86一個二進制數(shù)的最右邊一位稱為最低有效位，常表示為LSB(LeastSignificantBit)。最左邊一位稱為最高有效位，常表示為MSB(MostSignificantBit)。例：試標出二進制數(shù)11011.011的LSB，MSB位，寫出各位的權(quán)和按權(quán)展開式，求出其等值的十進制數(shù)。8/86M2=11011.0112=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3=27.3751011011.01124232221202-12-22-3MSBLSB9/861.1.3八進制數(shù)和十六進制數(shù)一、八進制數(shù)(octal)組成：0、1、2、3、4、5、6、7進位規(guī)則：逢八進一權(quán)值：8i

基數(shù)：8按權(quán)展開式10/86二、十六進制數(shù)(hexadecimal)

組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)進位規(guī)則：逢十六進一11/861.1.4數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1、二進制數(shù)和十進制之間的轉(zhuǎn)換（1）十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)將十進制數(shù)M10轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，一般采用將M10的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換，然后把其結(jié)果相加。M2=(11011.101)2

=1x24+1x23+0x22+1x21+1x20+1x2-1+0x2-2+1x2-3

=(27.625)1012/86(2)十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)例：將十進制數(shù)25.625轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。解：

225212余1=a026余0=a123余0=a221余1=a30余1=a40.625×21.250a-1=10.250×20.500a-2=00.500×21.000a-3=1(25.625)10=(11001.101)213/862、二進制數(shù)和八進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換三位二進制數(shù)恰好等于一位八進制數(shù)。對于二進制數(shù)，從小數(shù)點處開始，分別向左、右按三位分為一組，每組就對應(yīng)一位八進制數(shù)，組合后即得到轉(zhuǎn)換的八進制數(shù)。將八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時，把每位八進制數(shù)寫成等值的二進制數(shù)，再連接起來，即得到二進制數(shù)。

14/86例：將1011011.10101112轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。解：∴1011011.10101112=133.53481

011

011.101

011

10000.133435例：將八進制數(shù)2748轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。解：

∴2748=10111100227410001011115/863、二進制數(shù)與十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換因為16=24，所以4位二進制數(shù)代表一位十六進制數(shù)。將二進制數(shù)從小數(shù)點處開始，分別向左、右按每四位分為一組，每組用相應(yīng)的十六進制數(shù)表示，組合后可得到相應(yīng)的十六進制數(shù)。16/86將1101110.11011102轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)。將1BE3.9716轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。01101110.110111006E.DC1BE3.970001101111100011.1001011117/861.2常用編碼編碼：是指用文字、符號、數(shù)碼等表示某種信息的過程。數(shù)字系統(tǒng)中處理、存儲、傳輸?shù)亩际嵌M制代碼0和1，因而對于來自于數(shù)字系統(tǒng)外部的輸入信息，例如十進制數(shù)0～9或字符A～Z，a～z等，必須用二進制代碼0和1表示。二進制編碼：給每個外部信息按一定規(guī)律賦予二進制代碼的過程?；蛘哒f，用二進制代碼表示有關(guān)對象（信號）的過程。

18/861.2.1二—十進制編碼（BCD碼）二—十進編碼是用四位二進制代碼表示一位十進制數(shù)的編碼方式。BCD碼的本質(zhì)是十進制，其表現(xiàn)形式為二進制代碼。如果任意取四位二進制代碼十六種組合的其中十種，并按不同的次序排列，則可得到多種不同的編碼。常用的幾種BCD碼列于下表中。19/86無權(quán)碼542124212421無權(quán)碼8421權(quán)0010011001110101010011001101111111101010000000010010001101001000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110000000100100011010001010110011111101111001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100010101100111100010010123456789余3循環(huán)碼5421碼2421碼(B)2421碼(A)余3碼8421碼十進制

常用的幾種BCD碼種類20/86⒈8421BCD碼 8421碼是最常用的一種BCD（BinaryCodedDecimal）碼，舍去四位二進制碼的最后六個碼，十位數(shù)和其二進制數(shù)有對應(yīng)關(guān)系，為恒權(quán)碼。⒉余3碼

特點是每個余3碼所表示的二進制數(shù)要比它對應(yīng)的十進制數(shù)多3。

21/861.2.2循環(huán)碼00000001001100100110011101010100循環(huán)碼01234567十進制數(shù)四位循環(huán)碼11001101111111101010101110011000循環(huán)碼89101112131415十進制數(shù)22/861.2.3ASCII碼 ASCII是AmericanNationalStandardCodeforInformationInterchange美國國家信息交換標準代碼的簡稱。常用于通訊設(shè)備和計算機中。 它是一組八位二進制代碼，用1～7七位二進制代碼表示十進制數(shù)字、英文字母及專用符號。第八位作奇偶校驗位（在機中常為0）。23/86ASCII碼DELo_O?/USSI1111~n^N>.RSSO1110}m]M=-GSCR1101|l\L<,FSFF1100{k[K;+ESCVT(home)1011zjZJ:*SUBLF(linefeed)1010yIYI9)EMHT(tab)1001xhXH8(CANBS1000wgWG7’ETBBEL(beep)0111vfVF6&SYNACK0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2”DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001p`P@0SPDLENUL(null)0000111110101100011010001001b4b3b2b1b7b6b524/86⒈4.1邏輯變量和邏輯函數(shù)⑴邏輯值的概念在數(shù)字系統(tǒng)中，通常用邏輯真和邏輯假狀態(tài)來區(qū)分事物的兩種對立的狀態(tài)。邏輯真狀態(tài)用‘1’表示；邏輯假狀態(tài)用‘0’來表示?！?’和‘0’分別叫做邏輯真假狀態(tài)的值。0、1只有邏輯上的含義，已不表示數(shù)量上的大小。1.4邏輯代數(shù)基礎(chǔ)25/86⑵高、低電平的概念以兩個不同確定范圍的電位與邏輯真、假兩個邏輯狀態(tài)對應(yīng)。這兩個不同范圍的電位稱作邏輯電平，把其中一個相對電位較高者稱為邏輯高電平，簡稱高電平，用H表示。而相對較低者稱為邏輯低電平，簡稱低電平，用L表示。上限值下限值上限值下限值5V2V0.8V0V高電平H低電平L26/86⑶狀態(tài)賦值和正、負邏輯的概念狀態(tài)賦值：數(shù)字電路中，經(jīng)常用符號1和0表示高電平和低電平。把用符號1、0表示輸入、輸出電平高低的過程叫做狀態(tài)賦值。正邏輯：在狀態(tài)賦值時，如果用1表示高電平，用0表示低電平，則稱為正邏輯賦值，簡稱正邏輯。負邏輯：在狀態(tài)賦值時，如果用0表示高電平，用1表示低電平，則稱為負邏輯賦值，簡稱負邏輯。27/861.4.2基本邏輯運算和基本邏輯門基本邏輯運算有邏輯與、邏輯或和邏輯非。實現(xiàn)這三種邏輯運算的電路，稱作基本邏輯門。

⑴邏輯與（乘）運算只有決定一件事情的全部條件具備之后，結(jié)果才能發(fā)生，這種因果關(guān)系為“邏輯與”或“邏輯乘”。28/86

與邏輯電路EABF邏輯符號FAB(b)AB(a)FFAB&(c)AB00011011F0001真值表29/86邏輯真值表（TruthTable）：經(jīng)過狀態(tài)賦值之后所得到的由文字和符號0、1組成的，描述輸入和輸出的所有狀態(tài)的表格。簡稱真值表。邏輯與的邏輯關(guān)系表達式寫成F=A·B與邏輯功能可記成：“有0為0，全1為1”與運算規(guī)則：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1A·0=0；A·1=A；0·A=0；1·A=A30/86⑵邏輯或（加）運算決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，結(jié)果就會發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為“或邏輯”，也稱“邏輯加”。31/86EABF或邏輯電路ABF(c)≥1ABF(a)+ABF(b)邏輯符號AB00011011F0111真值表32/86邏輯或的邏輯關(guān)系表達式F=A+B或邏輯功能可記成“有1為1，全0為0”。由真值表看出0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1，A+0=A；A+1=1；A+A=A?；蜻壿嬘址Q邏輯加法。通過上述真值表，可見它和算術(shù)加有很大區(qū)別。在邏輯加中1+1=1，1+1+···+1=1。33/86⑶邏輯非運算 條件具備時結(jié)果不發(fā)生，條件不具備時結(jié)果反而發(fā)生，這種因果關(guān)系是邏輯非。非也稱為取反。34/86非邏輯電路EARFA01F10真值表AF1(c)AF(a)邏輯圖AF(b)35/86邏輯非的邏輯表達式寫成AF=10=01=AA=0=×AA1=+AA36/864、復(fù)合邏輯運算=A⊙B

復(fù)合邏輯運算符號如圖:ABFABF++FABCDABFABF⊙?ABFABFFABCDABFABF?ABFABFFABCDABFABF?ABF&ABF≥1≥1FABCD&ABFABF=1=ABFABFFABCDABFABFABF=BAF+=CDABF+=BABABAF?=+=BABAF+=37/86⒋邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

⑴基本公式0-1律A·0=0A+1=1自等律A·1=AA+0=A重疊律A·A=AA+A=A互補律A·A=0A+A=1交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B·C)=(A·B)·CA+B·C=(A+B)(A+C)吸收律A(A+B)=AA+A·B=A反演律AB=A+BA+B=A·B否定律A=A38/86用真值表可證明基本公式。如反演律BABA+=×ABABA+BA+BA·B00111101110010110011000039/86⑵邏輯代數(shù)的三條規(guī)則公式⒈代入規(guī)則

在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方，都代之一個函數(shù)，則等式仍然成立。這個規(guī)則叫代入規(guī)則。CBABCABCA++=+×=××BABA+=×40/86⒉反演規(guī)則將邏輯表達式中所有·變+，+變成·（注意省略的“·”號）1變成0，0變成1，原變量變成反變量反變量變成原變量即得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)反演規(guī)則常用于從已知原函數(shù)求出其反函數(shù)。41/86F=A+B+C+D+E+(G·H)F=A·B·C·D·E·(G+H)例：42/86⒊對偶規(guī)則

將邏輯函數(shù)F中的 “·”換成“＋”；“＋”換成“·” “０”換成“１”；“１”換成“０”即可求得F的對偶式F’。若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的對偶式也相等；反之亦然。F=A·B+A·C+B·CF’=(A+B)·(A+C)·(B+C)43/86⑶常用公式公式1：AB+AB=A證明：AB+AB=A（A+B）=A公式2：A+AB=A+B證明：A+AB=(A+A)(A+B)=A+B公式3：AB+AC+BC=AB+AC證明：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC推論：AB+AC+BCD=AB+AC44/86同理：A⊙B=A⊕B公式5：AB+AB=AB+AB(A⊕B=A⊙B)證明：AB+AB=AB·AB=(A+B)·(A+B)=AB+AB=A⊙B公式4：AB+AC=AB+AC證明：AB+AC=AB·AC=(A+B)·(A+C)=AA+AC+AB+BC=AB+AC+BC=AB+AC45/86在處理邏輯問題時，可用多種方法來表示邏輯函數(shù)，其常用表示方法有真值表，邏輯表達式，卡諾圖和邏輯圖等。

1.4.4邏輯函數(shù)的表示方法46/86邏輯函數(shù)表達式：F=A·B+A·B真值表ABF001010100111&≥1&11ABF電路圖47/861.4.5邏輯函數(shù)的化簡最簡與或表達式應(yīng)滿足①乘積項的個數(shù)應(yīng)該是最少的②在滿足乘積項個數(shù)最少的條件下，要求每一個乘積項中變量的個數(shù)也最少。與或表達式最簡，由它轉(zhuǎn)換得來的表達式，一般來說也就最簡。48/861、邏輯函數(shù)的代數(shù)（公式）化簡法

代數(shù)化簡法的實質(zhì)就是反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子，以求得函數(shù)式的最簡與或式。因此化簡時，沒有固定的步驟可循。 經(jīng)常使用的方法：49/86①吸收法：根據(jù)公式A+AB=A可將AB項消去，A和B同樣也可以是任何一個復(fù)雜的邏輯式。50/86②消去法：利用公式A+AB=A+B，消去多余因子。A、B均可是任何復(fù)雜的邏輯式。51/86③合并項法：利用公式A+A=1可以把兩項合并為一項，并消去一個變量。52/86④配項法：將式中的某一項乘以A+A或加AA53/8654/862、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法①卡諾圖表示法 卡諾圖（KarnaughMap）是邏輯函數(shù)的一種圖形表示方法。 卡諾圖和真值表一樣可以表示邏輯函數(shù)和輸入變量之間的邏輯關(guān)系?？ㄖZ圖是用圖示方法將各種輸入變量取值組合下的輸出函數(shù)值一一表達出來。55/86②最小項

對于n個變量，如果某乘積項含有n個因子，每個因子或以原變量或以反變量的形式僅僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為最小項。 n個變量一共有2n個最小項。因為每一個變量都有兩種狀態(tài)—原變量和反變量，而變量一共有n個。56/86③最小項編號

編號方法：把與最小項對應(yīng)的那一組變量取值組合當成二進制數(shù)，與其對應(yīng)的十進制，就是該最小項的編號。57/86三個變量的最小項及其編號m0m1m2m3m4m5m6m700000101001110010111011101234567最小項編號最小項ABC序號58/86三變量最小項真值表m7m6m5m4m3m2m1m0編號000000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000000000101001110010111011159/86④最小項性質(zhì)

⑴n個變量的邏輯函數(shù)有2n個最小項。⑵每一個最小項對應(yīng)了一組變量取值，任意一個最小項，只有對應(yīng)的那一組取值使其值為1，其它均為0。⑶任意兩個最小項之積恒為0，記作：mi·mj=0（i≠j）⑷所有最小項的邏輯和為1，記作Σmi=1（i=0，1，2，···，2n-1）⑸n個變量邏輯函數(shù)的每一個最小項都有n個相鄰項。相鄰是指邏輯相鄰。⑹兩個最小項相加可以消去互為反變量的因子。60/86（2）卡諾圖的畫法①畫正方形或矩形，圖形中分割出2n個小方格，n為變量的個數(shù)，每個最小項對應(yīng)一個小方格。②變量取值按循環(huán)碼排列（GrayCode），其特點是相鄰兩個編碼只有一位狀態(tài)不同。 變量卡諾圖形象地表達了變量各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。61/86BABBAABABAABAB(a)標最小項BA010m0m11m2m3(c)標最小項編號BA010000111011(b)標變量取值二變量卡諾圖62/86三變量卡諾圖63/86四變量卡諾圖CDAB0001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m1064/86五變量卡諾圖CDEAB0000010110101101111011000001326754018911101415131211242527263031292810161719182223212065/86(3)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 根據(jù)邏輯函數(shù)的最小項表達式（給出的是最小項表達式）將對應(yīng)的邏輯函數(shù)的最小項的小方格填入1，其它的方格填入0。

BCA00011110001011001166/86（4）用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)按以下步驟進行： (a)畫出函數(shù)的卡諾圖 (b)畫包圍圈，合并最小項在卡諾圖中，凡是相鄰的最小項均可合并，合并時，可消去有關(guān)變量。某個變量的正反值都有的即可消除。兩個相鄰最小項可以消除一個變量。四個相鄰最小項可以消除兩個變量。八個相鄰最小項可以消除三個變量。67/86二相鄰最小項的合并CDAB00011110000000010000110010100010CDAB0001111000000001000011001110000068/86二相鄰最小項的合并CDAB00011110001000010000110000101000CDAB0001111000000001100111000010000069/86四相鄰最小項的合并CDAB00011110000000010000110110100110CDAB0001111000000001000011111110000070/86四相鄰最小項的合并CDAB00011110001001010000110000101001CDAB0001111000000001100111100110000071/86四相鄰最小項的合并CDAB00011110000010010010110010100010CDAB0001111000110001000011000010110072/86八相鄰最小項的合并CDAB00011110000000011111111111100000CDAB0001111000011001011011011010011073/86八相鄰最小項的合并CDAB00011110001111010000110000101111