第3章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

3.1信號(hào)的正交分解3.2周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間的傅立葉級(jí)數(shù)3.3周期信號(hào)的頻譜3.4非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅立葉變換3.5傅立葉變換的性質(zhì)3.6周期信號(hào)的傅立葉變換3.7連續(xù)信號(hào)的抽樣定理3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析第三章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.1

信號(hào)的正交分解該式可為兩矢量正交的定義式。另外一種理解V1與V2不正交，現(xiàn)在要求尋求一個(gè)與V2

成比例的矢量C12

V2，使得當(dāng)用C12V2近似表示V1時(shí)，其誤差矢量Ve

的模最小。就是找一個(gè)最佳系數(shù)C12，使Ve的模最小。如左上圖所示，知V1垂直于V2時(shí)，Ve的模才能最小。這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)3.1.1

矢量的正交分析

1.正交矢量

數(shù)學(xué)定義

兩矢量正交，在幾何意義上是指兩矢量相互垂直（如右圖所示）。兩矢量相互垂直時(shí)的夾角為90度，即：所以最佳系數(shù)為此時(shí)，結(jié)論：給定兩矢量V1和V2,若用與V2成比例的矢量C12

V2近似V1，要求誤差矢量的模最小，（此時(shí)的C12稱為最佳），當(dāng)C12＝0時(shí)，Ve的模最小，此時(shí)V1和V2正交。

2.矢量分解在平面空間里，相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個(gè)正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任

一矢量V都可表示為V1和V2的線性組合（如上圖）。即：V=C1V1+C2

V2。式中V1、V2為單位矢量，且V1·V2＝0。其中：

同樣，對(duì)于一個(gè)三維的空間矢量，要精確地表示它，就必須用一個(gè)三維的正交矢量集。如左圖，三維矢量空間可精確地表示為：V=c1V1+c2V2+c3V3推廣到n維空間，則有其中，Ci

=V·Vi/Vi

·Vi3.1.2信號(hào)的正交分解

1.正交信號(hào)（函數(shù)）*定義:設(shè)f1(t)和f2(t)為定義在（t1,t2)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，現(xiàn)在要用與f2(t)成比例的一個(gè)函數(shù)C12f2(t)近似地代表

f1(t)，其誤差信號(hào)為平方誤差定義為：改變c12的大小，如果使Ee

為最小時(shí)相應(yīng)的c12＝0，稱

f1(t)和f2(t)在區(qū)間（t1,t2)上正交。判定兩信號(hào)正交的條件：

2信號(hào)的正交分解*正交函數(shù)集：設(shè)一函數(shù)集當(dāng)Ki=1時(shí)，稱為歸一化正交函數(shù)集。

*信號(hào)的分解：用上述正交函數(shù)集近似地表示信號(hào)f(t)，即：這種近似所產(chǎn)生的平方誤差為：可以求出，欲使Ee達(dá)到最小，其第r個(gè)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)Cr為此時(shí)的平方誤差為下式所示：

如果對(duì)于某一類f(t),所選擇的正交函數(shù)集滿足Ee等于零，則稱正交函數(shù)集對(duì)于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。

一個(gè)完備的正交函數(shù)集通常是一個(gè)無窮函數(shù)集。關(guān)于完備的正交函數(shù)集，有兩個(gè)重要定理。見課本P91。

3兩個(gè)完備的正交函數(shù)集

（1）三角函數(shù)集基本周期：T=2л/Ω,正交區(qū)間（t0

，t0+T）。是完備的正交函數(shù)集。完備性：無窮函數(shù)集。基本周期：T=2л/Ω,

正交區(qū)間（t0

，t0+T）。

是完備的正交函數(shù)集。完備性：無窮函數(shù)集(2)指數(shù)函數(shù)集：3.2周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分解3.2.1三角形式傅立葉級(jí)數(shù)分解

1.三角函數(shù)集對(duì)周期信號(hào)，該函數(shù)在（t0，t0+T）上為完備的正交函數(shù)集。

2.正交展開將任一周期函數(shù)信號(hào)展開為：該函數(shù)系數(shù)將a0包含在an中則有：該周期函數(shù)可以視為由直流、基波和無窮多諧波分量組成。

3。

4.當(dāng)該周期函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，bn＝0，展開式只含直流及說明：1.周期信號(hào)可分解表示為三角函數(shù)的線性組合。

2.物理意義：周期信號(hào)可分解為眾多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正（余）弦函數(shù)或分量的線性組合。具體有：當(dāng)該周期函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，a0＝an＝0，展開式只會(huì)含3.2.2指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)分解

1.復(fù)指數(shù)函數(shù)集該函數(shù)集在（t0，t0+T）上為周期信號(hào)的完備正交函數(shù)集。

2.正交展開：將任一周期信號(hào)展開為稱為周期信號(hào)的指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)展開式或復(fù)系數(shù)傅葉級(jí)數(shù)3.2.3傅立葉系數(shù)關(guān)系

比較兩種展開式，得：例題：周期性矩形脈沖的傅立葉系數(shù)計(jì)算。P94結(jié)論：其中：例：周期性矩形脈沖信號(hào)，求其三角型、指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)。周期：TT＝2π/Ω

幅度：E寬度：τ

解：因?yàn)閒T(t)為偶函數(shù)，所以bn=0展開式僅含直流與余弦分量其中：如下圖稱為“取樣”函數(shù)其性質(zhì)：①

偶函數(shù)②

③

3.3周期信號(hào)的頻譜與功率3.3.1fT(t)的頻譜

fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號(hào)或正弦信號(hào)的線性組合。為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫出振幅及相位隨w變化的曲線稱其為頻譜圖。以前節(jié)周期信號(hào)為例：各諧波分量的角頻率nΩ

是基波角頻率Ω的n倍且有不同的

振幅和相位，均由傅立葉系數(shù)反映出來。Ω雙邊振幅譜：單邊振幅譜：頻譜特點(diǎn)：

1.離散性、諧波性：僅在0、正負(fù)Ω、正負(fù)2Ω。。處出現(xiàn)，與相應(yīng)諧波分量對(duì)應(yīng)。譜線間隔Ω＝2π/T

，當(dāng)T增加，Ω減小當(dāng)T趨近于無窮大時(shí)，周期函數(shù)變?yōu)榉侵芷诤瘮?shù)，離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。

2.收斂性：振幅包絡(luò)線按Sa(ωτ/2)規(guī)律變化，總趨勢(shì)為0。*能量集中于低頻分量：當(dāng)nΩτ/2=kπ(k=正負(fù)1,正負(fù)2…..),即nΩ=2kπ/τ時(shí),包絡(luò)線振幅為零.定義信號(hào)頻帶寬度(帶寬):

*帶寬與脈寬成反比:τ愈小,Bw愈大.

*脈沖幅度一定時(shí),振幅譜幅值(τ/T)與τ成正比,與T成反比.當(dāng)T趨近于無窮大時(shí),各諧波分量振幅均趨近于無窮小,但它們之間仍有一定比例關(guān)系.在非周期信號(hào)頻譜中將用頻譜密度這一概念來描述這種相對(duì)比例關(guān)系.

3.3.2fT(t)的功率

設(shè)fT(t)為實(shí)信號(hào)在1歐姆電阻上消耗的平均功率為:fT(t)為實(shí)函數(shù)所以,周期信號(hào)時(shí)域功率=頻域信號(hào)功率之和-------帕塞瓦兒恒等式

3.4.1傅立葉變換

周期信號(hào)分解的數(shù)學(xué)工具是傅立葉級(jí)數(shù);

非周期信號(hào)分解的數(shù)學(xué)工具是傅立葉變換.對(duì)周期信號(hào)改寫為故對(duì)非周期信號(hào)簡記為3.4非周期信號(hào)的分解

3.4.2非周期信號(hào)的頻譜函數(shù).1.理論上講,f(t)應(yīng)滿足一定條件才可存在傅立葉變換,一般來說.

存在的充分條件為f(t)滿足絕對(duì)可積,即要求

2.在這里,F(jω)不是振幅的概念,而是密度概念,故稱頻譜密度.3.F(jω)為一復(fù)函數(shù).上式中:易推結(jié)論:f

(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)有:4.逆變換的物理含義:*非周期信號(hào)的(虛指數(shù)函數(shù))分解;*非周期信號(hào)的正弦分解:

一.線性：

傅立葉計(jì)算是一種線性運(yùn)算，它包含兩種意義：1。齊次性：時(shí)域信號(hào)數(shù)乘a，頻譜函數(shù)也數(shù)乘a。2。可加性：幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)＝各信號(hào)頻譜函數(shù)之和。

二.時(shí)移性：證明：3.5傅立葉交換性質(zhì)、定理同理：所以：f(t)右移t0，F(xiàn)(jω)幅度不變，諧頻率分量相位滯后ωt0

例：

即：三.頻移性：證：說明：頻域中頻譜右移ω0，反映在時(shí)域中對(duì)立f(t)乘以虛指數(shù)函數(shù)例：求高頻調(diào)制信號(hào)的頻譜。解：即：f(t)的頻譜是將gτ(t)頻譜左右各移ω0，幅度為原來的1/2。低頻信號(hào)不便遠(yuǎn)距離傳輸，經(jīng)調(diào)制，頻譜挪移，使變頻信號(hào)實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳輸，載波信號(hào)可以是cos

ω0t或sinω0t。一般有：故有：四.尺度變換：且a為常實(shí)數(shù)（a不等于零）。則：證：綜上有：含義:f(at):表示將f(t)波形沿大軸壓縮a倍.表示將F(jω)波形沿ω軸擴(kuò)展a倍，幅度減小|a|倍。例：

可見：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與帶寬成反比。電子技術(shù)中為加快信息傳輸，在時(shí)域壓縮持續(xù)時(shí)間，但是在ω域不得不展寬頻帶，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該權(quán)衡考慮。推論：證一：先進(jìn)行時(shí)移后進(jìn)行尺度變換證二：先進(jìn)行尺度變換后進(jìn)行時(shí)移注意：在時(shí)域，無論時(shí)移、尺度都是對(duì)t來說的。五.對(duì)稱性：證：所以，性質(zhì)成立！推論：若f(t)為t的偶函數(shù)，則例一：例二：例三：求F(1/t)。例四：求六.卷積定理：應(yīng)用傅立葉變換定義和時(shí)移性可證卷積。證明如下：例：求解：含義：時(shí)域卷積運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為頻域相乘在求傅立葉反變換七.時(shí)域微分、積分：式（2）證：例一：由對(duì)稱性得：由時(shí)域相乘得：由線性、倒置性可得：八.頻域微分、積分：1.頻域微分：證：因?yàn)楦鶕?jù)頻域卷積定理得：由前面結(jié)果得：同理n階微分也成立！2.頻域積分：如果f(0)=0，則有證：按卷積微積分性質(zhì)：考慮傅立葉反變換得下式1：由于按對(duì)稱性得：將上結(jié)果代入1式得：其中f(0)可由頻域積分得到：例：九.帕什瓦爾定理:對(duì)于周期信號(hào)的帕什瓦爾定理有：表明周期信號(hào)的功率＝該信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。

周期信號(hào)是功率信號(hào)，但一般而言，非周期信號(hào)不是功率信號(hào)，其平均功率為零，其能量為有限值，故為能量信號(hào)，只能從能量觀點(diǎn)研究。

非周期信號(hào)總能量：時(shí)域定義交換積分次序可證：最后得：十.周期信號(hào)的傅立葉變換:方法一：說明：fT(t)的傅立葉變換由無窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，它位于信號(hào)各諧波角頻率nΩ處，其強(qiáng)度為各諧波分量幅度Fn的

2π倍

。例：單位沖激序列的傅立葉變換。說明：的傅立葉變換是周期為Ω強(qiáng)度為Ω的沖激序列。方法二：綜上：例：一.低通信號(hào)與樣值信號(hào)：

1.低通信號(hào)（也稱帶限信號(hào)）：2.樣值信號(hào)信號(hào)f(t)加在抽樣器的輸入端，抽樣器相當(dāng)于一個(gè)定時(shí)開關(guān)，它每隔Ts秒閉合一次，閉合時(shí)間為τ，輸出端輸出fs(t)3.7連續(xù)信號(hào)的抽樣定理抽樣周期抽樣頻率抽樣角頻率2.抽樣數(shù)學(xué)模型：研究兩個(gè)問題：二.樣值信號(hào)的傅立葉變換：設(shè)：f(t)為低通信號(hào)，S(t)為均勻沖激序列。信號(hào)的抽樣及其頻譜圖示：三.f(t)的恢復(fù)：

頻域處理：恢復(fù)公式可見：連續(xù)信號(hào)f(t)可由多個(gè)位于抽樣點(diǎn)的Sa函數(shù)組成，各Sa函數(shù)的幅值為該點(diǎn)的抽樣值f(nTs),依據(jù)上述公式，可由各抽樣值恢復(fù)出f（t）。圖示如下：四.時(shí)域抽樣定理：五.周期脈沖抽樣：

理想抽樣在理論上是成立的，但實(shí)際上無法實(shí)現(xiàn)。因?yàn)闆_激序列無法得到。實(shí)際工作中，抽樣器用電子開關(guān)實(shí)現(xiàn)，開關(guān)函數(shù)用周期矩形脈沖函數(shù)。對(duì)于周期脈沖抽樣：1.樣值信號(hào)：2.脈沖抽樣過程及其波形，頻譜如下頁圖.圖：矩形脈沖抽樣

(a)f(t)的波形及其頻譜；

(b)PTs的波形及其頻譜；

(c)

fs(t)的波形及其頻譜

六.頻域抽樣：3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.8.1基本信號(hào)ejωt激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)時(shí)域分析公式(3.8-1)，系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)ejωt的零狀態(tài)響應(yīng)為3.8.2一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)由于任意信號(hào)f(t)可以表示為無窮多個(gè)基本信號(hào)ejωt的線性組合，因而應(yīng)用線性疊加性質(zhì)不難得到任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其推導(dǎo)過程如下：(式(3.8－6))(齊次性)所以(疊加性)由此可得用頻域分析法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為：例3.8-1

已知激勵(lì)信號(hào)f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，試求圖3.8-1所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。圖3.8-1例3.8-1的圖注意到δ(ω)的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(jω)的逆變換，將UCf(jω)按如下形式整理:例3.8-2如圖3.8-2(a)所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入s(t)的波形如圖3.8-2(b)所示，系統(tǒng)函數(shù)圖3.8-2例3.8-2圖(a)系統(tǒng)組成；(b)s(t)的波形先求f(t)的傅里葉變換F(jω)，由于再求s(t)的傅里葉變換S(jω)。由于s(t)為周期信號(hào)，T=1ms，則

,因而有圖3.8-3y(t)的求解由沖激函數(shù)的卷積特點(diǎn)及F(jω)、S(jω)的圖形可知，X(jω)為無窮多個(gè)分別位于n2000π處的矩形脈沖，每個(gè)脈沖的寬度為4但幅度不等?？紤]到隨后的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)，在|ω|＞1時(shí)H(jω)=0，因而我們僅關(guān)心在|ω|＜1范圍內(nèi)的X(jω)。與|ω|＜1范圍有關(guān)的X(jω)為例3.8-3

已知系統(tǒng)函數(shù)H(jω)如圖3.8-4(a)所示，試求在f(t)(圖3.8-4(b))作用下系統(tǒng)的輸出y(t)。解周期信號(hào)f(t)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)：由T=4s可知， ?？紤]到H(jω)的低通特性，當(dāng)|nΩ|≥π時(shí)H(jnΩ)=0，即|n|≥2時(shí)H(jnΩ)=0，則圖3.8-4例3.8-3圖3.8.3無失真?zhèn)鬏敆l件從以上分析可知，在一般情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)與所加激勵(lì)波形不相同。也就是說，信號(hào)在傳輸過程中產(chǎn)生了失真。

1.失真的概念如果信號(hào)通過系統(tǒng)傳輸時(shí)，其輸出波形發(fā)生畸變，失去了原信號(hào)波形的樣子，就稱失真。反之，若信號(hào)通過系統(tǒng)只引起時(shí)間延遲及幅度增減，而形狀不變，則稱不失真，如圖3.8－5所示。圖3.8-5系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏斖ǔ０咽д娣譃閮纱箢悾阂活悶榫€性失真，另一類為非線性失真。信號(hào)通過線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的失真稱線性失真。其特點(diǎn)是在響應(yīng)y(t)中不會(huì)產(chǎn)生新頻率。也就是說，組成響應(yīng)y(t)的各頻率分量在激勵(lì)信號(hào)f(t)中都含有，只不過各頻率分量的幅度、相位不同而已。反之，f(t)中的某些頻率分量在y(t)中可能不再存在。如圖3.8-6所示的失真就是線性失真，對(duì)y(t)與f(t)求傅里葉變換可知，

y(t)中決不會(huì)有f(t)中不含有的頻率分量。圖3.8-6線性失真信號(hào)通過非線性電路所產(chǎn)生的失真稱非線性失真。其特點(diǎn)是在響應(yīng)y(t)中產(chǎn)生了信號(hào)f(t)中所沒有的新的頻率成分。如圖3.8－7所示，其輸入信號(hào)f(t)為單一正弦波，f(t)中只含有f0的頻率分量。而經(jīng)過非線性元件二極管后得到的半波整流信號(hào)，在波形上產(chǎn)生了失真，而在頻譜上產(chǎn)生了由無窮多個(gè)f0的諧波分量構(gòu)成的新頻率，這就是非線性失真。圖3.8-7非線性失真

2.無失真?zhèn)鬏敆l件從圖3.8－5中可以得到，要求信號(hào)f(t)無失真地傳輸，在時(shí)域上y(t)與f(t)之間應(yīng)滿足(3.8－7)式中，幅度增量K及延遲時(shí)間td均為常數(shù)。這樣，