2019山東省青島市中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019年山東省青島市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）的相反數(shù)是（）

A.-A/3B.-返C.±A/3D.V3

3

3.（3分）2019年1月3日，我國“嫦娥四號(hào)”月球探測(cè)器在月球背面軟著陸，實(shí)現(xiàn)人類有

史以來首次成功登陸月球背面.已知月球與地球之間的平均距離約為3840005?,把

384000初?用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.38.4XIO4版B.3.84X\05km

C.0.384X1（）6加D.3.84X}06hn

4.（3分）計(jì)算（-2%）2*（-W/M2+3/M3）的結(jié)果是（）

A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+l2m5

5.（3分）如圖，線段AB經(jīng)過的圓心，AC,分別與。。相切于點(diǎn)C,D.若AC=

8。=4,NA=45°,則而的長度為（）

6.（3分）如圖，將線段A8先向右平移5個(gè)單位，再將所得線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

90°,得到線段A'B',則點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'的坐標(biāo)是（）

A.(-4,1)B.(-1,2)C.(4,-I)D.(I,-2)

7.(3分)如圖，8。是△ABC的角平分線，AE1BD,垂足為F.若N4BC=35°,ZC=

50°,則NCCE的度數(shù)為()

A.35°B.40°C.45°D.50°

8.（3分）已知反比例函數(shù)丫=生的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=--2%和一次函數(shù)y

x

=以+”在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）計(jì)算：返安叵-（炳）°=_______.

V2

10.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2/-x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值為.

11.（3分）射擊比賽中，某隊(duì)員10次射擊成績?nèi)鐖D所示，則該隊(duì)員的平均成績是環(huán).

12.（3分）如圖，五邊形A8CDE是的內(nèi)接正五邊形，AF是。O的直徑，則的

度數(shù)是_______

13.（3分）如圖，在正方形紙片ABC。中，E是C。的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)3落

在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF.若AQ=4c〃?，則C尸的長為cm.

14.（3分）如圖，一個(gè)正方體由27個(gè)大小相同的小立方塊搭成，現(xiàn)從中取走若干個(gè)小立方

塊，得到一個(gè)新的幾何體.若新幾何體與原正方體的表面積相等，則最多可以取走

個(gè)小立方塊.

三、作圖題（本大題滿分4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：Za,直線/及/上兩點(diǎn)A,B.

求作：RtAABC,使點(diǎn)C在直線/的上方，且N48C=90°,/BAC=/a.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

2,2

16.（8分）⑴化簡：史工■+（EL±L_-2n）；

mm

（2）解不等式組，5*\5,并寫出它的正整數(shù)解.

3x-l<8

17.（6分）小明和小剛一起做游戲，游戲規(guī)則如下：將分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4個(gè)小

球放入一個(gè)不透明的袋子中，這些球除數(shù)字外都相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下數(shù)字后

放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下數(shù)字.若兩次數(shù)字差的絕對(duì)值小于2,則小明獲勝，否

則小剛獲勝.這個(gè)游戲?qū)扇斯絾?？?qǐng)說明理由.

18.（6分）為了解學(xué)生每天的睡眠情況，某初中學(xué)校從全校800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了40名

學(xué)生，調(diào)查了他們平均每天的睡眠時(shí)間（單位：/?）,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,

9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.

在對(duì)這些數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表：

睡眠時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)表睡眠時(shí)間分布情況

組別睡眠時(shí)間分組人數(shù)（頻數(shù)）

17Wf<8m

28Wr<911

39WV10n

410<r<ll4

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）m=,n=，a=,b=；

（2）抽取的這40名學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在組（填組別）;

（3）如果按照學(xué)校要求，學(xué)生平均每天的睡眠時(shí)間應(yīng)不少于9〃，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生中睡眠

時(shí)間符合要求的人數(shù).

睡眠時(shí)間分布情況

19.（6分）如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB,棧道A8與

景區(qū)道路CD平行.在C處測(cè)得棧道一端A位于北偏西42°方向，在。處測(cè)得棧道另一

端B位于北偏西32°方向.已知CD=120m,BD=SOm,求木棧道AB的長度（結(jié)果保

留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin32°七ILcos32°tan320弋回,sin420弋生，cos42°弋旦，

32208404

tan42°七-L）

10

北

20.（8分）甲、乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的1.5倍，兩

人各加工600個(gè)這種零件，甲比乙少用5天.

（1）求甲、乙兩人每天各加工多少個(gè)這種零件？

（2）已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費(fèi)分別是150元和120元，現(xiàn)有3000個(gè)

這種零件的加工任務(wù)，甲單獨(dú)加工一段時(shí)間后另有安排，剩余任務(wù)由乙單獨(dú)完成.如果

總加工費(fèi)不超過7800元，那么甲至少加工了多少天？

21.（8分）如圖，在。ABCO中，對(duì)角線AC與BO相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別為OB,OD

的中點(diǎn)，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

（1）求證：ZVIBE絲△CO尸；

（2）當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請(qǐng)說明理由.

22.（10分）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y

（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商店按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少，才能使

銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多

少件？

23.（10分）問題提出：

如圖，圖①是一張由三個(gè)邊長為1的小正方形組成的“1形紙片，圖②是一張“X6的

方格紙QX6的方格紙指邊長分別為小6的矩形，被分成aX6個(gè)邊長為1的小正方形,

其中b22,且a,人為正整數(shù)）.把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的

三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？

問題探究：

為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，

最后得出一般性的結(jié)論.

探究一：

把圖①放置在2X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖③，對(duì)于2X2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個(gè)小正方形，顯然有4種不同的

放置方法.

探究二：

把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖④，在3X2的方格紙中，共可以找到2個(gè)位置不同的22X方格，依據(jù)探究一的結(jié)

論可知，把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有2X

4=8種不同的放置方法.

探究三：

把圖①放置在aX2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑤，在aX2的方格紙中，共可以找到個(gè)位置不同的2X2方格，依據(jù)探究一

的結(jié)論可知，把圖①放置在。義2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有

種不同的放置方法.

探究四：

把圖①放置在"X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑥，在“X3的方格紙中，共可以找到個(gè)位置不同的2X2方格，依據(jù)探究一

的結(jié)論可知，把圖①放置在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有

種不同的放置方法.

問題解決：

把圖①放置在"X。的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.）

問題拓展：

如圖，圖⑦是一個(gè)由4個(gè)棱長為1的小立方體構(gòu)成的幾何體，圖⑥是一個(gè)長、寬、高分

別為a,b,c（a22,c22,且“，b,c是正整數(shù)）的長方體，被分成了aX6Xc

個(gè)棱長為1的小立方體.在圖⑧的不同位置共可以找到個(gè)圖⑦這樣的幾何體.

&田田田田

圖①唯）口圖③

曲raffi3HS

圖④圖⑤圖⑥

24.（12分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,NACB=90°,AB^lOcm,BC

=8C7〃，OD垂直平分AC.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同

時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿OC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lc/n/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一

個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作尸ELAB,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF〃AC,分別交AC,

0D于點(diǎn)F,G.連接OP,EG.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（s）（0<f<5）,解答下列問題：

（1）當(dāng)f為何值時(shí)，點(diǎn)E在/BAC的平分線上？

（2）設(shè)四邊形PEG。的面積為S（。拄），求S與，的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻f,使四邊形PEG。的面積最大？若存在，求出

r的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）連接OE,0Q,在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻3使OE_LO。？若存在，求出

f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2019年山東省青島市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）的相反數(shù)是（）

A.-A/3B.-返C.+V3D.如

3

【分析】相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.

【解答】解：根據(jù)相反數(shù)、絕對(duì)值的性質(zhì)可知：的相反數(shù)是

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相反數(shù)的求法.要求掌握相反數(shù)定義，并能熟練運(yùn)用到實(shí)際當(dāng)中.

2.（3分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩

部分重合.

3.（3分）2019年1月3日，我國“嫦娥四號(hào)”月球探測(cè)器在月球背面軟著陸，實(shí)現(xiàn)人類有

史以來首次成功登陸月球背面.已知月球與地球之間的平均距離約為384000b“，把

384000b"用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）

A.38.4X10%〃B.3.84X105fan

C.0.384X1（）6加D.3.84X106to

【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可

【解答】解：

科學(xué)記數(shù)法表示：384000=3.84Xl05km

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示，把一個(gè)數(shù)表示成a與10的"次基相乘的形式

（lWa<10,〃為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.

4.（3分）計(jì)算（-2/M）-/M*/M2+3/M3）的結(jié)果是（）

A.8加5B.-8m5C.8m6D.-4/n4+12/n5

【分析】根據(jù)積的乘方以及合并同類項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=4,"2?2機(jī)3

=8/?5,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了哥的乘方、積的乘方以及合并同類項(xiàng)的法則，掌握運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

5.（3分）如圖，線段AB經(jīng)過的圓心，AC,8。分別與。。相切于點(diǎn)C,D.若AC=

BD=4,NA=45°,則而的長度為（）

【分析】連接OC、OD,根據(jù)切線性質(zhì)和NA=45°,易證得△AOC和△80。是等腰直

角三角形，進(jìn)而求得OC=OC=4,/COO=90°,根據(jù)弧長公式求得即可.

【解答】解：連接OC、OD,

,：AC,80分別與OO相切于點(diǎn)C,D.

：.OC±AC,OD^BD,

?：ZA=45°,

???NAOC=45°,

.\AC=0C=4f

???AC=BD=4,OC=OQ=4,

:.OD=BD,

：.ZBOD=45°,

AZCOD=180°-45°-45°=90°,

??.而的長度為：如?！怠?=如,

180

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計(jì)算等，證得

ZCOD=90°是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）如圖，將線段AB先向右平移5個(gè)單位，再將所得線段繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

90。，得到線段4'B',則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)3'的坐標(biāo)是（）

【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)整數(shù)”,

相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移?個(gè)單位長度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐

標(biāo)都加（或減去）一個(gè)整數(shù)m相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移〃個(gè)單位

長度：

圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo).常見

的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

【解答】解：將線段A8先向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)3(2,1),連接08,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

則月對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(1,-2),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，熟練運(yùn)用平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(3分)如圖，BQ是△A8C的角平分線，AE±BD,垂足為F.若/ABC=35°,NC=

50°,則/。E的度數(shù)為()

A.35°B.40°C.45°D.50°

【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義得到NAFB=NEFB,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到AB=BE,求得A￡>=QE,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到N

8AC=180°-ZABC-ZC=95°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/BEO=N8AO=95°,

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和平角的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：是的角平分線，

,NABD=ZEBD,NAFB=NEFB,

?；BF=BF,

：./\ABF^/\EBFCASA),

：.AF=EF,AB=BE,

：.AD=DE,

VZABC=35°,ZC=50°,

：.ZBAC=\S0°-ZABC-ZC=95°,

rAB=BE

在△D4B與△OEB中，AD=DE,

BD=BD,

:.△ABDBXEAD(SSS),

：.ZBED=ZBAD=95°,

???NAOE=360°-95°-95°-35°=145°,

：.ZCDE=1SO°-ZADE=35°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，

熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）已知反比例函數(shù)產(chǎn)生的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=a？-2x和一次函數(shù)y

x

=foc+a在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

【分析】先根據(jù)拋物線^=蘇-2過原點(diǎn)排除4,再反比例函數(shù)圖象確定外的符號(hào)，再

由。、6的符號(hào)和拋物線對(duì)稱軸確定拋物線與直線y=bx+a的位置關(guān)系，進(jìn)而得解.

【解答】解：???當(dāng)x=0時(shí)，y=--2x=0,即拋物線y=―-2r經(jīng)過原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

?.?反比例函數(shù)y=生的圖象在第一、三象限，

X

/.ah>0,即〃、b同號(hào),

當(dāng)。<0時(shí)，拋物線丫=加-2%的對(duì)稱軸》=!<0,對(duì)稱軸在y軸左邊，故￡）錯(cuò)誤；

a

當(dāng)a>0時(shí)，b>0,直線y=6x+a經(jīng)過第一、二、三象限，故8錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖

象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.（3分）計(jì)算：返里1-（V3）°=2\巧+1.

［分析］根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則計(jì)算即可.

【解答】解：返歐乂1-（?）0=2?+2-1=2正+1,

V2

故答案為：2，§+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟記法則是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2^-x+〃?=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為

~3~

【分析】根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程2?-x+/n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)合根的判

別式公式，得到關(guān)于根的一元一次方程，解之即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

△=1-4X2〃?=0,

整理得：1-8m=0,

解得：,"=工，

8

故答案為：1.

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵.

11.（3分）射擊比賽中，某隊(duì)員10次射擊成績?nèi)鐖D所示，則該隊(duì)員的平均成績是8.5環(huán).

【解答】解：該隊(duì)員的平均成績?yōu)椤?（1X6+1X7+2X8+4X9+2X10）=8.5（環(huán)）；

10

故答案為：8.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了加權(quán)平均數(shù)和條形統(tǒng)計(jì)圖；熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式是解決

問題的關(guān)鍵.

12.（3分）如圖，五邊形ABCQE是。。的內(nèi)接正五邊形，AF是。。的直徑，則尸的

度數(shù)是54。.

【分析】連接A。，根據(jù)圓周角定理得到/AOF=90°,根據(jù)五邊形的內(nèi)角和得到NA8C

=/C=108°,求得乙48。=72°,由圓周角定理得到//=乙48。=72°,求得/應(yīng)。

=18°,于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接AQ,

是。0的直徑，

AZADF=90°,

；五邊形A8COE是O。的內(nèi)接正五邊形，

AZABC=ZC=108°,

:.NABD=72°,

：.4F=4ABD=7尤,

.,.ZMD=18°,

：.ZCDF=ZDAF=\S0,

:.NBDF=36°+18°=54°,

故答案為：54.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問題，屬于中考?？碱}型.

13.（3分）如圖，在正方形紙片ABCO中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)8落

在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF.若AD=4cm,則CF的長為6-2限qm.

【分析】設(shè)BF=x,則FG=x,CF=4-x,在RtaGEF中，利用勾股定理可得EF2=（2辰

-4）2+/,在Rt△尸CE中，利用勾股定理可得E產(chǎn)=（4-x）2+22,從而得到關(guān)于x方

程，求解x,最后用4-x即可.

【解答】解：設(shè)BF=x，則FG=x,CF=4-x.

在RtZXAOE中，利用勾股定理可得AE=2泥.

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=AB=4,所以GE=2旄-4.

在RtaGE/中，利用勾股定理可得后產(chǎn)=（2泥-4）2+7,

在RtZiFCE中，利用勾股定理可得￡：產(chǎn)=（4-x）2+22,

所以（2泥-4）2+/=（4-X）2+22,

解得x=2代-2.

貝I]FC=4-x=6-2娓.

故答案為6-2泥.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理.折疊問題主要是抓住折疊的不變量，

在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）如圖，一個(gè)正方體由27個(gè)大小相同的小立方塊搭成，現(xiàn)從中取走若干個(gè)小立方

塊，得到一個(gè)新的幾何體.若新幾何體與原正方體的表面積相等，則最多可以取走4個(gè)

【分析】根據(jù)新幾何體的三視圖與原來的幾何體的三視圖相同解答即可.

【解答】解：若新幾何體與原正方體的表面積相等，則新幾何體的三視圖與原來的幾何

體的三視圖相同，所以最多可以取走4個(gè)小立方塊.

故答案為：4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何體的表面積，理解三視圖是解答本題的關(guān)鍵.用到的知識(shí)

點(diǎn)為：主視圖，左視圖與俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形.

三、作圖題（本大題滿分4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：/a,直線/及/上兩點(diǎn)A,B.

求作：RtA/lBC,使點(diǎn)C在直線/的上方，且N4BC=90°,ZBAC=Za.

【分析】先作ND4B=a,再過8點(diǎn)作BE,AB,則A。與BE的交點(diǎn)為C點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，

一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

2,2

16.（8分）（1）化簡：變4++n-2n）；

mm

（2）解不等式組d5、飛5,并寫出它的正整數(shù)解.

3x-l<8

【分析】（1）按分式的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算求值；

（2）先確定不等式組的解集，再求出滿足條件的正整數(shù)解.

【解答】解：（1）原式=變工+四士，二包1

IDID

.in-nym

m（m-n）2

=1.

IDF

(2)55

3x-l<8②

由①，得X2-1，

由②，得x<3.

所以該不等式組的解集為：-lWx<3.

所以滿足條件的正整數(shù)解為：1、2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算、不等式組的正整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn).解決(1)的關(guān)鍵

是掌握分式的運(yùn)算法則，解決(2)的關(guān)鍵是確定不等式組的解集.

17.(6分)小明和小剛一起做游戲，游戲規(guī)則如下：將分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4個(gè)小

球放入一個(gè)不透明的袋子中，這些球除數(shù)字外都相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下數(shù)字后

放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下數(shù)字.若兩次數(shù)字差的絕對(duì)值小于2,則小明獲勝，否

則小剛獲勝.這個(gè)游戲?qū)扇斯絾?？?qǐng)說明理由.

【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次數(shù)字差的絕對(duì)值小于2的情況數(shù)，分

別求出兩人獲勝的概率，比較即可得到游戲公平與否.

【解答】解：這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平.

理由：列表如下：

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

所有等可能的情況有16種，其中兩次數(shù)字差的絕對(duì)值小于2的情況有(1,1),(2,1),

(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)共10種,

故小明獲勝的概率為：則小剛獲勝的概率為：&=w,

168168

.芭W芭

.京W，

這個(gè)游戲?qū)扇瞬还?

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了游戲公平性，以及列表法與樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計(jì)算每

個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

18.（6分）為了解學(xué)生每天的睡眠情況，某初中學(xué)校從全校800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了40名

學(xué)生，調(diào)查了他們平均每天的睡眠時(shí)間（單位：〃），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,

9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.

在對(duì)這些數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:

睡眠時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)表睡眠時(shí)間分布情況

組別睡眠時(shí)間分組人數(shù)（頻數(shù)）

17</<8m

284V911

390V10n

410WVI14

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）m=7>“=_!_，17.5%,b=45%；

（2）抽取的這40名學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在3組（填組別）；

（3）如果按照學(xué)校要求，學(xué)生平均每天的睡眠時(shí)間應(yīng)不少于9人，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生中睡眠

時(shí)間符合要求的人數(shù).

睡眠時(shí)間分布情況

【分析】（1）根據(jù)40名學(xué)生平均每天的睡眠時(shí)間即可得出結(jié)果；

（2）由中位數(shù)的定義即可得出結(jié)論；

（3）由學(xué)校總?cè)藬?shù)X該校學(xué)生中睡眠時(shí)間符合要求的人數(shù)所占的比例，即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）7W/V8時(shí)，頻數(shù)為〃?=7；

9W/V10時(shí),頻數(shù)為〃=18；

，a=-Lx100%=17.5%；100%=45%;

4040

故答案為：7,18,17.5%,45%；

（2）由統(tǒng)計(jì)表可知，抽取的這40名學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)為第20個(gè)和第21

個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

落在第3組；

故答案為：3；

（3）該校學(xué)生中睡眠時(shí)間符合要求的人數(shù)為800X皿_=440（人）；

40

答：估計(jì)該校學(xué)生中睡眠時(shí)間符合要求的人數(shù)為440人.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)地審題，從圖中找到進(jìn)一步

解題的信息.

19.（6分）如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道A8,棧道A8與

景區(qū)道路CD平行.在C處測(cè)得棧道一端A位于北偏西42°方向，在。處測(cè)得棧道另一

端8位于北偏西32°方向.已知C￡>=120〃?，BD=S0m,求木棧道AB的長度（結(jié)果保

留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin320-AL,cos32°01工，tan32。七且sin42°?型,cos42°―W,

32208404

tan420七且）

10

北

冬東

【分析】過C作CE_LAB于E,_LAB交AB的延長線于凡于是得到CE〃。尸，推出

四邊形CQFE是矩形，得到EF=C￡>=120,DF=CE,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過C作CELAB于E,OFLA8交AB的延長線于凡

則CE//DF,

\'AB//CD,

，四邊形CDFE是矩形,

：.EF=CD^\20,DF=CE,

在RtZ\8D尸中，:NBDF=32°,80=80,

.,.DF=cos320?50=80x11^68,BF=sin32°?BO=80xlL=?選,

20322

：.BE=EF-BF=^-,

2

在Rt2\ACE中，VZACE=42°,CE=DF=6S,

：.AE=CE'tan42°=68X_^_=J^_,

105

：.AB=AE+BE=^55+_：30b134ffl>

25

造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

20.(8分)甲、乙兩人加工同一種零件，甲每天加工的數(shù)量是乙每天加工數(shù)量的1.5倍，兩

人各加工600個(gè)這種零件，甲比乙少用5天.

(1)求甲、乙兩人每天各加工多少個(gè)這種零件？

(2)已知甲、乙兩人加工這種零件每天的加工費(fèi)分別是150元和120元，現(xiàn)有3000個(gè)

這種零件的加工任務(wù)，甲單獨(dú)加工一段時(shí)間后另有安排，剩余任務(wù)由乙單獨(dú)完成.如果

總加工費(fèi)不超過7800元，那么甲至少加工了多少天？

【分析】(1)設(shè)乙每天加工x個(gè)零件，則甲每天加工1.5x個(gè)零件，根據(jù)甲比乙少用5天,

列分式方程求解；

(2)設(shè)甲加工了x天，乙加工了y天，根據(jù)3000個(gè)零件，列方程：根據(jù)總加工費(fèi)不超

過7800元，列不等式，方程和不等式綜合考慮求解即可.

【解答】解：(1)設(shè)乙每天加工x個(gè)零件，則甲每天加工1.5x個(gè)零件，由題意得：@四=

X

60045

1.5x

化簡得600義1.5=600+5X\,5x

解得x=4Q

.".l.5x=60

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是分式方程的解且符合實(shí)際意義.

答：甲每天加工60個(gè)零件，乙每天加工，40個(gè)零件.

(2)設(shè)甲加工了x天，乙加工了)，天，則由題意得

f60x+40y=3000①

1150x+120y<7800②

由①得y=75-1.5⑥

將③代入②得150X+120(75-1.5x)W7800

解得x240,

當(dāng)x=40時(shí)，y=15,符合問題的實(shí)際意義.

答：甲至少加工了40天.

【點(diǎn)評(píng)】本題是分式方程與不等式的實(shí)際應(yīng)用題，題目數(shù)量關(guān)系清晰，難度不大.

21.(8分)如圖，在。ABCZ)中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別為。8,OD

的中點(diǎn)，延長4E至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：LABE會(huì)ACDF；

(2)當(dāng)A8與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGC尸是矩形？請(qǐng)說明理由.

G

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,由平

行線的性質(zhì)得出證出由SAS證明△A8E部△COF即可；

(2)證出AB^OA,由等腰三角形的性質(zhì)得出AGLOB,/OEG=90°,同理：CF1

OD,得出EG//CF,由三角形中位線定理得出OE〃CG,EF//CG,得出四邊形EGCF

是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：；四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,

：.NABE=NCDF,

?.?點(diǎn)E,尸分別為OB,OD的中點(diǎn),

:.BE=LOB,DF^LOD,

22

：.BE=DF,

'AB=CD

在AABE和△CDF中，，ZBAE=ZCDF，

BE=DF

:.△ABEQlXCDF（SAS）；

（2）解：當(dāng)AC=2A8時(shí)，四邊形EGC尸是矩形；理由如下：

'：AC=20A,AC=2AB,

J.AB—OA,

是08的中點(diǎn)，

J.AGYOB,

：.N0EG=90°,

同理：CFL0D,

.'.AG//CF,

.".EG//CF,

"：EG=AE,0A=0C,

；.0E是AACG的中位線，

：.OE//CG,

.'.EF//CG,

二四邊形EGCF是平行四邊形，

；N0EG=90°,

四邊形EGCF是矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定、三角

形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

22.（10分）某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y

（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商店按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少，才能使

銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多

少件？

V件

100-----K

II

°3045X阮

【分析】(1)將點(diǎn)(30,150)、(80,100)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

(2)由題意得卬=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250,即可求解；

(3)由題意得(x-30)(-2x+160)2800,解不等式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

將點(diǎn)(30,100).(45,70)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：I100=30k+b,

l70=45k+b

解得：『=-2,

lb=160

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=-2x+160；

(2)由題意得：w=(x-30)(-2x+160)=-2(%-55)2+1250,

V-2<0,故當(dāng)x<55時(shí)，w隨x的增大而增大，而3OWx〈5O,

，當(dāng)x=50時(shí)，w由最大值，此時(shí)，卬=1200,

故銷售單價(jià)定為50元時(shí)，該超市每天的利潤最大，最大利潤1200元；

(3)由題意得：(x-30)(-2x+160)>800,

解得：xW70,

.?.每天的銷售量產(chǎn)-2x+l60^20,

...每天的銷售量最少應(yīng)為20件.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次不等式的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一

次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確利用銷量又每件的利潤=w得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

23.(10分)問題提出：

如圖，圖①是一張由三個(gè)邊長為1的小正方形組成的“L”形紙片，圖②是一張。義6的

方格紙QX6的方格紙指邊長分別為小匕的矩形，被分成aXb個(gè)邊長為1的小正方形,

其中“22,b?2,且a,，為正整數(shù)).把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的

三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？

問題探究：

為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，

最后得出一般性的結(jié)論.

探究一：

把圖①放置在2X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖③，對(duì)于2X2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個(gè)小正方形，顯然有4種不同的

放置方法.

探究二：

把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖④，在3X2的方格紙中，共可以找到2個(gè)位置不同的22X方格，依據(jù)探究一的結(jié)

論可知，把圖①放置在3X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有2X

4=8種不同的放置方法.

探究三：

把圖①放置在"X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑤，在“X2的方格紙中，共可以找到（a-1）個(gè)位置不同的2義2方格,依據(jù)

探究一的結(jié)論可知,把圖①放置在“X2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形,

共有（4a-4）種不同的放置方法.

探究四：

把圖①放置在。義3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？

如圖⑥，在。X3的方格紙中，共可以找到（2“-2）個(gè)位置不同的2X2方格,依據(jù)

探究一的結(jié)論可知,把圖①放置在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形,

共有（8〃-8）種不同的放置方法.

問題解決：

把圖①放置在"X。的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的

放置方法？(仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.)

問題拓展：

如圖，圖⑦是一個(gè)由4個(gè)棱長為1的小立方體構(gòu)成的幾何體，圖⑧是一個(gè)長、寬、高分

別為a,b,c(a>2,人》2,c22,且〃，人，c是正整數(shù))的長方體，被分成了aXbXc

個(gè)棱長為1的小立方體.在圖⑥的不同位置共可以找到8(a-1)(A1)(c-1)個(gè)

圖⑦這樣的幾何體.

田田田田

f圖t①O至口圖③

曲fflffi3HI

圖④圖⑤圖⑥

圖⑦圖⑧

【分析】對(duì)于圖形的變化類的規(guī)律題，首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什

么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認(rèn)真

觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

【解答】解：探究三：

根據(jù)探究二，aX2的方格紙中，共可以找到(a-I)個(gè)位置不同的2義2方格，

根據(jù)探究一結(jié)論可知，每個(gè)2X2方格中有4種放置方法，所以在“X2的方格紙中，共

可以找到(a-1)X4=(4a-4)種不同的放置方法；

故答案為a-I,4a-4；

探究四：

與探究三相比，本題矩形的寬改變了，可以沿用上一間的思路：邊長為a,有(?-1)條

邊長為2的線段，

同理，邊長為3,則有3-1=2條邊長為2的線段，

所以在“X3的方格中，可以找到2(?-1)=(2a-2)個(gè)位置不同的2X2方格，

根據(jù)探究一，在在“X3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有(2a-2)

X4=(8a-8)種不同的放置方法.

故答案為2a-2,8a-8；

問題解決：

在"X/)的方格紙中，共可以找到(?-1)(fe-1)個(gè)位置不同的2X2方格，

依照探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在“X6的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正

方形，共有4(1a-1)(b-1)種不同的放置方法；

問題拓展：

發(fā)現(xiàn)圖⑦示是棱長為2的正方體中的一部分，利用前面的思路，

這個(gè)長方體的長寬高分別為a、b、c,則分別可以找到(a-1)、1)、(c-1)條邊長

為2的線段，

所以在aXbXc的長方體共可以找到(a-1)(6-1)(c-1)位置不同的2X2X2的正

方體，

再根據(jù)探究一類比發(fā)現(xiàn)，每個(gè)2X2X2的正方體有8種放置方法，

所以在“XbXc的長方體中共可以找到8(a-1)kb-1)(c-1)個(gè)圖⑦這樣的幾何體；

故答案為8(a-1)(6-1)(c-1).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學(xué)生通過觀察圖形，分析、歸納并發(fā)

現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)已知：如圖，在四邊形ABCO中，AB//CD,NAC8=90°,AB=