8機(jī)械波習(xí)題思考題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁習(xí)題8-1.沿一平面簡諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點(diǎn)與，點(diǎn)振動(dòng)相位比點(diǎn)落后，已知振動(dòng)周期為，求波長和波速。解：按照題意，對于A、B兩點(diǎn)，而相位和波長之間又滿意這樣的關(guān)系：代入數(shù)據(jù)，可得：波長λ=24m。又已知T=2s，所以波速u=λ/T=12m/s8-2．已知一平面波沿軸正向傳揚(yáng)，距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)的振動(dòng)式為，波速為，求:（1）平面波的波動(dòng)式；（2）若波沿軸負(fù)向傳揚(yáng)，波動(dòng)式又如何?解：（1）按照題意，距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳過來的，其O點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到p點(diǎn)需用，也就是說t時(shí)刻p處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)時(shí)刻O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。換而言之，O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)相當(dāng)于時(shí)刻p處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，則O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：波動(dòng)方程為：（2）若波沿軸負(fù)向傳揚(yáng)，O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)相當(dāng)于時(shí)刻p處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，則O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：波動(dòng)方程為：8-3.一平面簡諧波在空間傳揚(yáng)，如圖所示，已知點(diǎn)的振動(dòng)邏輯為，試寫出：（1）該平面簡諧波的表達(dá)式；（2）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（點(diǎn)位于點(diǎn)右方處）。解：（1）模仿上題的思路，按照題意，點(diǎn)的振動(dòng)邏輯為，它的振動(dòng)是O點(diǎn)傳過來的，所以O(shè)點(diǎn)的振動(dòng)方程為：那么該平面簡諧波的表達(dá)式為：（2）B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式可直接將坐標(biāo)，代入波動(dòng)方程：也可以按照B點(diǎn)的振動(dòng)經(jīng)過時(shí)光傳給A點(diǎn)的思路來做。8-4.已知一沿正方向傳揚(yáng)的平面余弦波，時(shí)的波形如圖所示，且周期為.（1）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式；（3）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（4）寫出點(diǎn)離點(diǎn)的距離。解：由圖可知A=0.1m，λ=0.4m，由題知T=2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。波動(dòng)方程為：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m關(guān)鍵在于決定O點(diǎn)的初始相位。由上式可知：O點(diǎn)的相位也可寫成：φ=πt+Ф0由圖形可知：時(shí)y０=-A/2，v０＜0，∴此時(shí)的φ=2π／3，將此條件代入，所以：所以點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=0.1cos［πt+π/3］m（2）波動(dòng)方程為：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m（3）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式?jīng)Q定主意與O點(diǎn)相似由上式可知：A點(diǎn)的相位也可寫成：φ=πt+ФA0由圖形可知：時(shí)y０=0，v０>0，∴此時(shí)的φ=-π／2，將此條件代入，所以：所以A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=0.1cos［πt-5π/6］m（4）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程，可得到A的振動(dòng)方程，與（3）結(jié)果相同，所以：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］=0.1cos［πt-5π/6］可得到：8-5.一平面簡諧波以速度沿軸負(fù)方向傳揚(yáng)。已知原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試寫出：（1）原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）波動(dòng)表達(dá)式；（3）同一時(shí)刻相距的兩點(diǎn)之間的位相差。解：由圖可知A=0.5cm，原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：y=Acos（ωｔ＋φ）t=0s時(shí)y=A/2v>0可知其相位為φ1=t=1s時(shí)y=0v<0可知其相位為φ2=代入振動(dòng)方程，φ=ω＋φ=可得：ω=T=2π/ω=12/5則y=0.5cos（ｔ-）cm（2）沿軸負(fù)方向傳揚(yáng)，波動(dòng)表達(dá)式：cm（3）按照已知的T=12/5，，可知：那么同一時(shí)刻相距的兩點(diǎn)之間的位相差：8-6.一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進(jìn)，波的平均強(qiáng)度為，頻率為，波速為。問波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每兩個(gè)相鄰?fù)嗝骈g的波段中含有多少能量？解：(1)∵I=u∴=9.0×10-3／300=3×10-5J·m-3wmax=2=0.6×10-4J·m-3(2)W==3×10-5×1π/4×（0.14）２×300/300=4.62×10-7J8-7.一彈性波在媒質(zhì)中傳揚(yáng)的速度，振幅，頻率。若該媒質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量。解：ω=2πγ=2π（1）（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量W=ISt8-8.與為左、右兩個(gè)振幅相等相干平面簡諧波源，它們的間距為，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)比超前.設(shè)的振動(dòng)方程為，且媒質(zhì)無吸收，（1）寫出與之間的合成波動(dòng)方程；（2）分離寫出與左、右側(cè)的合成波動(dòng)方程。解：（1）由題意：φ20-φ10=設(shè)它們之間的這一點(diǎn)坐標(biāo)為x，則相當(dāng)于兩列沿相反方向傳揚(yáng)的波的疊加，合成為駐波。合成波為：在S1左側(cè)的點(diǎn)距離S1為x：合成波為：在S2右側(cè)的點(diǎn)距離S1為x：兩列波正巧是徹低反相的狀態(tài)，所以合成之后為0。8-9.設(shè)與為兩個(gè)相干波源，相距波長，比的位相超前。若兩波在在、連線方向上的強(qiáng)度相同且不隨距離變化，問、連線上在外側(cè)各點(diǎn)的合成波的強(qiáng)度如何？又在外側(cè)各點(diǎn)的強(qiáng)度如何？解：由題意：φ1-φ2=，r1在S1左側(cè)的點(diǎn)：AS1=r1，AS2=r2，AS1S2 ?φ=r2r2所以A=A1-A2=0，I=0；S1S2A在S2左側(cè)的點(diǎn)：AS1=r1，AS2=r2，r1 ?φ=所以A=A1+A2=2A，I=4I0；8-10.測定氣體中聲速的孔脫（Kundt）法如下：一細(xì)棒的中部夾住，一端有盤伸入玻璃管，如圖所示。管中撒有軟木屑，管的另一端有活塞，使棒縱向振動(dòng)，移動(dòng)活塞位置直至軟木屑形成波節(jié)和波腹圖案。若已知棒中縱波的頻率，量度相鄰波節(jié)間的平均距離，可求得管內(nèi)氣體中的聲速。試證：。證實(shí)：按照駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：，再按照已知條件：量度相鄰波節(jié)間的平均距離，所以：那么：所以波速8-11.圖中所示為聲音干涉儀，用以演示聲波的干涉。為聲源，為聲音探測器，如耳或話筒。路徑的長度可以變化，但路徑是固定的。干涉儀內(nèi)有空氣，且知聲音強(qiáng)度在的第一位置時(shí)為極小值100單位，而漸增至距第一位置為的第二位置時(shí)，有極大值單位。求：（1）聲源發(fā)出的聲波頻率；（2）抵達(dá)探測器的兩波的振幅之比。解：按照駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：相鄰波節(jié)與波腹的間距：可得：聲音的速度在空氣中約為340m/s，所以：按照強(qiáng)度是振幅的平方的關(guān)系：聲音強(qiáng)度在的第一位置時(shí)為極小值100單位，在第二位置有極大值單位，所以振幅的相對大小為10與30單位。極小值的緣故是兩個(gè)振幅相減（A1-A2=10），極大值的緣故是兩個(gè)振幅相加（A1+A2=30）。那么A1：A2=2：1。8-12.繩索上的波以波速傳揚(yáng)，若繩的兩端固定，相距，在繩上形成駐波，且除端點(diǎn)外其間有3個(gè)波節(jié)。設(shè)駐波振幅為，時(shí)繩上各點(diǎn)均經(jīng)過平衡位置。試寫出：（1）駐波的表示式；（2）形成該駐波的兩列反向舉行的行波表示式。解：按照駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：，倘若繩的兩端固定，那么兩個(gè)端點(diǎn)上都是波節(jié)，按照題意除端點(diǎn)外其間還有3個(gè)波節(jié)，可見兩端點(diǎn)之間有四個(gè)半波長的距離，，所以波長，，所以又已知駐波振幅為，時(shí)繩上各點(diǎn)均經(jīng)過平衡位置，說明它們的初始相位為關(guān)于時(shí)光部分的余旋函數(shù)應(yīng)為。所以駐波方程為：（2）由合成波的形式為：可推出合成該駐波的兩列波的波動(dòng)方程為：8-13.弦線上的駐波波動(dòng)方程為：.設(shè)弦線的質(zhì)量線密度為.（1）分離指出振動(dòng)勢能和動(dòng)能總是為零的各點(diǎn)位置。（2）分離計(jì)算半個(gè)波段內(nèi)的振動(dòng)勢能、動(dòng)能和總能量。解：（1）振動(dòng)勢能和動(dòng)能總是為零的各點(diǎn)位置是的地方。即：可得：（k=0，）（2）振動(dòng)勢能寫成：半個(gè)波段內(nèi)的振動(dòng)勢能：半個(gè)波段內(nèi)的振動(dòng)動(dòng)能：所以動(dòng)能和勢能之和為：8-14.試計(jì)算：一波源振動(dòng)的頻率為，以速度向墻壁臨近（如圖所示），看見者在點(diǎn)聽得拍音的頻率為，求波源移動(dòng)的速度，設(shè)聲速為。解：按照顧見者不動(dòng)，波源運(yùn)動(dòng)，即：，看見者認(rèn)為采納到的波數(shù)變了：其中u=340，分離代入，可得：8-15.光在水中的速率為(約等于真空中光速的).在水中有一束來自加速器的運(yùn)動(dòng)電子發(fā)出輻射[稱切連科夫(Cherenkov)輻射]，其波前形成頂角的馬赫錐，求電子的速率．解：思量題8-1.下圖（a）表示沿軸正向傳揚(yáng)的平面簡諧波在時(shí)刻的波形圖，則圖（b）表示的是：（a）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線（b）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線（c）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線（d）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線答：圖（b）在t=0時(shí)刻的相位為，所以對應(yīng)的是質(zhì)點(diǎn)n的振動(dòng)曲線，挑選b。8-2.從能量的角度研究振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系和區(qū)別。.答：（1）在波動(dòng)的傳揚(yáng)過程中，隨意時(shí)刻的動(dòng)能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。而振動(dòng)中動(dòng)能的增強(qiáng)必然以勢能的減小為代價(jià)，兩者之和為恒量。（2）在波傳動(dòng)過程中，隨意體積元的能量不守恒。質(zhì)元處在媒質(zhì)整體之中，沿波的前