振動(dòng)理論與應(yīng)用第1章-緒-論

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引言

振動(dòng)是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。物理學(xué)知識(shí)的深化和擴(kuò)展－物理學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)；工程力學(xué)研究研究系統(tǒng)的振動(dòng)，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

振動(dòng)屬于動(dòng)力學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題－已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications振動(dòng)理論與應(yīng)用

振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題相類(lèi)似：選擇合適的廣義坐標(biāo)；分析運(yùn)動(dòng)；分析受力；選擇合適的動(dòng)力學(xué)定理；建立運(yùn)動(dòng)微分方程；求解運(yùn)動(dòng)微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。返回首頁(yè)引言TheoryofVibrationwithApplications振動(dòng)理論與應(yīng)用

振動(dòng)問(wèn)題的研究方法－與分析其他動(dòng)力學(xué)問(wèn)題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)。研究振動(dòng)問(wèn)題所用的動(dòng)力學(xué)定理：矢量動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的－動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；動(dòng)能定理；達(dá)朗貝爾原理。分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)中的－拉格朗日方程。返回首頁(yè)引言TheoryofVibrationwithApplications振動(dòng)理論與應(yīng)用振動(dòng)概述所考察的系統(tǒng)既有慣性又有彈性。運(yùn)動(dòng)微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。振動(dòng)問(wèn)題的共同特點(diǎn)返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications振動(dòng)理論與應(yīng)用

TheoryofVibrationwithApplications返回首頁(yè)TheoreticalMechanics第1章緒論1.1振動(dòng)系統(tǒng)1.2激勵(lì)函數(shù)1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.4周期振動(dòng)的諧波分析 1.5非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜1.6拉普拉斯變換目錄

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第1章緒論1.1振動(dòng)系統(tǒng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.1振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)一般可分為連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)。具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性的系統(tǒng)，稱(chēng)為連續(xù)彈性體系統(tǒng)。彈性體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)，它的振動(dòng)規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程。在一般情況下，要對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，用適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)“凝縮”成有限個(gè)離散的參數(shù)，這樣便得到離散系統(tǒng)。所建立的振動(dòng)方程是常微分方程。由于所具有的自由度數(shù)目上的區(qū)別，離散系統(tǒng)又稱(chēng)為多自由度系統(tǒng)。

按系統(tǒng)的自由度劃分：振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi)單自由度振動(dòng)－一個(gè)自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。多自由度振動(dòng)－兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度系統(tǒng)的振動(dòng)。

連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)－連續(xù)彈性體的振動(dòng)。這種系統(tǒng)具有無(wú)窮多個(gè)自由度。返回首頁(yè)振動(dòng)概述TheoryofVibrationwithApplications1.1振動(dòng)系統(tǒng)按系統(tǒng)特性或運(yùn)動(dòng)微分方程類(lèi)型劃分：振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi)線性振動(dòng)－系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程的振動(dòng)。非線性振動(dòng)－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時(shí)，將得到非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，這種系統(tǒng)的振動(dòng)稱(chēng)為非線性振動(dòng)。返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.1振動(dòng)系統(tǒng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.1振動(dòng)系統(tǒng)線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為線性系統(tǒng)。

線性振動(dòng)的一個(gè)重要特性是線性疊加原理成立。非線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為非線性系統(tǒng)。

非線性振動(dòng)的疊加原理不成立。

按激勵(lì)特性劃分：振動(dòng)問(wèn)題的分類(lèi)自由振動(dòng)－沒(méi)有外部激勵(lì)，或者外部激勵(lì)除去后，系統(tǒng)自身的振動(dòng)。受迫振動(dòng)－系統(tǒng)在作為時(shí)間函數(shù)的外部激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)，這種外部激勵(lì)不受系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。自激振動(dòng)－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運(yùn)動(dòng)所誘發(fā)和控制的激勵(lì)下發(fā)生的振動(dòng)。參激振動(dòng)－激勵(lì)源為系統(tǒng)本身含隨時(shí)間變化的參數(shù)，這種激勵(lì)所引起的振動(dòng)。返回首頁(yè)振動(dòng)概述TheoryofVibrationwithApplications1.1振動(dòng)系統(tǒng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第1章緒論1.2激勵(lì)函數(shù)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.1連續(xù)函數(shù)與離散函數(shù)在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)（－∞＜t＜∞＝有定義的函數(shù)稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)連續(xù)函數(shù)。僅在一些離散的瞬間有定義的函數(shù)稱(chēng)為離散時(shí)間函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)離散函數(shù)。這里“離散”是指函數(shù)的定義域時(shí)間（或其它量）是離散的，它只取某些固定的值。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.2周期函數(shù)與非周期函數(shù)周期函數(shù)是定義在（－∞，∞）區(qū)間，每隔一定時(shí)間T（或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的函數(shù)。連續(xù)周期函數(shù)可表示為

f(t)=f(t+mT),m=0,±1,±2,…離散周期函數(shù)可表示為

f(k)=f(k+mT),m=0,±1,±2,…k為離散值。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.3實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)物理可實(shí)現(xiàn)的函數(shù)常常是時(shí)間t（或k）的函數(shù)（或序列），其在各時(shí)刻的函數(shù)（或序列）值為實(shí)數(shù)，稱(chēng)為實(shí)函數(shù)。函數(shù)（或序列）值為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)函數(shù)。最常用的是復(fù)指數(shù)函數(shù)。連續(xù)時(shí)間的復(fù)指數(shù)函數(shù)可表示為式中復(fù)變量，是s的實(shí)部，記作Re[s],是s的虛部，記作Im[s]。一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)可分解為實(shí)、虛兩部分(均為實(shí)函數(shù))，即－∞＜t＜∞根據(jù)歐拉公式，上式可展開(kāi)為

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)1.沖激函數(shù)(奇異函數(shù)）沖激函數(shù)也稱(chēng)單位脈沖(unitimpulse)函數(shù)，用

(t)表示，

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)1.沖激函數(shù)單位脈沖是一種極限脈沖，其物理意義:若將

(t)看成是力函數(shù)，則

(t)是圖(a)所示沖量為1的矩形脈沖在脈寬

→0時(shí)的沖擊力的極限情況（圖(b)）。

(t)具有力的量綱。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)工程中還定義了一種延時(shí)單位脈沖

(t-t

)，其定義為

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)（1）p為常數(shù)；（3）

該式表明Dirac函數(shù)的抽樣特性。（2）它的傅里葉變換：這一特性表明，單位脈沖激振力提供白譜；(4)尺度變換特性。設(shè)a為常數(shù)，則有Dirac函數(shù)有以下特性：

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)單位階躍函數(shù)也稱(chēng)階躍函數(shù)，用表示，即

1.2.4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)有以下特性：2.單位階躍函數(shù)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.2激勵(lì)函數(shù)1.2.4沖激函數(shù)與階躍函數(shù)3.沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第1章緒論1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示1.用正弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)用時(shí)間t的正弦（或余弦）函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其一般表達(dá)式為一次振動(dòng)循環(huán)所需的時(shí)間T稱(chēng)為周期；單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)循環(huán)的次數(shù)f稱(chēng)為頻率。周期T的單位為秒（s），頻率f的單位為赫茲（Hz），圓頻率的單位為弧度/秒（rad/s）。振幅圓頻率初相位

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示圖描述了用正弦函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它可看成是該圖中左邊半徑為A的圓上一點(diǎn)作等角速度的運(yùn)動(dòng)時(shí)在x軸上的投影。如果視x為位移，則簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度就是位移表達(dá)式關(guān)于時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示可見(jiàn)，若位移為簡(jiǎn)諧函數(shù)，其速度和加速度也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，具有相同的頻率。在相位上，速度和加速度分別超前位移和。重要特征:簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度大小與位移成正比，但方向總是與位移相反，始終指向平衡位置。可得到加速度與位移有如下關(guān)系

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示旋轉(zhuǎn)矢量OM的模為振幅A，角速度為圓頻率，任一瞬時(shí)OM在縱軸上的投影ON即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式2.用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示記,復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部可分別表示為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移x與它的復(fù)數(shù)表示z的關(guān)系可寫(xiě)為3.用復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示由于用復(fù)數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度加速度為也可寫(xiě)成是一復(fù)數(shù)，稱(chēng)為復(fù)振幅。它包含了振動(dòng)的振幅和相角兩個(gè)信息。用復(fù)指數(shù)形式描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)將給運(yùn)算帶來(lái)很多方便。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.兩個(gè)同頻率振動(dòng)的合成有兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)由于A1、A2的角速度相等，旋轉(zhuǎn)時(shí)它們之間的夾角()保持不變，合矢量A也必然以相同的角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成由矢量的投影定理

A=A1+A2即兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)果仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率與原來(lái)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相同，其振幅和初相角用上式確定。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成2、兩個(gè)不同頻率振動(dòng)的合成有兩個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)有理數(shù)

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成當(dāng)頻率比為有理數(shù)時(shí)，合成為周期振動(dòng)，但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合成振動(dòng)的周期是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的最小公倍數(shù)。

合成的周期若與之比是無(wú)理數(shù)，則無(wú)這樣一個(gè)周期。其合成振動(dòng)是非周期的。

若，對(duì)于，則有

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成令式中的正弦函數(shù)完成了幾個(gè)循環(huán)后，余弦函數(shù)才能完成一個(gè)循環(huán)。這是一個(gè)頻率為的變幅振動(dòng)，振幅在2A與零之間緩慢地周期性變化。它的包絡(luò)線

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成這種特殊的振動(dòng)現(xiàn)象稱(chēng)為“拍”，或者說(shuō)“拍”是一個(gè)具有慢變振幅的振動(dòng)

拍頻

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications第1章緒論1.4周期振動(dòng)的諧波分析

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.4周期振動(dòng)的諧波分析周期振動(dòng)

展成傅氏級(jí)數(shù)一個(gè)周期T中的平均值n=1,2,3,……n=1,2,3,……基頻

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.4周期振動(dòng)的諧波分析一個(gè)周期振動(dòng)可視為頻率順次為基頻及整倍數(shù)的若干或無(wú)數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)分量的合成振動(dòng)過(guò)程。

在振動(dòng)力學(xué)中將傅氏展開(kāi)稱(chēng)為諧波分析

周期函數(shù)的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。周期函數(shù)的譜線是互相分開(kāi)的，故稱(chēng)為離散頻譜。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.4周期振動(dòng)的諧波分析函數(shù)的頻譜，說(shuō)明了組成該函數(shù)的簡(jiǎn)諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。這種分析振動(dòng)的方法稱(chēng)為頻譜分析。由于自變量由時(shí)間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實(shí)際上是由時(shí)間域轉(zhuǎn)入頻率域。這是將周期振動(dòng)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的另一個(gè)物理意義。

返回首頁(yè)TheoryofVibrationwithApplications1.4周期振動(dòng)的諧波分析周期振動(dòng)的諧波分析以無(wú)窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)，但一般可以用有限項(xiàng)近似表示周期振動(dòng)。例1.1已知一周期性矩形波如圖所示，試對(duì)其作諧波分析。解∶矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)F(t)可表示為表示