【淺析解析函數(shù)的收斂性質(zhì)5500字（論文）】

淺析解析函數(shù)的收斂性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u20070解析函數(shù)的收斂性質(zhì) 1261851.解析函數(shù) 1217431.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 170401.2解析函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì) 3122741.3柯西-黎曼方程下的解析函數(shù) 46944變?yōu)?5320532.解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 7【摘要】解析函數(shù)是一類特殊的函數(shù),它是多項(xiàng)式的推廣，有其獨(dú)特的性質(zhì),特別是它的收斂性與數(shù)學(xué)分析研究的函數(shù)的收斂性不同，本課題研究解析函數(shù)的各種收斂性，并與數(shù)學(xué)分析的各種收斂性質(zhì)進(jìn)行比較.【關(guān)鍵詞】解析函數(shù)收斂?jī)?nèi)閉一致收斂?jī)?nèi)閉一致有界解析函數(shù)在復(fù)變函數(shù)論里，它主要是在研究解析函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和具體的應(yīng)用，我們發(fā)現(xiàn)它是一種具有某種特性的可微函數(shù).開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，我們會(huì)探究柯西-黎曼方程，并且將其用來(lái)判斷函數(shù)的可微性、解析性…；接下來(lái)，我們會(huì)將實(shí)數(shù)域內(nèi)所熟知的初等函數(shù)逐步進(jìn)行推廣，尤其是它們?cè)趶?fù)數(shù)域上的各種性質(zhì)的研究.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義，復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析中給出了相近意義的定義.由此，關(guān)于在復(fù)變函數(shù)論的求導(dǎo)運(yùn)算的基本公式中，基本上都可以由微分學(xué)中的公式直接得到，也就是適用于微分學(xué)的求導(dǎo)公式同樣適用于復(fù)變函數(shù)論的解析函數(shù)上.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分定義1設(shè)函數(shù)w=fz在區(qū)域D(點(diǎn)?w如果當(dāng)z采取任意方式趨近，則?z按任意方式趨于零，?w?z的極限是實(shí)在的，同時(shí)該值還是有限的，則稱這樣形式的極限是函數(shù)fzf'(z這時(shí)稱在點(diǎn)z0處函數(shù)可導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的情形進(jìn)行了比較，復(fù)變函數(shù)關(guān)于微分的定義，形式上與實(shí)變函數(shù)在微分上的定義偏差不大，是一致的.設(shè)函數(shù)w=fz.，從而，?w=.稱是關(guān)于在點(diǎn)處的微分，記為dw或dfz,此時(shí)也可稱fz在點(diǎn)z.dw=f'z?z.特別，當(dāng).于是（2）式變化成dw=ff'由上可知：fz在點(diǎn)z可微可以說(shuō)是fz在點(diǎn)z在上，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)是可微的，由此可得到函數(shù)關(guān)于點(diǎn)是連續(xù)的，如果將可微和連續(xù)換個(gè)順序結(jié)論就不一定成立了.所以,我們可以知道函數(shù)的可微是函數(shù)連續(xù)的充分不必要條件條件.然而在復(fù)變函數(shù)范圍內(nèi)，處處連續(xù)又確定處處不可微的函數(shù)就比在實(shí)變函數(shù)范圍內(nèi)常見(jiàn)多了，例如及Z，…關(guān)于在實(shí)變函數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行比較，這種函數(shù)不在時(shí)簡(jiǎn)單的條件就可以存在的了。.試證：函數(shù)，且ddzzn=證明:設(shè)z是隨意固定的點(diǎn)，我們有.解析函數(shù)及其簡(jiǎn)單性質(zhì)定義2如果函數(shù)w=fz在D內(nèi)，則有函數(shù)fz是區(qū)域D內(nèi)的或叫做fz在D內(nèi)，從定義角度出發(fā)：區(qū)域D內(nèi)的函數(shù)fz通常是與同時(shí)存在的，不能區(qū)域而單獨(dú)談.同時(shí)，我們通常所說(shuō)的函數(shù)fz在（指fz在該點(diǎn)的內(nèi)）；說(shuō)函數(shù)fz在D上，其意義是指fz在包含定義3若函數(shù)fz在點(diǎn)z0不，并不是z0的內(nèi)fz的都不，而是在z0的內(nèi)總有f例如，w=1z在z平面以z=0通常指代的的是允許存在的，并不存在一個(gè)在沒(méi)有的，它在上必有，所以像z這種處處的函數(shù)不在此列.是研究的，它又存在很多性質(zhì).如，函數(shù)在一點(diǎn)所在的（注意，只是在該點(diǎn)的范圍內(nèi)?。┯纱丝芍涓麟A也會(huì)在該，并且由此可以展成.這種規(guī)律在的上是絕對(duì)不可能存在的，是因?yàn)殛P(guān)于的性質(zhì)并不具有關(guān)于所具有的特性，甚至不可能由.例2設(shè)函數(shù)fzf=20=40對(duì)于實(shí)變復(fù)值函數(shù)zt=xt+iytz't柯西-黎曼方程下的解析函數(shù)若復(fù)變?cè)獄=x+iy定義在區(qū)域D的函數(shù)為w=fz=ux,y+ivx,y，且是由二元實(shí)變函數(shù)ux,y及vx,y來(lái)確定具體大小的的.通常情況下，若函數(shù)ux,y及vx,y對(duì)x與y的所有都，則函數(shù)ux,y、vx,y，具有這樣特點(diǎn)的函數(shù)f若fz=ux,ylim?z→0f?u=ux+?變?yōu)閘im?x→0,?y?z=?x+i?y無(wú)論選擇什么方式向原點(diǎn)時(shí)，（4）式總是成立的.先設(shè)?x→0,?y=0，即變成z+?z沿的方向向點(diǎn)z，此時(shí)（4lim于是知?u?u?x+相似地，設(shè)?x=0,?y→0,即變點(diǎn)z+?z沿的方向向點(diǎn)z逼近，此時(shí)（4?i故知?u?y?i?u比較(5)和（6）得出?u?x=?v?y,?u?y=??v?x,這是關(guān)于定理1（）設(shè)函數(shù)fz=ux,y+iv(x,y)在內(nèi)有定義，則在內(nèi)一點(diǎn)可微的是ux,y，vx,y在點(diǎn)x,y關(guān)于定理2設(shè)在區(qū)域D內(nèi)ux,y，vx,y有，則定理3ux,y，vx定理4函數(shù)fz=uxux，ux,y，vx,y在點(diǎn)x,y例3討論函數(shù)fz解：因ux,yu所以u(píng)y=0=?vx，若要滿足2x=ux=vy=?1,必須存在x=12.由上可知只有在x=12上，C.-R.解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)由解析函數(shù)而組成的級(jí)數(shù)稱之為解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，是級(jí)數(shù)組成部分里面一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).對(duì)于解析函數(shù)列，是否收斂重要，但更重要的是整體性質(zhì)和它的極限函數(shù)所具有性質(zhì)的探究.例如：如果解析函數(shù)序列fnz的每一項(xiàng)都具有某種性質(zhì)，由，是否可以直接確定它的極限函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)也擁有相同的性質(zhì).關(guān)于這一問(wèn)題的研究，僅僅只是解析函數(shù)列關(guān)于數(shù)集收斂是不夠的，單純的收斂不能解決問(wèn)題，需要添加其他的附加條件.比如：一致收斂的解析函數(shù)列的極限仍是一個(gè)解析函數(shù)，我們應(yīng)該如何對(duì)這一序列的極限函數(shù)在區(qū)域內(nèi)加以考慮.關(guān)于逐項(xiàng)求導(dǎo)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所需要的遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所需要的條件更為嚴(yán)苛一些.同時(shí)在復(fù)分析里，魏爾斯特拉斯定理對(duì)此有相應(yīng)的介紹.定理1設(shè)是定義域內(nèi)的解析函數(shù)，序列在域內(nèi)收斂于極限函數(shù),而且在任意緊致子集上一致收斂，那么必在內(nèi)解析，并且在任意緊致子集上一致收斂于.REF_Ref19675\r\h[9]這一定理在解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的運(yùn)用具有重要意義，可以將上述定理簡(jiǎn)單表述成：若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是解析函數(shù)，并且這一級(jí)數(shù)在域的每個(gè)緊致子集上一致收斂，則在上一定收斂，且級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)微分.定理2設(shè)（1）函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析；（2）n=1∞fn(z則函數(shù)f(z)f(p)n=1∞fnpz冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的一類解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它可以看作是在一個(gè)圓形狀的范圍內(nèi)收斂，十分規(guī)則，便于性質(zhì)的探究.除了理論外，它的應(yīng)用同樣也具有十分重要的價(jià)值，同時(shí)阿貝爾（Abel）定理為它性質(zhì)的研究提供了可行方向.形如n=0∞cn的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)佳作冪級(jí)數(shù)，其中.若用替換進(jìn)行變形，則以上還可以表示成如下（把依舊寫(xiě)作）:n=0定理3若在某點(diǎn)z1（≠a)冪級(jí)數(shù)（1）是收斂的，則（1）式在區(qū)域（以為圓心，為半徑的圓形范圍）內(nèi)一定是絕對(duì)收斂并且且內(nèi)閉一致收斂.證：設(shè)z是所述圓K內(nèi)的任意，因?yàn)閚=0∞cn(z1?a)ncn這樣一來(lái)，即有cn注意到z?為.因而n=0∞cn(其次，對(duì)K內(nèi)任一閉圓Kρ：cn故n=0∞cn(z?a)n在由可得，此級(jí)數(shù)在圓K內(nèi).內(nèi)閉一致收斂的解析函數(shù)列，具有很多重要性質(zhì).比如：內(nèi)閉一致收斂的解析函數(shù)列的極限函數(shù)仍是極限函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)也具有相同的性質(zhì)-內(nèi)閉一致收斂…然而在實(shí)際有關(guān)解析函數(shù)列的問(wèn)題中，我們可以將內(nèi)閉一致收斂條件進(jìn)行弱化，條件改為內(nèi)閉一致有界，同樣也可以得到理想的結(jié)果.下面做了相關(guān)討論：定義1定義在區(qū)域D上的fnz,對(duì)E?D,如果有常數(shù)M>0,使對(duì)一切自然數(shù)n及z∈E,都適合fn(z)<M定義2設(shè)fnz(n∈N)是D內(nèi)的,如果它在D內(nèi)的任一緊集E上是(即對(duì)于任意緊集E?D,都存在一個(gè)與E有關(guān)的M,使得fnz≤M對(duì)于一切n和E的z恒成立),則稱fn(z)在D；如果fnz在D定義3定義在點(diǎn)集E上的函數(shù)列fnz,如果任給ε>0存在δ>0,對(duì)任意的z1,z2∈E,只要z1?z2<δ,就有fnz1?fn(z2)<ε,則稱fnz在E上是等度連續(xù).(等度連續(xù)：定義在集E上的函數(shù)列fnz,如果對(duì)任意給定的ε>0,均存在δ(ε)>0,當(dāng)定義4若區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)列fnzn∈z在D內(nèi)的E上fnz定理4設(shè)解析函數(shù)列在區(qū)域上內(nèi)閉一致有界,則它在上.REF_Ref12227\r\h[4]證明：:對(duì)任一閉集E?D,記d=minz'1?z'2,其中,的邊界,取閉曲線γ,使γ所圍區(qū)域G?由Cauchy積分公式:，有,上述中.對(duì)任意ε>0，存在δ=mind4,dε4M.當(dāng)z1?定理5若解析函數(shù)列內(nèi)閉一直有界，它的導(dǎo)函數(shù)具有形同的性質(zhì).REF_Ref12227\r\h[4]證明：:設(shè)對(duì)任意閉集E?D,取閉曲線C,使C所圍區(qū)域G?D,且E?G.由Cauchy積分公式:fn'z=12πicfn(ξ)ξ?z2dξz∈E;n=1,2,?又因?yàn)閒n(z)在C上一致有界，所以存在常數(shù)M>0,定理6收斂的內(nèi)閉一致有界的解析函數(shù)列，一定是內(nèi)閉一致收斂的.REF_Ref12227\r\h[4]證明：:設(shè)對(duì)任意閉集E?D,根據(jù)有限覆蓋定理將有有限個(gè)半徑為r的圓域kj:z?zj<r,r覆蓋住E,且使kj?Dj=1,2,?,p,對(duì)任z∈D,必有kj,使z∈kfn當(dāng)取N=max?(N1,Nf又由定理1知fn(z)在E上內(nèi)閉等度連續(xù).所以當(dāng)f于是只要r<δ就有?ε>0，?Nεfn所以fn(z)在參考文獻(xiàn)鐘玉泉，復(fù)變函數(shù)論，第四版，北京，高等教育出版社，2013，08.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析下，第四版，北京，高等教育出版社，2010.06.劉江蓉,淺論函數(shù)列的一致收斂性[J].高等數(shù)學(xué)研究,2009,49-50,49-50.楊景飛,關(guān)于一類解析函數(shù)列的定理及其證明[J].成都理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,108-1