浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023學(xué)年第一學(xué)期杭州市期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（

）A．2i B． C．2 D．3．“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．5．“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（

）

A． B． C． D．6．已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則A． B． C． D．7．如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（

）A． B． C． D．8．如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，一組樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不完全相等的正數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差B．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C．若樣本甲的中位數(shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是D．若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是10．已知，是圓O：上兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若點O到直線AB的距離為，則C．若，則的最大值為D．若，則的最大值為411．已知甲盒中有五個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，4，5，乙盒中有五個相同的小球，標(biāo)號為3，4，5，6，7.現(xiàn)從甲、乙兩盒中分別隨機抽取1個小球，記事件A＝“抽取的兩個小球標(biāo)號相同”，事件B＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和為奇數(shù)”，事件C＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于8”，則（

）.A．事件A與事件B是互斥事件B．事件A與事件B是對立事件C．D．12．如圖，在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面或內(nèi)部一點，直線與底面所成的角分別記為，且，記動點P的軌跡與棱的交點為，則下列說法正確的是（

）A．為中點B．線段長度的最小值為5C．存在一點，使得平面D．若在正四棱柱表面，則點的軌跡長度為非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．過點且方向向量為的直線的方程為___________．14．已知，，且，則的最小值為.15．某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，每次獻(xiàn)愛心活動均需該組織2位同學(xué)參加．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立，隨機地發(fā)給2位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到，則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為．16．已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)，的最小值是2，則的最小值是.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．亞洲運動會簡稱亞運會，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運動會，由亞洲奧林匹克理事會的成員國輪流主辦，每四年舉辦一屆.1951年第1屆亞運會在印度首都新德里舉行，七十多年來亞洲運動員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國更是世界的體育大國和亞洲的體育霸主.第19屆杭州2022年亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉辦，為普及體育知識，增強群眾體育鍛煉意識，某地舉辦了亞運知識競賽活動.活動分為男子組和女子組進行，最終決賽男女各有40名選手參加，右圖是其中男子組成績的頻率分布直方圖（成績介于85到145之間），

(1)求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)；(2)若計劃從男子組中105分以下的選手中隨機抽樣調(diào)查2個同學(xué)的答題狀況，則抽到的選手中至少有1位是95分以下選手的概率是多少？(3)若女子組40位選手的平均分為117，標(biāo)準(zhǔn)差為12，試求所有選手的平均分和方差.19．已知函數(shù).(1)若方程在上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度.20．已知圓：M：.關(guān)于直線對稱，記點，過點.的直線與圓相切于點.(1)求的最小值；(2)當(dāng)取最小值時，求切點所在的直線方程.21．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.

(1)求證：平面；(2)若點為棱的中點，求點到平面的距離；(3)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.22．在區(qū)間上，如果函數(shù)為減函數(shù)，而為增函數(shù)，則稱為上的弱減函數(shù).若（1）判斷在區(qū)間上是否為弱減函數(shù)（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍（3）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍1．B【分析】先分別求出集合A，B，由此能求出．【詳解】解：集合，，．故選：B．【點睛】本題主要考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D3．A【分析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4．A【分析】利用條件，先求出兩個力的合力及，再利用功的計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，又，，所以，故.故選：A.5．C【分析】轉(zhuǎn)化為點與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合后由直線與圓的位置關(guān)系求解，【詳解】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時，得k最小，此時設(shè)，故，解得或（舍去），即．故選：C6．C【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．7．D【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F(xiàn)，M四點共面，可得存在實數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【詳解】由題意可知，因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：D8．B【分析】作出輔助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個球的半徑，得到答案.【詳解】如圖，取的中點，連接，，則，，過點作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點為最大球的球心，連接并延長，交于點，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因為∽，所以，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個球的表面積和為.故選：B【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑9．ACD【分析】根據(jù)統(tǒng)計中的相關(guān)概念和性質(zhì)運算求解.【詳解】不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為，且，則樣本乙的數(shù)據(jù)為，且，對于選項A：樣本甲的極差為，樣本乙的極差，因為，即，所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；對于選項B：記樣本甲的方差為，則樣本乙的方差為，因為，即，所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯誤；對于選項C：因為樣本甲的中位數(shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是，故C正確；對于選項D：若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是，故D正確；故選：ACD.10．AD【分析】對于選項A，B，根據(jù)垂徑定理可判斷，對于選項C，D，根據(jù)點到直線的距離公式可求解判斷.【詳解】對于A，若，則可知點到的距離為，從而可知，故A正確；對于B，若點O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯誤；對于C，D，的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點，則，且，則在以點為圓心，半徑為的圓上，兩點到直線的距離之和為的中點到直線的距離的兩倍.點到直線的距離為，所以點到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯誤，D正確..故選：AD.11．AC【分析】首先分別列舉三個時間包含的樣本點，再結(jié)合互斥，對立時間的定義，以及選項，即可判斷選項.【詳解】事件A的所有基本事件為甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3個；事件B的所有基本事件為甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12個；事件C的所有基本事件為甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10個.從甲、乙兩盒中各取1個小球共有25個基本事件.因為事件A與事件B不可能同時發(fā)生，所以事件A與事件B互斥，故A正確；因為，，，所以B錯誤；因為事件的所有基本事件共有12個，所以，所以，故C正確；因為事件的所有基本事件共有6個，所以，所以，故D錯誤.故選：AC12．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面夾角的定義確定P在球上，結(jié)合球的特征可判定A、B、D選項，構(gòu)造面面平行及球心到線段的距離可判定C項.【詳解】設(shè)在底面的投影為，連接，由題可知，所以，即，建系可得：，，，即化簡得：，即P在球心，半徑的球上，所以，故B正確；設(shè)，則，即，故A錯誤；取上一點上一點，使，連接，易得，由正四棱柱的特征可知：，而平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，易知球心到線段的距離為，故截面與球存在交點，所以存在一點，使得平面，故C正確；當(dāng)位于側(cè)面上時，P軌跡為劣弧，易知，當(dāng)位于側(cè)面上時，P軌跡為劣弧，易知，則點的軌跡長度,如下圖所示：故D正確.故選：BCD13．【分析】由題意可得直線的斜率，再由點斜式方程即可求解【詳解】因為直線過點且方向向量為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故答案為：14．1【分析】構(gòu)造，展開，利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以的最小值為1.故答案為：115．.【分析】問題的對立事件是甲同學(xué)既沒有收到李老師也沒有收到張老師的信息，而李老師和張老師的信息是相互獨立的，進而算出概率.【詳解】設(shè)甲同學(xué)收到李老師和張老師的信息分別為事件A，B，且相互獨立，∴，則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動通知為：.故答案為：.16．【分析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時，最小值為.故答案為：.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定即可證明線面平行；（2）取中點為，以為空間直角坐標(biāo)系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和的坐標(biāo)，利用向量法即可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取中點為，連接，，如圖所示，

因為，分別是，的中點，所以且，又因為且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）取中點為，以為空間直角坐標(biāo)系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，設(shè)平面的法向量為，因為，，所以，令，解得，即，又因為，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．(1)，(2)(3)平均分為，方差為【分析】（1）先求出所有矩形的面積，再用1減去這個面積可得缺失部分的面積，除以10可得其高度，可求得第10名的成績是第75百分位數(shù)，然后利用百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果；（2）求得105以下合計6個人，對這6人編號后，利用列舉法求解；（3）利用平均數(shù)和方差的定義求解即可.【詳解】（1）因為已有矩形的面積和為，所以缺失的矩形面積為，所以高度為，由于，所以第10名記為第75百分位數(shù)，設(shè)第10名的成績?yōu)?，則位于第5組，且，解得，所以成績排名第10的選手分?jǐn)?shù)為129；（2）105以下合計6個人，將6人依次編號為1，2，3，4，5，6（95分以下的人編號為1，2），任選2個人的方法數(shù)，列舉出所有樣本點：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共計15種，包含1，2的有9種，故概率為；（3）男子組選手的平均分，男子組得分的方差所有選手的平均得分為，所以所有選手得分的方差.19．(1)或；(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再探討在上的性質(zhì)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合求解作答.（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，進而求出，再利用等腰三角形性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，方程在上有且只有一個實數(shù)根，即直線與函數(shù)在的圖象只有一個公共點，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在的圖象，如圖，

觀察圖象，當(dāng)或時，直線與函數(shù)在的圖象只有一個公共點，所以實數(shù)m的取值范圍是或.（2）由（1）知，，即，在中，，即，則，解得，

在中，，，由正弦定理得，則，顯然，有，于是，即有，則，是等腰三角形，所以.20．(1)；(2).【分析】(1)圓關(guān)于直線對稱則直線過圓心，再根據(jù)切線長可分析求解的最小值；（2）當(dāng)取最小值時，直線垂直直線，進而可求兩個相交的圓的公切線即為切點所在的直線方程.【詳解】（1）因為圓關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，所以，即，故點的軌跡方程為，因為的最小值即為到直線的距離，由于，即，所以，即.（2）由（1）知，當(dāng)取最小值時，直線垂直直線，可得直線的方程為，即，聯(lián)立解得，因為，所以四點共圓，故以為直徑的圓的方程為，又已知圓，兩圓方程相減得的方程為.21．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）法一：利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積為0，可證，從而得