材料力學馬紅艷幾何性質

大連理工大學基礎力學教學研究所材料力學MechanicsofMaterials4-3已知：n=200rev/min，PB=60kW，PA=22kW，PC=20kW，PD=18kW，作扭矩圖。解：4-7轉速n=200rev/min，PA=30kW，PB=17kW，PC=13kW，[t]=60MPa，d1=60mm，d2=40mm，校核該軸。解：T,N·m∴該軸強度足夠。4-9轉速n=120rev/min，[t]=60MPa，d=50mm，問許可傳遞的功率是多少？∴許可傳遞的功率[P]為18.5kW。解：(1)靜矩、形心、組合截面圖形的靜矩和形心(2)慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積；簡單截面圖形慣性矩和慣性積，組合截面圖形慣性矩和慣性積(3)平行移軸公式，組合圖形慣性矩的計算(4)慣性矩和慣性積的轉軸公式、形心主慣性軸和形心主慣性矩概念，簡單圖形的形心主慣性軸和形心主慣性矩(5)*組合截面圖形的形心主慣性矩重點：截面圖形的靜矩、慣性矩和極慣性矩、慣性積的概念與簡單計算。平行移軸公式的應用12附錄Ⅰ力學響應的決定因素

荷載材料

幾何性質附錄I:截面圖形的幾何性質

幾何性質——只與橫截面的幾何形狀和尺寸有關的某些幾何量，對桿件的應力和變形起著重要作用，如橫截面面積A,圓軸橫截面對圓心的極慣性矩IP等。拉壓桿圓軸扭轉梁的幾何性質對變形的影響FF幾何性質對變形的影響FF一、靜矩和形心1.靜矩（一次矩）代數量單位：m3dAzyyzO2.形心zCyCyzOC由理論力學，均質薄板形心計算公式如下：3.形心與靜矩的關系∴Sz

=Ayc

圖形對一個軸的靜矩，等于該圖面積與其形心坐標的乘積?！郤y

=Azc同理yCyzOCzCdAzy幾個特例形心位于對稱軸上∴Sy=0，Sz=0Cyz結論：圖形對其任意形心軸的靜矩為零CyzSy=Azc，Sz=Aycy是形心軸時，zc=0∴Sy=0yz例解：由對稱性，dzCzCRZy求圖示半圓的Sy,Sz

和形心yc=0,Sz=0由圖

4.組合圖形的靜矩和形心

組合圖形——由幾個簡單圖形組成的圖形。組合圖形的靜矩和形心ⅠⅡC(yc,zc)C1(yc1,zc1)C2（yc2,zc2)yz一般地組合圖形的靜矩和形心二、慣性矩、慣性積、慣性半徑

1.慣性矩二次矩單位：m4

顯然，圖形分布距離某軸越遠，對該軸的慣性矩就越大。dAyzyzOOhbzyOdzyODdzyOyzO

2.慣性積混合二次矩代數量單位：m4y,z軸中有一個是對稱軸，則Iyz=0dAyzyzO-ydAzydAz

3.慣性半徑單位：m矩形圓形hbzyOdzyO4.慣性矩與極慣性矩的關系

∵

ρ2=y2＋z2∴即IP=Iz＋Iy

圖形對通過一點的任意兩個互相垂直的坐標軸的慣性矩之和為一常數。dAyzyzOρCyC三、平行移軸公式問題

已知對形心軸的慣性矩和慣性積，求對所有與該形心軸平行的軸的慣性矩和慣性積ay例如，已知Iyc,y∥yC,

求Iy.Iy=

圖形對一軸的慣性矩，等于對平行于此軸的形心軸的慣性矩，加上圖形面積與此二軸間距離平方的乘積。CyCayzCzzOzCdAz=zC+a一般地，

Iy=Iyc+a

2AIz=Izc+b

2AIyz=Iyczc+a

bA在一組平行的軸中，圖形對其形心軸的慣性矩最小。慣性積公式中a,b為形心坐標，注意其正負號。

記住圖形對形心軸的慣性矩，便可求出對所有平行于此形心軸的各軸的慣性矩。CyCayzCzzOzCdAbyC四、組合圖形的慣性矩

若則

組合圖形對某軸的慣性矩，等于各組成圖形對同一軸慣性矩的和。200C20020

已知：C為形心，求：Izc.

解：2.求Izc.Izc=（200×203/12＋200×20×552）＋（20×2003/12＋200×20×552）

=37.67×106mm45555zyCzCC1z1ⅡⅠ由對稱性，形心位于對稱軸上。1.求形心位置C2z2例20五、轉軸公式

坐標原點不變，坐標軸旋轉，圖形對軸的慣性矩和慣性積的變化。α角：自y

軸正向逆時針轉動為正。新舊坐標轉換關系：

y1=ycosα＋zsinαz1=zcosα－ysinαyzyzOdAαz1y1y1z1α

整理后得討論：Iy1,Iz1,Iy1z1

都是α角的有界周期函數；

Iy1＋

Iz1

=Iy＋

Iz

=Ip=常數六、形心主慣性軸形心主慣性矩

1.主慣性軸若

Iy1z1=0,則y1,z1

軸稱為主慣性軸。其位置可由下式確定：

α0

為主慣性軸與y軸的夾角,有兩個解，正交。2.形心主慣性軸

通過形心的主慣性軸稱形心主慣性軸。對稱軸必為形心主慣性軸。形心主慣性軸zyCzyCzyC3.主慣性矩

圖形對主慣性軸的慣性矩，稱主慣性矩。當圖形對任意兩個互相垂直坐標軸y,z的慣性矩Iy,Iz

和慣性積Iyz已知時，將解出的α0

代入Iy1,Iz1公式，其主慣性矩可由下式計算：Iy0IZ0主慣性矩的意義

對求導即

所以，主慣性軸就是使得圖形的慣性矩取得極值的坐標軸；

而主慣性矩就是圖形對通過一點的所有坐標軸的慣性矩中的最大值或最小值。4.形心主慣性矩

圖形對形心主慣性軸的慣性矩。形心主慣性矩對梁的應力分布和變形計算起著十分重要的作用。

計算步驟：確定形心；確定對任意形心軸的慣性矩和慣性積；計算形心主慣性矩。例題

求形心主慣性矩2.求形心解:1.選坐標yoz,2020zO100100yC2C1C（yc,zc）例題

3.求Iyc,Izc,Iyczc2020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC2020例題2020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC30302020zO100100yC2C1C（40,30）zCyC303020例題20

Iyczc

=100×20×（－30×20)+100×20×（－20×30)=－2.4×106mm4

4.求形心主慣性矩

Iy0Iz0={6.93×106mm41.73×106mm45.形心主慣性軸2020zO100