模型08 垂線段最短模型（學生用）

PAGE1模型介紹模型介紹R【結(jié)論一】如圖直線外一點A到直線上所有點的距離中，垂線段AM最小.R【結(jié)論二】如圖，在三角形ABC中，M、N分別是DE、BC上的動點，連接AM，MN，求AM+MN的最小值。則有以下結(jié)論成立：過A作BC的垂線，垂足為Q，于DE相交于P，當M、N分別與P、Q重合時，AM+MN有最小值，即為AQ的長度.R方法點撥1.題型特征：①一定點②動點的運動軌跡為直線R2.模型本質(zhì)：過定點作定直線的垂線，垂線段最短.例題例題精講【例1】.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的取值范圍是．變式訓練【變式1】．如圖，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P為直線AB上一動點，連接PC，則線段PC的最小值是．【變式2】.如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是．【變式3】.如圖，在銳角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，試求CM+MN的最小值．【變式4】.如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM＝3，點P為線段BD上的一個動點，則MP+PB的最小值是．

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點E是AB上任意一點．若CD＝5，則DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．102．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于點D，點E，F(xiàn)分別是線段BD，BC上的動點，則CE+EF的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．63．如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．4.54．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．5．如圖所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F(xiàn)兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點B，C移動，連接EF，在移動的過程中，EF的最小值為（）A．1B．C．D．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D是BC邊的中點，點P是AC邊上一個動點，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ．則CQ的最小值是（）A． B．1 C． D．7．如圖，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，點M是∠ABC平分線BD上一動點，點N是BC上一動點，則CM+MN的最小值是．8．如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分別為線段AD、AB上的動點，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，則BE+EF的最小值為．9．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E是AB的中點，F(xiàn)，G是對角線AC上的兩個動點，且FG＝，連接EF，BG，則EF+BG的最小值為．10．如圖，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處，折痕分別與邊AB，AD交于點E，F(xiàn)．當點M的位置變化時，DF長的最大值為．11．如圖，邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點E運動過程中，DF的最小值是．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，點P為AB的中點，E為BC上一動點，過C、E、P三點⊙O交AC于F點，連接EF，則EF的最小值為．13．如圖，在平面直角坐標系中，點P，A的坐標分別為（1，0），（2，4），點B是y軸上一動點，過點A作AC⊥AB交x軸于點C，點M為線段BC的中點，則PM的最小值為．14．如圖，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，點E為AB上一點，連接DE，以DE為斜邊作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，則BF的取值范圍是．15．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，動點M、N在斜邊AB上，∠MCN＝45°，求MN的最小值．16．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點．（1）求AM+BM+CM的最小值；（2）求AM+BM的最小值．

17．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O、A兩點，頂點為C，連接OC、AC，若點B是線段OA上一動點，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點A落在點A′的位置，線段A′C與x軸交于點D，且點D與O、A點不重合．（1）求點A、點C的坐標；（2）求證：△OCD∽△A′BD；（3）求的最小值．

18．已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交點A（1，0），C（﹣3，0）．與y軸交點B（0，3），如圖1所示，D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1若R為y軸上的一個動點，連接AR，則RB+AR的最小值為2