模型11 手拉手模型（學(xué)生用）

模型介紹模型介紹共頂點模型，亦稱“手拉手模型”，是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合，兩個三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個三角形全等或者相似。尋找共頂點旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點（2）列出兩組相等的邊或者對應(yīng)成比例的邊（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可。兩等邊三角形兩等腰直角三角形兩任意等腰三角形*常見結(jié)論：連接BD、AE交于點F，連接CF，則有以下結(jié)論：【專題說明】兩個具有公共頂點的相似多邊形，在繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)的過程中，產(chǎn)生伴隨的全等或相似三角形，這樣的圖形稱作共點旋轉(zhuǎn)模型；為了更加直觀，我們形象的稱其為“手拉手”模型?！局R總結(jié)】【基本模型】一、等邊三角形手拉手-出全等圖1圖2圖3圖4二、等腰直角三角形手拉手-出全等兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉(zhuǎn)過程中（B、C、D不共線）始終有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；圖1圖2圖3圖4手拉手模型的定義：兩個頂角相等且有共頂點的等腰三角形形成的圖形。手拉手模型特點：“兩等腰，共頂點”模型探究：例題精講例題精講考點一：等邊三角形中的手拉手模型【例1】．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．有下列結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③∠AOB＝60°；④DC＝DP；⑤△CPQ為正三角形．其中正確的結(jié)論有_____________.變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，，都是等邊三角形，則的度數(shù)是A． B． C． D．【變式1-2】．如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正確的有（）A．②④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【變式1-3】．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC上，DE與AC交于點F，若AB＝5，BD＝3，則＝．考點二：等腰直角三角形中的手拉手模型【例2】．如圖，和都是等腰直角三角形，，為邊上一點，若，，則的長為__________變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，，，連結(jié)，分別以、為直角邊作等腰和等腰，連結(jié)、，當(dāng)最長時，的長為A． B．3 C． D．【變式2-2】．如圖，在中，，點為中點，點在邊上，連接，過點作的垂線，交于點．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（填序號）．考點三：任意等腰三角形中的手拉手模型【例3】．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論：∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論是_____．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，等腰中，，，點為直線上一動點，以線段為腰在右側(cè)作等腰，且，連接，則的最小值為A． B．4 C．6 D．8【變式3-2】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側(cè)作∠ACM＝∠ACB，點D為邊BC（不含端點）上的任意一點，在射線CM上截取CE＝BD，連接AD，DE，AE．設(shè)AC與DE交于點F，則線段CF的最大值為．【變式3-3】.【問題背景】（1）如圖1，等腰中，，，于點，則；【知識應(yīng)用】（2）如圖2，和都是等腰三角形，，、、三點在同一條直線上，連接．求證：．（3）請寫出線段，，之間的等量關(guān)系，并說明理由．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1.風(fēng)箏為中國人發(fā)明，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年有成，是人類最早的風(fēng)箏起源．如圖，小飛在設(shè)計的“風(fēng)箏”圖案中，已知，，，那么與相等．小飛直接證明，他的證明依據(jù)是A． B． C． D．2．如圖，，都是等邊三角形，則的度數(shù)是A． B． C． D．3．如圖，點是軸上一個定點，點從原點出發(fā)沿軸的正方向移動，以線段為邊在軸右側(cè)作等邊三角形，以線段為邊在上方作等邊三角形，連接，隨點的移動，下列說法錯誤的是A． B． C．直線與軸所夾的銳角恒為 D．隨點的移動，線段的值逐漸增大4．如圖，，，連結(jié)，分別以、為直角邊作等腰和等腰，連結(jié)、，當(dāng)最長時，的長為A． B．3 C． D．5．如圖，線段繞點旋轉(zhuǎn)，線段的位置保持不變，在的上方作等邊，若，，則在線段旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值是A． B．4 C． D．56．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，則∠AOB＝．7．如圖，△ABC與△ADE均是等腰直角三角形，點B，C，D在同一直線上，AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，則CD＝．8．如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，連接CD、BE，點F、G分別為DE、BE的中點，連接FG．在△ADE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)D、E、C三點共線時，若AB＝3，AD＝2，則線段FG的長為．9．如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于點F，BD分別交CE、AE于點G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．10．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．11．已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在射線BF上，連接CE．（1）如圖1，BD與CE是否相等？請說明理由；（2）如圖1，求∠BCE的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)D在BC延長線上時，連接BE，△ABE、△CDE與△ADE的面積有怎樣的關(guān)系？并說明理由．12．如圖，在△ABC中，分別以AB、AC為腰向外側(cè)作等腰Rt△ADB與等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，連接DC、EB相交于點O．（1）求證：BE⊥DC；（2）若BE＝BC．①如圖1，G、F分別是DB、EC中點，求的值．如圖2，連接OA，若OA＝2，求△DOE的面積．13．如圖（1），在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊在AD的右側(cè)作等腰直角△ADF，∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°，AD＝AE，解答下列問題：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖（2），線段CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為；位置關(guān)系為；（不用證明）②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖（3），①中的結(jié)論是否仍然成立，請寫出結(jié)論并說明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CE⊥BD（點C、E重合除外）？請寫出條件，并借助圖（4）簡述CE⊥BD成立的理由．14．（注意：本題中的說理過程中的每一步必須注明理由，否則不得分）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°；①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；（2）如圖4，如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．15．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE＝DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到BE＝DG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別