模型24 輔助圓系列最值模型（學生用）

模型介紹模型介紹【點睛1】觸發(fā)隱圓模型的條件（1）動點定長模型若P為動點，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長（2）直角圓周角模型固定線段AB所對動角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對弦是直徑則A、B、C三點共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動角恒為直角（3）定弦定角模型固定線段AB所對動角∠P為定值原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則點P運動軌跡為過A、B、C三點的圓備注：點P在優(yōu)弧、劣弧上運動皆可（4）四點共圓模型①若動角∠A+動角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對角互補則A、B、C、D四點共圓備注：點A與點C在線段AB異側(cè)（5）四點共圓模型②固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點共圓備注：點P與點C需在線段AB同側(cè)【點睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問題條件：線段AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周，點M是線段AB上的一動點，點C是定點（1）求CM最小值與最大值（2）求線段AB掃過的面積（3）求最大值與最小值作法：如圖建立三個同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運動路徑分別為大圓、中圓、小圓結(jié)論：①CM1最小，CM3最大②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高例題精講例題精講考點一：定點定長構造隱圓【例1】．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為．變式訓練【變式1-1】．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長為（）A． B． C． D．【變式1-2】．如圖，點A，B的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為．考點二：定弦定角構造隱圓【例2】．如圖，在△ABC中，BC＝2，點A為動點，在點A運動的過程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．變式訓練【變式2-1】．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當線段DP最短時，CP＝．【變式2-2】．如圖，邊長為4的正方形ABCD外有一點E，∠AEB＝90°，F(xiàn)為DE的中點，連接CF，則CF的最大值為．考點三：對角互補構造隱圓【例3】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E在對角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點F，則＝__________.變式訓練【變式3-1】．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為．【變式3-2】．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊上的一動點，點F是CD上一點，且CE＝DF，AF、DE相交于點O，BO＝BA，則OC的值為．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交x軸上點C，則點C的坐標為（）A．（5，0） B．（2，0） C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）2．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣44．如圖所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，當A、B分別在射線OM、ON上滑動時，OC的最大值為（）A．12 B．14 C．16 D．145．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為．6．如圖示，A，B兩點的坐標分別為（﹣2，0），（3，0），點C在y軸上，且∠ACB＝45°，則點C的坐標為．7．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB+∠PBA＝90°，則線段CP長的最小值為．8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則AC+BC的最大值為．9．如圖，等邊△ABC中，AB＝6，點D、點E分別在BC和AC上，且BD＝CE，連接AD、BE交于點F，則CF的最小值為．10．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為．11．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面積為8，則BC長為．12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E為BC上一點，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，則AD的長．13．如圖，在正方形ABCD中，AD＝6，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，連接DF交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM．連接DM．交EF于點N．若AF＝2．則△EMN的面積是．14．如圖，在正方形ABCD中，AD＝8，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若點F是AB的中點，則FM＝，＝．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當DE取何值時，∠AED最大．16．如圖，將兩張等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標系中，點O（0，0），A（0，4）．將Rt△OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，連接AC，BD，直線AC與BD相交于點P．（1）求證：AP⊥BP；（2）若點Q為OA的中點，求PQ的最小值．17．（1）【學習心得】于彤同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是．18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（6，0），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）如圖①，連接BC，點P是線段BC上方拋物線上一動點，若△PBC的面積為12，求點P的坐標；（3）如圖②，已知⊙B的半徑為2，點Q是⊙B上一個動點，連接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．19．模型分析如圖在△ABC中，AD⊥BC于點D，其中∠BAC為定角，AD為定值，我們稱該模型為定角定高模型．問題：隨著點A的運動，探究BC的最小值（△ABC面積的最小值）．（1）當∠BAC＝90°時（如圖①）：第一步：作△ABC的外接圈⊙O；第二步：連接OA；第三步：由圖知AO≥AD，當AO＝AD時，BC取得最小值．（2）當∠BAC＜90°時（如圖②）：第一步：作△ABC的外接圓⊙O；第二步：連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E：第三步：由圖知AO+OE≥AD，當AO+OE＝AD時，BC取得最小值．那么∠BAC＞90°呢？結(jié)論：當AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時，BC取得最小值，此時△ABC的面積最小當∠BAC＜90°時，請根據(jù)【模型分析】（2）中的做法將下面證明過程補充完整．求證：當AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時，BC取得最小值，此時△ABC的面積最?。C明：如解圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，設⊙O的半徑為r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，∴BC＝2BE＝2OB?sinα＝2r?sinα，∵sinα為定值，∴要使BC最小，只需…自主探究：我們知道了當AD過△ABC的外接圓圓心O（即A