模型26 圓冪定理（學生用）

PAGE11．弦切角定理（1）弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．2、相交弦定理【結(jié)論1】如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P，半徑為r,則①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.3、切割線定理【結(jié)論2】如圖，PBC是⊙O的一條割線，PA是⊙O的一條切線，切點為A，半徑為r,則①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r24、割線定理【結(jié)論3】如圖，PAB、PCD是⊙O的兩條割線，半徑為r,則①PA·PB＝PC·PD②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2口訣：從兩線交點處引出的共線線段的乘積相等

例題精講例題精講考點一：相交弦定理【例1】．已知：如圖弦AB經(jīng)過⊙O的半徑OC的中點P，且AP＝2，PB＝3，則是⊙O的半徑等于（）A． B． C． D．變式訓練【變式1-1】．如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點E，若CE：BE＝2：3，則AE：DE＝．【變式1-2】．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，過點A作AC的垂線交CD的延長線于點E，連結(jié)BE．若cos∠ACB＝，則的值為．考點二：弦切角定理【例2】．如圖，割線PAB過圓心O，PD切⊙O于D，C是上一點，∠PDA＝20°，則∠C的度數(shù)是度．變式訓練【變式2-1】．如圖，已知∠P＝45°，角的一邊與⊙O相切于A點，另一邊交⊙O于B、C兩點，⊙O的半徑為，AC＝，則AB的長度為（）A． B．6 C． D．5【變式2-2】．如圖，BP是⊙O的切線，弦DC與過切點的直徑AB交于點E，DC的延長線和切線交于點P，連接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，則線段CP的長為．考點三：切割線定理【例3】．如圖，直線PA過半圓的圓心O，交半圓于A，B兩點，PC切半圓與點C，已知PC＝3，PB＝1，則該半圓的半徑為．變式訓練【變式3-1】．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓O與BC相切于點D，分別交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，則⊙O的直徑為（）A．10 B． C．5 D．12【變式3-2】．如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C，D．AC與BD相交于點E，CD2＝CE?CA，分別延長AB，DC相交于點P，PB＝BO，CD＝2．則BO的長是．【變式3-3】．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；（2）若，求BD的長．考點四：割線定理【例4】．如圖，過點P作⊙O的兩條割線分別交⊙O于點A、B和點C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，則PD的長是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.5變式訓練【變式4-1】．如圖，P是圓O外的一點，點B、D在圓上，PB、PD分別交圓O于點A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝．【變式4-2】．已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，過B、D兩點作圓，與BA的延長線交于點E，與CB的延長線交于點F，則BE﹣BF的值為．1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，CM切⊙O于點C，∠BCM＝60°，則∠B的正切值是（）A． B． C． D．2．如圖，從圓外一點P引圓的切線PA，點A為切點，割線PDB交⊙O于點D、B．已知PA＝12，PD＝8，則S△ABP：S△DAP＝．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O過AB兩點且與BC切于B，與AC交于D，連接BD，若BC＝﹣1，則AC＝．4．如圖，⊙O的直徑AB＝8，將弧BC沿弦BC折疊后與∠ABC的角平分線相切，則△ABC的面積為．5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，延長AD交⊙O于點E，若BD＝4，CD＝1，則DE的長是．6．如圖，已知AC＝AB，AD＝5，DB＝4，∠A＝2∠E．則CD?DE＝．7．如圖：BE切⊙O于點B，CE交⊙O于C，D兩點，且交直徑于AB于點P，OH⊥CD于H，OH＝5，連接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的長是．8．如圖，在平面直角坐標系中，⊙O經(jīng)過點A（4，3），點B與點C在y軸上，點B與原點O重合，且AB＝AC，AC與⊙O交于點D，延長AO與⊙O交于點E，連接CE、DE與x軸分別交于點G、F，則tan∠DFO＝，tan∠A＝．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的切線，C為切點，且CD＝CB，連接AD，與⊙O交于點E．（1）求證AD＝AB；（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半徑．10．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，CD是⊙O的直徑，AB⊥CD于點E，過點A作⊙O的切線交CD的延長線于點F，連接FB．（1）求證：FB是⊙O的切線．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半徑．11．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E為AB的中點，連接CE交BD于點F，延長CE交⊙O于點G，連接BG．（1）求證：FB2＝FE?FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的長．12．如圖，⊙O的割線PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分線和AE、BE分別交于C、D，PE＝4，PB＝4，∠AEB＝60°．（1）求證：△PDE∽△PCA；（2）試求以PA、PB的長為根的一元二次方程；（3）求⊙O的面積．（答案保留π）13．如圖，圓O上有A，B，C三點，AC是直徑，點D是的中點，連接CD交AB于點E，點F在AB延長線上，且FC＝FE．（1）求證：CF是圓O的切線；（2）若，BE＝2，求圓O的半徑和DE?EC的值．14．如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，點C在⊙O上，且PC2＝PB?PA．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）已知PC＝20，PB＝10，點D是的中點，DE⊥AC，垂足為E，DE交AB于點F，求EF的長．15．已知：如圖，PF是⊙O的切線，PE＝PF，A是⊙O上一點，直線AE、AP分別交⊙O于B、D，直線DE交⊙O于C，連接BC，（1）求證：PE∥BC；（2）將PE繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，使點E移到圓內(nèi)，并在⊙O上另選一點A，如圖2．其他條件不變，在圖2中畫出完整的圖形．此時PE與BC是否仍然平行？證明你的結(jié)論．16．已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線與⊙O相交于點D，連接DB．（1）如圖①，設(shè)∠ABC的平分線與AD相交于點I，求證：BD＝DI；（2）如圖②，過點D作直線DE∥BC，求證：DE是⊙O的切線；（3）如圖③，設(shè)弦BD，AC延長后交⊙O外一點F，過F作AD的平行線交BC的延長線于點G，過G作⊙O的切線GH（切點為H），求證：FG＝HG．17．【提出問題】小聰同學類比所學的“圓心角“與“圓周角”的概念，將頂點在圓內(nèi)（頂點不在圓心）的角命名為圓內(nèi)角．如圖1中，∠AEC，∠BED就是圓內(nèi)角，所對的分別是、，那么圓內(nèi)角的度數(shù)與所對弧的度數(shù)之間有什么關(guān)系呢？【解決問題】小聰想到了將圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化為學過的兩種角，即圓周角、圓心角，再進一步解決問題：解：連接BC，OA，OC，OB，OD．如圖2，在△BCE中，∠AEC＝∠EBC+∠ECB∵∠EBC＝∠AOC，∠ECB＝∠BOD∴∠AEC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）即：∠AEC的度數(shù)＝（的度數(shù)+的度數(shù)）（1）如圖1，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，若弧的度數(shù)是65°，弧的度數(shù)是40°，則∠AED的度數(shù)是．【類比探究】頂點在圓外且兩邊與圓相交的角，命名為圓外角．（2）如圖3，在⊙O中，弦AB