福建省泉州市南安市2022年中考數(shù)學質檢試卷(含答案)

福建省泉州市南安市2022年中考數(shù)學質檢試卷（解析版）

一、選擇題。本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.-的絕對值是（）

2022

A.-2022B.—C.2022D.--」

20222022

2.長征二號F遙十三運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將神舟十三號送入近地點高度200000,〃,

遠地點高度356000,”的近地軌道.其中數(shù)字356000用科學記數(shù)法表示為（）

A.35.6X104B.3.56X105C.3.56X106D.0.356X106

3.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至2月20日在中國北京市和張家口市聯(lián)

合舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱

圖形的是（）

4.下列事件中，不是隨機事件的是（）

A.購買《長津湖》電影票，座位號是奇數(shù)

B.2022年1月有31天

C.打開電視，正在播放北京冬奧會賽事

D.明天會下雨

5.某正方體木塊切割掉四分之一后的剩余部分如圖所示，其左視圖為（）

正面

c.________D.

6.下列運算正確的是（）

412tn133

A.（1）=aB.ac^=aC.0i+0[=aD.(3a)=9^

7.如圖，數(shù)軸上點。對應的數(shù)為d,則數(shù)軸上與數(shù)-3d對應的點可能是（）

I/1Pl?,

—4—3—2—]()12x

A.點AB.點BC.點。D.點、E

8.如圖，在矩形ABCQ中，AB=6cm,對角線AC與8。相交于點O,DELAC,垂足為E,

AE=3CE,則BD的長為（）

C.\2cmD.3^3cw

9.如圖，8c為。0直徑，點A,。在上，ND48=120°,若8=2,則。0的半徑

B.4C.2D.1

10.將拋物線y=-（A-1）2位于直線y=-1以下的圖象沿直線y=-1向上翻折所得的

圖象與不翻折的部分組成新圖象，若新圖象與直線y=-X+”的交點少于4個，則。的取

值范圍是（）

A.&W1或B.C.14@＜怖D.忘1或

二、填空題。本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.不等式2x-1^3的解集為.

12.已知一個多邊形每一個外角都是60°,則它是邊形.

13.初三（6）班體育委員用“正字法”記錄本班34名同學投擲實心球的成績，結果如表所

小：

成績（分）678910

記錄iF正正正正

正IF

則這34名同學投擲實心球的成績的眾數(shù)是.

14.已知2x-4y=-1,那么代數(shù)式-x+2y-1的值是.

15.如圖，我國古代的''趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的

大正方形，若小正方形的面積為1,大正方形的面積為13,則直角三角形較短的直角邊“

與較長的直角邊b的比且的值是.

b

16.如圖，正方形A1B|P|P2的頂點P、尸2在反比例函數(shù)y=」（x<0）圖象上，頂點4

X

（m,0）在x軸的負半軸上，頂點Bi（0,n）在y軸的正半軸上，再在其左側作正方形

P2P3A2B2,頂點尸3在反比例函數(shù)y=」（X<0）的圖象上，頂點A2在X軸的負半軸上，

則點P3的坐標是

三、解答題。本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(8分)計算：2022。+|五-2|-(y)T

18.（8分）如圖，在平行四邊形488中，點E、尸是對角線AC上的兩點，BE1AC,

DFA.AC.求證：BE=DF.

2_

19.（8分）先化簡，再求值：豈二魚，其中X=JE-2.

x-12x-2

20.（8分）第二十四屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月20日在北京圓滿閉幕，目前冰

墩墩和雪容融吉祥物在市場熱銷.奧林匹克官方旗艦店新推出“擺件”和“掛件”兩款

產(chǎn)品，第一天售出了“擺件”200個和“掛件”100個，銷售總額為30000元.第二天售

出了“擺件”300個和“掛件”200個,銷售總額為49000元.求“擺件”和“掛件”的

銷售單價.

，三

擺件掛件

21.（8分）如圖，在RtZVLBC中，已知/C=90°.

（1）在8C邊上求作點。，連結AO,使得AO=B￡＞；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖形中，當AC=4,8c=8時，求sin/ADC的值.

22.（10分）北京時間2021年12月9日15時40分，“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光

富在中國空間站為廣大青少年帶來了一場精彩的太空科普課.為引導同學們學習天文知

識、探索宇宙奧秘，學校組織了“中國夢?航天情”系列活動.下面是八年級甲、乙兩個

班各項目的成績（單位：分）：

項目知識競賽演講比賽版面創(chuàng)作

班次

甲829186

乙928583

(1)如果將知識競賽、演講比賽、版面創(chuàng)作按5：3：2的比例確定最后成績，請通過計

算說明甲、乙兩班哪個班級獲勝；

(2)學校決定從八年級演講比賽表現(xiàn)優(yōu)秀的1名男生和2名女生中任選兩名學生參加市

級演講比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求選中一名男生一名女生的概率.

23.(10分)如圖，在。。中，點E是直徑AB與弦CO的交點，點尸為直徑4B延長線上

一點，且尸C=AC,若NO=30°.

(1)求證：CF是。。的切線；

(2)若AE=4,OE=\,求。E的長.

24.(13分)如圖1,在正方形ABC。中，點F在CQ邊上，連結AF、8。相交于點G.作

EGLAF交BC邊于點E,連結AE,正方形的邊長為10.

(1)求的長；

(2)求證：EC=V2DG；

(3)如圖2,將線段EG繞點E逆時針方向旋轉90。，得到線段EH,連結BH,探究：

8”+8G的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

（圖1）（圖2）

25.(13分)如圖,已知拋物線12+bx-6與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,并

且經(jīng)過P（-1>〃），Q（5,兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點。為直線AC下方拋物線上的一動點，直線交線段AC于點E,請求出班的

BE

最大值;

(3)探究：在拋物線上是否存在點使得NMAB=2N0CB?若存在，求出點M的坐

標；若不存在，說明理由.

'D

參考答案與試題解析

一、選擇題。本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.的絕對值是（）

2022

A.-2022B.C.2022D.--L-

20222022

【分析】根據(jù)絕對值的定義解決此題.

【解答】解：根據(jù)絕對值的定義，-二—的絕對值是|一」I=-J—.

20221202212022

故選：B.

【點評】本題主要考查絕對值的定義，熟練掌握絕對值的定義是解決本帖關鍵.

2.長征二號廠遙十三運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將神舟十三號送入近地點高度200000〃?,

遠地點高度356000m的近地軌道.其中數(shù)字356000用科學記數(shù)法表示為（）

A.35.6X104B.3.56X105C.3.56X106D.0.356X106

【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為aX10?,其中1W|“|V1O,〃為整數(shù),

且〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【解答】解：356000=3.56X105.

故選:B.

【點評】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為“X10”,其中1W同

<10,確定a與〃的值是解題的關鍵.

3.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至2月20日在中國北京市和張家口市聯(lián)

合舉辦，以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱

圖形的是（）

AB

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可.把一個圖形

繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中

心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形.

【解答】解：兒不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意：

B.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形和軸對稱

圖形的定義是解此題的關鍵.

4.下列事件中，不是隨機事件的是（）

A.購買《長津湖》電影票，座位號是奇數(shù)

B.2022年1月有31天

C.打開電視，正在播放北京冬奧會賽事

D.明天會下雨

【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，即可解答.

【解答】解：A、購買《長津湖》電影票，座位號是奇數(shù)，是隨機事件，故A不符合題意;

B、2022年1月有31天，是必然事件，故B符合題意；

C、打開電視，正在播放北京冬奧會賽事，是隨機事件，故C不符合題意；

。、明天會下雨，是隨機事件，故。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義是解

題的關鍵.

5.某正方體木塊切割掉四分之一后的剩余部分如圖所示，其左視圖為（)

c.D.

【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：從幾何體的左面看、是一列兩個矩形.

故選：A.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

6.下列運算正確的是()

A.(/)4=/2B.aia4—a'2C.a3+a4—ayD.(3a)3—9a3

【分析】直接利用幕的乘方運算法則以及積的乘方運算法則、同底數(shù)幕的乘法運算法則、

合并同類項法則分別判斷得出答案.

【解答】解：A.(1)4=/2,故此選項符合題意；

B.。324=/,故此選項不合題意；

C.無法合并，故此選項不合題意：

D.(3a)3=27a3,故此選項不合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了哥的乘方運算以及積的乘方運算、同底數(shù)幕的乘法運算、合并

同類項，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

7.如圖，數(shù)軸上點。對應的數(shù)為d,則數(shù)軸上與數(shù)-3d對應的點可能是()

???______?g?????

-4-3-2-I()12x

A.點AB.點BC.點。D.點E

【分析】根據(jù)工Vd<l,得至IJ-3<-3d<-3,對照數(shù)軸即可得出答案.

22

【解答】解：1,

2

-3<-3d<-3,

2

故選:B.

【點評】本題考查了數(shù)軸，用不等式的基本性質進行變形是解題的關鍵.

8.如圖，在矩形ABCO中，AB=6cm,對角線AC與8。相交于點。，DE±AC,垂足為E,

A.6cmB.3y[2cmC.\2cmD.4飛cm

【分析】由矩形的性質得出OA=OZ)=OC,由已知條件得出OE=CE,ZDEA=90Q,

由線段垂直平分線的性質得出OD=CD,得出△OCO為等邊三角形，即可求出8。的長.

【解答】解：???四邊形A3。是矩形，

：.OA=OC=1AC,OD=』D,AC=BD,CD=AB=6cm,

22

；?OA=OD=OC,

DELAC,AE=3CE,

：.OE=CE,NOE4=90°,

:.OD=CD,

：.OC=OD=CD=6cm9

BD~~2OD=12cm>

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，

證明△0C。是等邊三角形是解決問題的關鍵.

9.如圖，BC為OO直徑，點A,。在。。上，ND4B=120°,若CZ)=2,則。0的半徑

長度為()

B.4C.2D.1

【分析】連接on根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得出NC=60°,即可得出△OC。為等邊三

角形，從而求得。。的半徑長度為2.

連接?！?gt;,

VZDAB+ZC=180o，/D4B=120°，

：.ZC=60°，

'：OD=OC,

...△OOC是等邊三角形,

：.OC=CD=2,

故選：C.

【點評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關鍵.

10.將拋物線y=-（X-1）2位于直線y=,1以下的圖象沿直線y=-1向上翻折所得的

圖象與不翻折的部分組成新圖象，若新圖象與直線y=-x+a的交點少于4個，則“的取

值范圍是（）

A.“W1或B.D,4<1或

【分析】分別求出新圖象與直線y=-x+a的交點有3個時a的值，再結合圖象可得答案.

【解答】解：如圖：

在y=-(X-1)2中，令y=-1得x=2或x=0,

：.B(2,-1),

由圖可知，當直線y=-壯。經(jīng)過5時，新圖象與直線y=-吐。的交點有3個，

此時-1=-2+a,

???〃=1,

當直線y=-x+a為直線/2時，新圖象與直線y=-x+a的交點有3個，

此時-(x-1)2=-x+4有兩個相等實數(shù)根，

即/-3x+a+l=0的判別式A=0,

.*.9-4(a+1)=0,

.'.a——,

4

由圖可知，若新圖象與直線y=-x+a的交點少于4個，則aWl或

4

故選：D.

【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)的性質、函數(shù)圖象交點以及根

據(jù)值域確定二次函數(shù)參數(shù)取值范圍的問題，綜合性強，難度較大.

二、填空題。本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.不等式2x-1W3的解集為xW2.

【分析】移項得出2rW4,不等式的兩邊都除以2,即可求出答案.

【解答】解：2x-1這3,

移項得：2x^4,

不等式的兩邊都除以2得：xW2,

故答案為：xW2.

【點評】本題主要考查對不等式的性質，解一元一次不等式等知識點的理解和掌握，能

根據(jù)不等式的性質正確解不等式是解此題的關鍵.

12.已知一個多邊形每一個外角都是60°,則它是六邊形.

【分析】由一個多邊形的每一個外角都等于60°,且多邊形的外角和等于360°,即可

求得這個多邊形的邊數(shù).

【解答】解：???一個多邊形的每一個外角都等于60°,且多邊形的外角和等于360。，

.?.這個多邊形的邊數(shù)是：360+60=6.

所以這個多邊形是六邊形.

故答案為：六.

【點評】此題考查了多邊形的外角和定理.此題比較簡單，注意掌握多邊形的外角和等

于360度是關鍵.

13.初三（6）班體育委員用“正字法”記錄本班34名同學投擲實心球的成績，結果如表所

?。?/p>

成績（分）678910

記錄iF正正正正

正IF

則這34名同學投擲實心球的成績的眾數(shù)是8分.

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義進行計算即可.一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

【解答】解：這40名同學投擲實心球的成績?yōu)?分的人數(shù)最多，則眾數(shù)是8分，

故答案為：8分.

【點評】本題考查了眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是解題的關鍵.

14.已知2r-4y=-1,那么代數(shù)式-x+2y-1的值是——異.

【分析】將2x-4y=-1代入原式即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：2x-4y=-I,

.,.x-2y=_A,

2

；?原式="（x-2y）-1

=1-1

2

故答案為：

2

【點評】本題考查代數(shù)式求值，解題的關鍵是將X-2）=」整體代入原式，本題屬于基

2

礎題型.

15.如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的

大正方形，若小正方形的面積為1,大正方形的面積為13,則直角三角形較短的直角邊a

與較長的直角邊b的比里的值是_2_.

b—3-

【分析】根據(jù)勾股定理可以求得廿+房等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的

面積,即可得到砧的值,然后根據(jù)Ca+b)2=/+2〃加戶即可求得("。)的值;則可求

出答案.

【解答】解：???大正方形的面積是13,設邊長為c,

.'.C2—13,

.'.a2+b2=c1=\3,

???直角三角形的面積是段-=3,

4

又???直角三角形的面積是上心=3,

2

??ab=6,

：.(a+b)2=a2+&2+2<zZ>=C2+2<?Z>=13+2X6=13+12=25,

.??Q+8=5.

小正方形的面積為(b-a)2=1,

**?b=3ia=2,

?包=2

"73"

故答案為：1.

3

【點評】本題考查了勾股定理以及完全平方公式.注意完全平方公式的展開：(4+6)2

=/+廿+2帥，還要注意圖形的面積和4,。之間的關系.

16.如圖，正方形A1B1P1P2的頂點P、P2在反比例函數(shù)y=O(x<0)圖象上，頂點A1

X

(加，0)在無軸的負半軸上，頂點(0,〃)在y軸的正半軸上，再在其左側作正方形

P2P3A2B2,頂點為在反比例函數(shù)y=,(X<0)的圖象上，頂點A2在X軸的負半軸上，

X

則點P3的坐標是_仁返+"6,.

2—2―

y

^2A.0X

【分析】作P\CLy軸于C,P2D1X軸于D,PyELx軸于E,P3FLP2D于F,易得Rt

△PiBiC^RtABiAiO^RtAAiP2D.則。a=PiC=4￡>=〃，所以OAi=8心=22。=2■-

n

〃，則Pi的坐標為（-工，1-n）,然后把Pi的坐標代入反比例函數(shù)y=-1,得到n

nnx

的方程，解方程求出，3得到尸2的坐標；設P3的坐標為（-工，b）,易得Rt^P2P3尸絲

b

RtZSA2P3E,則P3E=P3尸=QE=6,通過OE=OO+￡）E=&+%=」，這樣得到關于匕的

b

方程，解方程求出6,得到尸3的坐標.

【解答】解：作PiCLy軸于C,PzCx軸于Q,乃芯上》軸于E,P3FU2D于F，如圖

所示：

,/四邊形4B1P1P2為正方形，

.,.ZAiBiPi=90°,

.?.NCBiPi+N081Al=90°,

'：ZCB\P\+ZCP\B\=90°,NOBiAi+NOAiBi=90°,

：.ZCB\P\^ZOA\B\,

在△P1B1C和△B1A1O中，

'NBiCPi=NBiOAi=90°

,NOBiAi=NCPiB[,

B1P1=A1BI

.?.△PBC絲△814。CAAS）,

同理：△BiAi。絲△AIP2。，

/.OB\=P\C=AiD=n,

：.OA]=B\C=P2Df

P\（-〃，A）,

n

.\0A\=B\C=P2D=--n,

n

OD=—-n+n=—,

nn

???P2的坐標為（-工，2?-〃），

nn

把Pi的坐標代入y=—（x<0）得：——鹿）=-1,

xnn

解得：〃=-返,（舍去）或〃=亞，

22

：.P2（-&,亞），

2

設尸3的坐標為（-Lb）,

b

又四邊形P2P3A2比為正方形，

同上：2P3尸也Z\A2P3E，

:.P3E=P3F=DE=b,

：.OE=OD+DE=?+b,

\/~2+b=—f

b

解得：（舍去），b=:&?

_22

._1_V2+V6

??-=----------,

b2_____

?*.點P3的坐標為（-—.

__22

故答案為：（一'2/6,——US'）.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點為橫縱坐標之積為定值；也考查了

正方形的性質和三角形全等的判定與性質以及解分式方程的方法.

三、解答題。本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(8分)計算：2022°+|亞-21-(q)-1-

【分析】首先計算零指數(shù)累、負整數(shù)指數(shù)基和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算

式的值即可.

【解答】解：2022°+|V2-2I-(4)T

=1+(2-V2)-3

=1+2--3

=-五.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，

和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有

括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

18.(8分)如圖，在平行四邊形A8CO中，點E、尸是對角線AC上的兩點，且

DFLAC.求證：BE=DF.

【分析】首先利用平行四邊形的性質得出AB=CD,ZBAC=ZDCF,進而得出aABE

絲△CDF(A4S),即可得出答案.

【解答】證明：?.?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

:.NBAC=/DCF,

'JBELAC,DF1AC,

：.ZBEA=ZDFC,

在△ABE和△C￡>F中，

'NBEA=/DFC

.ZEAB=ZFCD-

AB=CD

AAABE^ACDF(AAS),

：.BE=DF.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質，得出△A8E

絲△CDF是解題關鍵.

2_

19.(8分)先化簡，再求值：(1一1_).工2魚，其中x=J§-2.

Jx-1，2x-2

【分析】先算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算即可解答.

=(x+2)(x-2)

x-l2(x-l)

=x-2.2(xT)

x-l(x+2)(x-2)

=2

肉，

當x=/E-2時，原式=7出一=3=2百.

V3-2+2V33

【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵.

20.(8分)第二十四屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月20日在北京圓滿閉幕，目前冰

墩墩和雪容融吉祥物在市場熱銷.奧林匹克官方旗艦店新推出“擺件”和“掛件”兩款

產(chǎn)品，第一天售出了“擺件”200個和“掛件”100個，銷售總額為30000元.第二天售

出了“擺件”300個和“掛件”200個，銷售總額為49000元.求“擺件”和“掛件”的

銷售單價.

擺件掛件

【分析】設“擺件”的銷售單價為x元，“掛件”的銷售單價為y元，由題意：第一天售

出了“擺件”200個和“掛件”100個，銷售總額為30000元.第二天售出了“擺件”300

個和“掛件”200個，銷售總額為49000元.列出二元一次方程組，解方程組即可.

【解答】解：設“擺件”的銷售單價為x元，“掛件”的銷售單價為y元，

由題意得：(20°x+100y=30000,

|300x+200y=49000

解得：卜=11°,

|y=80

答：“擺件”的銷售單價為110元，“掛件”的銷售單價為80元.

【點評】本題主要考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方

程組是解題的關鍵.

21.(8分)如圖，在RtZiABC中，已知/C=90°.

（1）在BC邊上求作點。，連結AO,使得4O=BD；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖形中，當AC=4,8c=8時，求sin/AOC的值.

CB

【分析】（1）作48的垂直平分線交8c于￡>,則AO=B。；

（2）設4O=x,則8￡>=x,CD=S-x,在RtZ\AC￡>中利用勾股定理得到4?+（8-%）2

=）,解方程得到4。=5,然后利用正弦的定義求解.

【解答】解：（1）如圖，點。為所作；

（2）設AZ）=x,則8O=x,CD=8-x,

在RtZXACO中，42+（8-x）2=/,

解得x=5,

：.AD=5,

：.s\nZADC=^-=A.

AD5

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，

結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了解直角三角

形.

22.（10分）北京時間2021年12月9日15時40分，“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光

富在中國空間站為廣大青少年帶來了一場精彩的太空科普課.為引導同學們學習天文知

識、探索宇宙奧秘，學校組織了“中國夢?航天情”系列活動.下面是八年級甲、乙兩個

班各項目的成績（單位：分）：

項目知識競賽演講比賽版面創(chuàng)作

班次

甲829186

乙928583

（1）如果將知識競賽、演講比賽、版面創(chuàng)作按5：3：2的比例確定最后成績，請通過計

算說明甲、乙兩班哪個班級獲勝；

（2）學校決定從八年級演講比賽表現(xiàn)優(yōu)秀的1名男生和2名女生中任選兩名學生參加市

級演講比賽，請用列表法或畫樹狀圖法求選中一名男生一名女生的概率.

【分析】（1）根據(jù)加權平均數(shù)的定義列式計算即可得出答案；

（2）列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：（1）甲的平均成績?yōu)?2X5+91x3+86X2=85.5（分），

10

乙的平均成績?yōu)?2X5+85X3+83義2=88.1（分），

10

，乙班獲勝；

（2）列表如下:

男女女

男（男，女）（男，女）

女（女，男）（女，女）

女（女，男）（女，女）

所有等可能的結果有6種，其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種，

???選中一名男生一名女生的概率為匡=2.

63

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關鍵是畫出相應的表格，求出相應的

概率.

23.（10分）如圖，在。。中，點E是直徑AB與弦CC的交點，點F為直徑AB延長線上

一點，KFC=AC,若/。=30°.

（1）求證：C尸是。。的切線；

(2)若AE=4,0E=\,求OE的長.

【分析】(1)連接CO,如圖1所示，根據(jù)等腰三角形的性質得到根據(jù)圓周

角定理得到乙4=/。=30°,求得/FCO=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；

(2)連接BC,過點、E作EHLBC于點、H,如圖2所示：根據(jù)已知條件得到的AO=OB

=0C=3,BE=OB-OE=2,根據(jù)圓周角定理得到NACB=90°,根據(jù)勾股定理得到CE

=、EH2yH2=懺根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論,

【解答】(1)證明：連接CO,如圖1所示，

VFC=AC,

???ZA=ZF,

VZA=ZD=30°,

???/尸=30°,NCO8=2ND=60°,

ZFCO=90°,

:.CO1.CF,

???CO為。。的半徑，

???C/為。。的切線；

(2)解：連接8C,過點E作于點”，如圖2所示：

???AE=4,OE=1,

：.AO=OB=OC=3,BE=OB-OE=2,

〈AB為OO的直徑，

AZACB=90°,

VZA=30°,

:.AC=?AB=3M，

2

在中，EH=LEA=2,AH=MEH=2M，

2

:.CH=AC-AH=M，

在RtZ\ECH中，CE=VEH2CH2='

VZD=ZA,NBED=NCEA,

：ABEDs4CEA,

??B?E_DEf

CEAE

即2=雪

V74_

解得：DE=SRr

7

故DE的長為國近.

【點評】本題考查了切線的判定的判定與性質、圓周角定理、含30°角的直角三角形的

性質、相似三角形的判定與性質等知識；熟練掌握切線的判定與性質和相似三角形的判

定由V型在是解題的關鍵.

24.(13分)如圖1,在正方形ABCD中，點F在CO邊上，連結AF、8。相交于點G.作

EGLAF交8c邊于點E,連結AE,正方形的邊長為10.

(1)求B。的長；

(2)求證：EC=V2DG;

(3)如圖2,將線段EG繞點E逆時針方向旋轉90°,得到線段EH,連結8”，探究：

3/7+BG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

BEC

（圖1）（圖2）

【分析】（1）由AB=AD=\O,ZBAD=90°,根據(jù)勾股定得求得BD=^/+/=

1072;

（2）由正方形的對稱性想到連結CG,可證明NBAG=/8CG,由四邊形A8EG是對角

互補的四邊形，想到根據(jù)同角的補角相等證明N54G=/GEC,則NBCG=/GEC,得

EG=CG,再考慮到用等腰三角形的“三線合一”解決問題，過點G作GKLBC于點K,

交AQ于點L可證明CK=OL=1QG,則CE=2CK=&OG；

2

（3）由EH=GE,NBEH=90°,想到作輔助線構造“一線三等角”模型，作HILBC

交C8的延長線于點/,在（2）的基礎上，通過證明△H/B四△￡>/；,得到BH=GD,則

BH+BG=GD+BG=BD=1。如,為定值.

【解答】（1）解：...四邊形A8CD是邊長為10的正方形，

：.AB=AD=10,ZBAD=90°,

.?.B￡>=^AB2+AD2=^102+102=10V2，

.?.8。的長是1072-

（2）證明：如圖1,過點G作GK_LBC于點K,交AD于點L連結GC,

\'AB=AD,CB=CD,NBAD=NBCD=90°,

.?./A8G=NA￡>8=45°,NCBG=NCDB=45°,

:.NABG=NCBG,

,:AB=CB,BG=BG,

.?.△4BG嶺ZsCBG（SAS）,

:.NBAG=NBCG,

'：EG±AF,

.?./4GE=/ABE=90°,

：.ZBAG+ZBEG=1SO°,

VZGEC+ZBEG=180°,

：.ZBAG=ZGECf

：.ZBCG=ZGEC,

:.EG=CG,

:,EK=CK,

?:/LKC=/DCK=NCDL=90°,

???四邊形CQLK是矩形，

:.CK=DL,NDLG=90°,

:?NLDG=NLGD=45°,

:?DL=GL,

DG22

=VDL-K)L=V2DL2=?DL,

亞。G,

2_

：.CE=2CK=2DL=2X返OG=MDG.

2

(3)解：8H+BG的值是定值，

如圖2,過點G作GKJ_BC于點K,交4。于點3連結GC,

由(2)得EK=CK=DL=GL,

作交CB的延長線于點/,則N/=NEKG=90°,

由旋轉得EH=GE,ZBEH=90°,

???ZHEI=NEGK=900-NKEG,

：./\HEI^/\EGK(AAS),

:.HI=EK=DL,EI=GK,

?:/KGB=NKBG=45°,

:?BK=GK,

:?EI=BK,

:?EI-BE=BK-BE,

:.BI=EK=GL,

???//=NDLG=90°,

：./\HIB^/\DLG(SAS),

:?BH=GD,

Z.BH+BG=GD+BG=BD=10&,

.?.84+BG的值是定值，這個定值是10&.

【點評】此題重點考查正方形的性質、矩形的判定與性質、同角的補角相等、旋轉的性

質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作

出所需要的輔助線是解題的關鍵.

25.(13分)如圖，已知拋物線yn/x'bx-G與X軸交于A、8兩點，與)，軸交于點C，并

且經(jīng)過尸(-1,〃)，Q(5,兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。為直線AC下方拋物線上的一動點，直線8。交線段AC于點E,請求出理的

BE

最大值；

(3)探究：在拋物線上是否存在點M,使得NM48=2/OCB?若存在，求出點M的坐

標；若不存在，說明理由.

y

【分析】(1)由拋物線y-1x2+bx-6經(jīng)過P(-1，〃)，Q(5,")兩點，知對稱軸為直

線X=4巨=2,可得--J=2,即得6=-2,從而拋物線的解析式為y=12_2x

22X12

-6；

(2)過。作。尸〃y軸交AC于凡過B作BG〃y軸交AC于G,由丫=_|、3-2x-6中，

得A(6,0),8(-2,0),C(0,-6),直線AC解析式為y=x-6,即可知G(-2,

22

-8),BG=8,設。(％,X?-2m-6),則尸(m,m-6),DF=-Xn+3w,由△8EG

22

,12+?

si\DEF,得-±-------=--^m2+—m=-(m-3)2+-^-,可得當m

BEBG81681616

=3時，些取最大值a；

BE16

(3)作3(-2,0)關于y軸的對稱點B'(2,0),連接BC,B'C,在BC上取點K,使

AK=AB,作直線4K交拋物線于M,根據(jù)8(-2,0),B,(2,0)