2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅱ）（含解析版）

2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)口）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）3+1=（）

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

2.（5分）設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若ACB={1},則B=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題："遠(yuǎn)看巍巍塔七層，

紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔

共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的

頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三

視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

A.90RB.63nC.42RD.36R

‘2x+3y-340

5.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件＜2x-3y+3〉0,則z=2x+y的最小值是（

A.-15B.-9C.1D.9

6.（5分）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1

人完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問(wèn)老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：

你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙

的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)

以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

8.（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=-l,則輸出的5=（）

第2頁(yè)，共29頁(yè)

A.2B.3C.4D.5

22

9.(5分)若雙曲線C：J-4=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)

a2b2

第2頁(yè)，共29頁(yè)

2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為（）

A.2B.V3c.V2D.2V3

3

10.（5分）已知直三棱柱ABC-ABCI中，ZABC=120°,AB=2,BC=CJ=1,則

異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為（）

A.返B,C.D.返

2553

11.（5分）若x=-2是函數(shù)f（x）=（x2+ax-1）exr的極值點(diǎn)，則f（x）的極

小值為（）

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

12.（5分）已知aABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則而.

（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.-之C.-AD.-1

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放

回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=.

14.（5分）函數(shù)f（x）=siMx+近ocsx-3（xe[0,—]）的最大值是______.

42

n1

15.（5分）等差數(shù)列匕小的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S=10,貝lj￡.

4fclSk

16.（5分）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交

V軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則IFN|=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答.（-）必考題：共60分。

第3頁(yè)，共29頁(yè)

17.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2l.

2

(1)求cosB；

(2)若a+c=6,Z^ABC的面積為2,求b.

第3頁(yè)，共29頁(yè)

18.（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲

時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分

于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg",估計(jì)A的概率；

（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖

方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量N50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精

確到0.01）.

附：

P（K2^k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

第4頁(yè)，共29頁(yè)

K2=____n(ad-bc)2______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

第4頁(yè)，共29頁(yè)

19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

2

⑴證明：直線CE〃平面PAB；

（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB

-D的余弦值.

2

20.（12分）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：3_+y2=l上，過(guò)M作x軸的

2

垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足而=五而.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且而?的=1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線

I過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

第5頁(yè)，共29頁(yè)

第5頁(yè)，共29頁(yè)

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)20.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)xo,且e-vf(xo)<22.

（-）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建

立極坐標(biāo)系，曲線Ci的極坐標(biāo)方程為pcos0=4.

（1）M為曲線Ci上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段0M上，且滿足|OM|?|OP|=16,求點(diǎn)

P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,三），點(diǎn)B在曲線C2上，求aOAB面積的最大值.

3

［選修4-5:不等式選講］（10分）

23.已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明：

第6頁(yè)，共29頁(yè)

(1)(a+b)(as+bs)24；

(2)a+bW2.

第6頁(yè)，共29頁(yè)

2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)口)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

I.(5分)2()

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題.

【分析】分子和分母同時(shí)乘以分母的共匏復(fù)數(shù),再利用虛數(shù)單位i的鬲運(yùn)算性質(zhì),

求出結(jié)果.

【解答】解：為包=(3+i)(l-i)=史紅=2-i,

1+i(1+i)(1-i)2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的鬲運(yùn)算性質(zhì)，兩個(gè)

復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共輾復(fù)數(shù).

2.(5分)設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若ACB={1},貝I]B=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】34：方程思想；40：定義法；5J：集合.

【分析】由交集的定義可得1GA且1GB,代入二次方程，求得m,再解二次

第7頁(yè)，共29頁(yè)

方程可得集合B.

【解答】解：集合人={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0)

若AC1B={1},則1GA且16B,

第7頁(yè)，共29頁(yè)

可得l-4+m=0,解得m=3,

即有B={xx2-4X+3=0}={1,3}.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，主要是交集的求法，同時(shí)考查二次方程的解法,

運(yùn)用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題："遠(yuǎn)看巍巍塔七層,

紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔

共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的

頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專(zhuān)題】34：方程思想；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】設(shè)塔頂?shù)腶i盞燈，由題意{aj是公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列

前n項(xiàng)和公式列出方程，能求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)塔頂?shù)腶i盞燈,

由題意{aj是公比為2的等比數(shù)列,

.^,al（1-27）

??R----------301,

1-2

解得31=3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

第8頁(yè)，共29頁(yè)

意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

4.(5分)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三

視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

()

第8頁(yè)，共29頁(yè)

C.42nD.36K

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何.

【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一

半，即可求出幾何體的體積.

【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱

的一半，

V=n?32X10-l?n*32X6=63n,

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

第9頁(yè)，共29頁(yè)

‘2x+3y-3<0

5.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件,2x-3y+3〉0,則z=2x+y的最小值是（

y+330

第9頁(yè)，共29頁(yè)

A.-15B.-9C.1D.9

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式.

【分析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小

值即可.

‘2x+3y-340

【解答】解：x、y滿足約束條件2x-3y+3》0的可行域如圖：

y+3）0

z=2x+y經(jīng)過(guò)可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，

由產(chǎn)與解得A（-6,-3）,

I2x-3y+3=0

則z=2x+y的最小值是：-15.

故選：A.

V

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力.

6.（5分）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1

人完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

第10頁(yè)，共29頁(yè)

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題；49：綜合法；50：排列組合.

【分析】把工作分成3組，然后安排工作方式即可.

【解答】解：4項(xiàng)工作分成3組，可得：4=6,

安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成,

第10頁(yè)，共29頁(yè)

可得：6XA?=36種.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意分組方法以及排列方法的區(qū)別，

考查計(jì)算能力.

7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問(wèn)老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：

你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙

的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)

以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專(zhuān)題】2A：探究型；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；5M：推理和證明.

【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，繼而可以推出

正確答案

【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，

甲不知自己的成績(jī)

少乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會(huì)知道自己的成績(jī)；若是兩良，甲也會(huì)知

道自己的成績(jī)）

玲乙看到了丙的成績(jī)，知自己的成績(jī)

1丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績(jī)，

給甲看乙丙成績(jī)，甲不知道自已的成績(jī)，說(shuō)明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu)，

第11頁(yè)，共29頁(yè)

則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自已的成績(jī)了.給乙

看丙成績(jī)，乙沒(méi)有說(shuō)不知道自已的成績(jī)，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道

自己成績(jī).給丁看甲成績(jī)，因?yàn)榧撞恢雷约撼煽?jī)，乙丙是一優(yōu)一良，則甲

丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績(jī)，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自已

的成績(jī)了

故選：D.

第11頁(yè)，共29頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合情推理的問(wèn)題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到，老師

所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，屬于中檔題.

8.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=-l,則輸出的$=()

開(kāi)始

/俞j"

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題；27：圖表型；4B：試驗(yàn)法；5K：算法和程序框圖.

【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S,K值，當(dāng)K=7時(shí)，程序終

止即可得到結(jié)論.

【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0,K=l,a=-l,代入循環(huán),

第12頁(yè)，共29頁(yè)

弟一次;兩足循環(huán)，S=-1,a=l,K=2；

;兩足條件，第一次滿足循環(huán)，S=l,a=-1,K=3；

滿足條件，第二次滿足循環(huán)，S=-2,a=l,K=4；

第12頁(yè)，共29頁(yè)

滿足條件，弟四次;兩足循環(huán)，S=2,a=-1,K=5；

，兩足條件，第五次;兩足循環(huán)，S=-3,a=l,K=6

滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S=3,a=-1,K=7；

KW6不成立，退出循環(huán)輸出S的值為3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了程序框圖和算法，屬于基本知識(shí)的考查，比較基礎(chǔ).

22

9.(5分)若雙曲線C：三-4=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)

a2b2

2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為()

A.2B.V3C.V2D.

3

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)；KJ：圓與圓錐曲線的綜合.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】通過(guò)圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲

線的離心率即可.

22

【解答】解：雙曲線C：蕓-4=1(a>°，b>。)的一條漸近線不妨為：bx+ay=O,

a2b2

圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0),半徑為：2,

22

雙曲線C：三-4=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得

”bZ

的弦長(zhǎng)為2,

可得圓心到直線的距離為：E6科，

第13頁(yè)，共29頁(yè)

22

解得：生產(chǎn)-=3,可得e2=4,即e=2.

C

故選：A.

第13頁(yè)，共29頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

10.（5分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,則

異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為（）

A.瓜B,C.D返

2553

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角.

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；40：定義法；5G：空間角.

【分析】【解法一】設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiCi的中點(diǎn)，得出ABi、BCi

夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、

MQ,MP和NMNP的余弦值即可.

【解法二】通過(guò)補(bǔ)形的辦法，把原來(lái)的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡(jiǎn)潔.

【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiCi的中點(diǎn)，

則ABi、BCi夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角

（因異面直線所成角為（0,—1）,

2

可知MN=1ABI=^1,

22

NP=1BCI=2Z1；

22

作BC中點(diǎn)Q,則△PQM為直角三角形；

VPQ=1,MQ=1AC,

2

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosZABC

=4+1-2X2X1X（-1）

2

=7,

第14頁(yè)，共29頁(yè)

??AC=d?,

/.MQ=^1；

2_

在△MQP中，1\^=而研=隼；

第14頁(yè)，共29頁(yè)

在△PMN中，由余弦定理得

g/MNP皿2查J箕三-叵；

2'MN'NPV5V25

Z22

又異面直線所成角的范圍是（0,—1,

2

???AB】與BCi所成角的余弦值為國(guó).

5

【解法二】如圖所示，

補(bǔ)成四棱柱ABCD-AiBiCiDi,求NBCiD即可；

BC產(chǎn)心BD=722+12-2X2X1Xcos600=^'

CiD=V5,

2+BD2=2

BC1C1D-

AZDBCI=90",

/.cosZBCID=^^=2Z1^..

V55

故選：C.

第15頁(yè)，共29頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】

第15頁(yè)，共29頁(yè)

本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計(jì)算問(wèn)題，也考查了空間中的平行

關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題.

11.(5分)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex”的極值點(diǎn)，則f(x)的極

小值為()

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專(zhuān)題】"：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)，求出a,然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解

函數(shù)的極小值即可.

【解答】解：函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1,

可得「(x)=(2x+a)exl+(x2+ax-1)ex-1,

*=-2是函數(shù)￡(x)=(x2+ax-1)ex」的極值點(diǎn)，

可得：f，(-2)=(-4+a)e-3+(4-2a-1)e-3=0,即-4+a+(3-2a)=0.

解得a=-1.

可得f'(x)=(2x-1)exl+(x2-x-1)ex?

=(x2+x-2)exl,函數(shù)的極值點(diǎn)為：x=-2,x=l,

當(dāng)x<-2或x>l時(shí)，f，(x)>0函數(shù)是增函數(shù)，xe(-2,1)時(shí)，函數(shù)是減

函數(shù)，

x=l時(shí)，函數(shù)取得極小值：f(1)=(12-1-1)

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，

第16頁(yè)，共29頁(yè)

考查計(jì)算能力.

12.（5分）已知aABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則而?

（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.-2cD.-1

2-4

第16頁(yè)，共29頁(yè)

【考點(diǎn)】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的

公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則A(0,V3),B(-1.0),C(1,0),

設(shè)P(x,y),則而=(-x,V3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),

則而?(屈+同)=2x2-2?y+2y2=2卬+?-孚)2-亨

.?.當(dāng)x=0,y=亨時(shí)，取得最小值2義(-2)=-2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐

標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放

回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=1.96.

【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

第17頁(yè)，共29頁(yè)

【專(zhuān)題】"：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】判斷概率滿足的類(lèi)型，然后求解方差即可.

【解答】

第17頁(yè)，共29頁(yè)

解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中，P=0.02,

n=100,

則DX=npq=np(1-p)=100X0.02X0.98=1.96.

故答案為：1.96.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，判斷概率類(lèi)型滿足二

項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵.

14.(5分)函數(shù)f(x)=sin2x+V3cosx-(xE[0,—])的最大值是1

42

【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；33：函數(shù)思想；4J：換元法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；57：

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

【解答】解：f(x)=sin2x+V3cosx--=1-cos2x+V3cosx--,

44

令cosx=t且[0,1],

則y=-12+仃+亍-(t-喙)2+1,

當(dāng)t=Yi時(shí)，f(t)max=l,

2

即f(x)的最大值為1,

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

15.(5分)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則￡4=_"_.

k=l

第18頁(yè)，共29頁(yè)

【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；8E：數(shù)列的求和.

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】利用已知條件求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后化簡(jiǎn)所求的表達(dá)式，求

解即可.

第18頁(yè)，共29頁(yè)

【解答］解：等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,

可得a?=2,數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為1,

sRn+1)工=2_2且二~)

貝IJ￡--5-+1--^-+...+1M=2(1--A_)=_2n_.

自Sk2^2334nn+1n+1n+1

故答案為：_2n,.

n+1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和，裂項(xiàng)消項(xiàng)法求和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

16.(5分)已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交

V軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=6.

【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出M坐標(biāo)，然后求解即可.

【解答】解：拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0),M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線

交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，

可知M的橫坐標(biāo)為：1,則M的縱坐標(biāo)為：±2亞，

IFN|=2|FM|=2?卜2)2+(±2后0產(chǎn)6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

第19頁(yè)，共29頁(yè)

求作答.(-)必考題：共60分。

17.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8siM”.

2

(1)求cosB；

(2)若a+c=6,Z\ABC的面積為2,求b.

第19頁(yè)，共29頁(yè)

【考點(diǎn)】GS：二倍角的三角函數(shù)；HP：正弦定理.

【專(zhuān)題】11:計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形.

【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可知A+C=TI-B,再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin

(A+C),利用降鬲公式化簡(jiǎn)8sir)2c，結(jié)合sin2B+cos2B=l,求出cosB,

2

(2)由(1)可知sinB=A,利用勾面積公式求出ac,再利用余弦定理即可求

出b.

【解答】解：(1)sin(A+C)=84小旦

2

/.sinB=4(1-cosB),

'."sin2B+cos2B=l,

/.16(1-cosB)2+COS2B=1,

.*.16(1-cosB)2+COS2B-1=0,

A16(cosB-1)2+(cosB-1)(cosB+1)=0,

(17cosB-15)(cosB-1)=0,

cosB=-i-^-；

17

(2)由⑴可知sinB=-L,

17

SABC=—ac*sinB=2,

A2

???aCrlL_-1----7-,

2

/.b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2X-1Z.X

217

=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,

b=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和

第20頁(yè)，共29頁(yè)

同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題

18.（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲

時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分

布直方圖如圖：

第20頁(yè)，共29頁(yè)

［頻率/組距

頻率/組距0.06sk-..............—

0.046

0.044

0.040

8股

8：脫0.020

嬲L

8r

0p

0o

25303540455055606570」3540455055606570箱產(chǎn)量&

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件"舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低

于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg",估計(jì)A的概率；

(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖

方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量N50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精

確到0.01).

附：

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【考點(diǎn)】B8:頻率分布直方圖；BE：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征；

BL：獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(1)由題意可知：P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分布求得發(fā)生的頻

第21頁(yè)，共29頁(yè)

率，即可求得其概率；

(2)完成2X2列聯(lián)表：求得觀測(cè)值，與參考值比較，即可求得有99%的把握

認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

(3)根據(jù)頻率分布直方圖即可求得其中位數(shù).

第21頁(yè)，共29頁(yè)

【解答】解：(1)記B表示事件"舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg",C表示事件"新

養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,

由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),

則舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg：(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)X5=0.62,

故P(B)的估計(jì)值0.62,

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg：(0.068+0.046+0.010+0.008)X5=0.66,

故P(C)的估計(jì)值為，

則事件A的概率估計(jì)值為P(A)=P(B)P(C)=0.62X0.66=0.4092；

??.A發(fā)生的概率為0.4092；

(2)2X2列聯(lián)表：

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量250kg總計(jì)

舊養(yǎng)殖法6238100

新養(yǎng)殖法3466100

總計(jì)96104200

貝IJK2-00(62X66-38X34)2Q]5705

100X100X96X104一

由15.705>6.635,

.?.有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

(3)由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面

積：

(0.004+0.020+0.044)X5=0.34,

箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：

(0.004+0.020+0.044+0.068)X5=0.68>0.5,

第22頁(yè)，共29頁(yè)

故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為：50+0-5-0-3^52.35(kg),

0.068

新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值52.35(kg).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查計(jì)算能力,

屬于中檔題.

第22頁(yè)，共29頁(yè)

19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

2

（1）證明：直線CE〃平面PAB；

（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45。，求二面角M-AB

-D的余弦值.

【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法.

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距

離；5G：空間角.

【分析】（1）取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,通過(guò)證明CE〃BF,利用直線與平面

平行的判定定理證明即可.

（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解

二面角M-AB-D的余弦值即可.

【解答】⑴證明：取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),

所以EFZBAD=ZABC=90°,，BC〃LAD,

2

；.BCEF是平行四邊形，可得CE〃BF,BFu平面PAB,CEQ平面PAB,

二直線CE〃平面PAB；

（2）解：四棱錐P-ABCD中,

第23頁(yè)，共29頁(yè)

側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,

2

ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

取AD的中點(diǎn)0,M在底面ABCD上的射影N在0C上，設(shè)AD=2,則AB=BC=1,

0P=V3,

?,.ZPCO=60°,直線BM與底面ABCD所成角為45。，

可得:BN=MN,CN=^MN,BC=1,

第23頁(yè)，共29頁(yè)

可得:I+1BN2=BN2,BN=?MN=2/I,

322

作NQLAB于Q,連接MQ,AB±MN,

所以NMQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=Jj+

-=-V--1--0-1

2

二面角M-AB-D的余弦值為：義=叵.

V105

~2~

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法,

考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

_2

20.(12分)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：2_+y2=l上，過(guò)M作x軸的

2

垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足而=止而.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且而?的=1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線

I過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

【考點(diǎn)】J3：軌跡方程；KL：直線與橢圓的綜合.

第24頁(yè)，共29頁(yè)

【專(zhuān)題】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直線與圓.

第24頁(yè)，共29頁(yè)

【分析】⑴設(shè)M(xo,yo),由題意可得N(xo,0),設(shè)P(x,y),運(yùn)用向量

的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得P的軌跡方程；

(2)設(shè)Q(-3,m),P(V2cosa,asina),(0Wa〈2A),運(yùn)用向量的數(shù)量積

的坐標(biāo)表示，可得n即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得。Q,

PF的斜率，由兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0,即可得證.

【解答】解:(1)設(shè)M(xo,yo),由題意可得N(xo,0),

設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P滿足而=亞疝.

可得(x-xo,V)=近(0,yo),

可得x-xo=O,y=V2yo,

艮|］有xo=x,丫0=我，

222

代入橢圓方程三-+丫2=1,可得—+==1,

222

即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2；

(2)證明：設(shè)Q(-3,m),P(V2cosa,&sina),(0Wa<2n),

OP,PQ=1,可得(V2cosa,Vasina)?(-3-?cosa,m-Vasina)=1,

即為-3-Rcosa-2cos2a+亞msina-2sin2a=l,

當(dāng)a=0時(shí)，上式不成立，則0<a<2n,

解得m=3(l+V|cosa2i

V2sinCI

即有Q(-3,3”竺

V2sind

2

橢圓工_+y2=i的左焦點(diǎn)F(-1,0),

2_

由麗?演=(-1-V2cosa,-Vasina)?(-3,11型cos。))

V2sinCI.

=3+3J^cosa-3(1+J^cosa)=0.

可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

第25頁(yè)，共29頁(yè)

另解：設(shè)Q(-3,t),P(m,n),由而?同=1,

可得(m,n)?(-3-m,t-n)=-3m-m2+nt-n2=l,

又P在圓x?+y2=2上,可得m2+M=2,

即有nt=3+3m,

第25頁(yè)，共29頁(yè)

又橢圓的左焦點(diǎn)F(-1.0),

PF*0Q=(-1-m,-n)?(-3,t)=3+3m-nt

=3+3m-3-3m=0,

貝麗，貢

可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法和向量的加減運(yùn)算，

考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用和直線的斜率公式，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

和兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)20.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)xo,且e3f(xo)<22.

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)通過(guò)分析可知f(x)20等價(jià)于h(x)=ax-a-lnxeO,進(jìn)而利用

卜(x)=a-2可得h(x)min=h(