數(shù)學(xué)-專項(xiàng)16 正方形中“十字架”模型（帶答案）

專題16正方形中“十字架”模型解題思路解題思路【十字架-模型歸納】分別連接正方形的兩組對(duì)邊上任意兩點(diǎn)，得到的兩條線段（如：圖1中的線段AF與BE，圖2中的線段EF與MN，圖3中的線段BE與AF）滿足：若垂直，則相等。典例分析典例分析【典例1】（2022秋?三元區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，BE＝CF，連接AF，DE交于點(diǎn)G，求證：（1）△ADF≌△DCE；（2）AF⊥DE．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BE＝CF，∴BC﹣BE＝CD﹣CF，即CE＝DF，

在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS）；（2）由（1）知△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE，∵∠ADC＝90°，即∠CDE+∠EDA＝90°，∴∠DAF+∠EDA＝90°，∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°，∴AF⊥DE．【變式1-1】（2022秋?鹽津縣期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于點(diǎn)G．（1）觀察圖形，寫出圖中所有與∠AED相等的角；（2）線段AF與DE有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)判斷并說明理由．【解答】解：（1）由圖示得出與∠AED相等的角有∠AFB，∠DAF或∠EDC．（2）AF⊥DE．理由如下：由正方形ABCD的性質(zhì)可得，AB＝AD，∠DAB＝∠B＝90°，在Rt△AED和Rt△BFA中，，∴Rt△AED≌Rt△BFA（HL），∴∠AED＝∠AFB．∵∠AFB+∠FAB＝90°，∴∠AED+∠FAB＝90°，∴∠AGE＝90°，

即AF⊥DE【變式1-2】（2022春?廣陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，且不與A，D重合，點(diǎn)H在AB上，且不與A，B重合，連接BP、CH，BP與CH交于點(diǎn)E．（1）若BP＝CH，求證：BP⊥CH；（2）在（1）的條件下，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，AP＝5，求線段BE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，在Rt△PAB和Rt△HBC中，，∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），∴∠APB＝∠BHC，∵∠APB+∠PBA＝90°，∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，∴BP⊥CH；（2）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，∴AB＝BC＝12，∵AP＝5，由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝，∵△HBC的面積＝CH?BE＝HB?BC，∴，

解得：BE＝，即線段BE的長(zhǎng)為．【變式1-3】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在正方形ABCD中，P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），E是AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作MN⊥AP，分別交AB、CD于點(diǎn)M，N．（1）判定線段MN與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）連接BD交MN于點(diǎn)F．①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段ME，EF，F(xiàn)N之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【解答】解：（1）MN＝AP．證明：過點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，則四邊形AMGD是矩形，∴MG＝AD，∠MGN＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD，∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN，又∵M(jìn)N⊥AP，

∴∠AEM＝90°，∴∠AME+∠BAP＝90°，又∵∠NMG+∠AME＝90°，∴∠NMG＝∠BAP，∴△ABP≌△MGN（ASA），∴AP＝MN；（2）①補(bǔ)全圖形如圖2，②如圖3，過點(diǎn)P作PH∥AB交MN于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)K，過點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，∵AM∥PH，∴∠MAE＝∠EPH，∵E為AP的中點(diǎn)，∴AE＝EP，又∵∠AEM＝∠PEH，∴△AME≌△PHE（ASA），∴ME＝EH，AM＝PH，∵四邊形AMGD是矩形，

∴AM＝DG，∴DG＝PH，∵∠CBD＝45°，∠BPK＝90°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴BP＝PK，由（1）知△ABP≌△MGN，∴BP＝NG，∴PK＝NG，∴HK＝DN，又∵NK∥DN，∴∠HKF＝∠NDF，∴△HKF≌△NDF（AAS），∴HF＝NF，∴EF＝EH+HF＝EM+FN．故答案為：EF＝EM+FN．夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，則AF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝AB＝4，∠BCD＝∠B＝90°，∵DE⊥CF，∴∠CDE+∠DCF＝90°＝∠DCF+∠BCF，

∴∠CDE＝∠BCF＝30°，∴BC＝BF＝4，∴BF＝4，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣4，故選：D．2．（2022秋?阜平縣月考）如圖所示，E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABF＝90°，∵AE＝AB，BF＝BC，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADM＝∠BAN，∵∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠ADM+DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，同理：∠ANB＝90°，

∴∠AMD＝∠ANB，∴△DAM≌△ABN（AAS），∴AM＝BN，同理可以證明△BCP，△CDQ，△DAM，△ABN是全等的直角三角形，它們的面積相等，∵BE＝AB，DG＝DC，AB∥DC，∴四邊形EBGD是平行四邊形，∴ED∥BG，∴AM：AN＝AE：AB＝1：4，令正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，AM＝b，則BN＝b，AN＝4b，∴正方形ABCD的面積是a2，△ABN的面積是b?4b＝2b2，∵AB2＝BN2+AN2，∴a2＝b2+16b2＝17b2，∵陰影的面積＝a2﹣4×2b2＝17b2﹣8b2＝9b2，∴陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比是＝．故選：A．4．（2022秋?汝州市期末）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接AG，下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，

∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正確；∴∠EGD＝90°，延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于H，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜邊的中線，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，

∴∠AGE＝∠CDF．故③正確；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等邊三角形，∴∠EAG≠30°，故④錯(cuò)誤；故選：D．5．（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，連接CE、DF．求證：CE＝DF．【解答】證明：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF．6．（2022?碑林區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE上點(diǎn)．過點(diǎn)F作GH⊥CE，分別交AB、CD于點(diǎn)G、H，若BG＝1，CH＝5，求AG的長(zhǎng)．

【解答】解：過G作GM⊥CD于M，如圖：∵正方形ABCD，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝CD＝AD，∵GM⊥CD，∴四邊形GBCM是矩形，∴GM＝BC＝CD，CM＝BG＝1，∠GMH＝90°＝∠D，∵GH⊥CF，∴∠DCE＝90°﹣∠FHM＝∠MGH，在△GMH和△CDE中，，∴△GMH≌△CDE（ASA），∴HM＝DE，∵CH＝5，∴HM＝CH﹣CM＝4＝DE，∵E是AD邊的中點(diǎn)，∴AB＝AD＝2DE＝8，∴AG＝AB﹣BG＝8﹣1＝7，∴AG的長(zhǎng)為7．7.（2021?濱江區(qū)校級(jí)三模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為邊AB、BC

的中點(diǎn)，連接AF、DE交于點(diǎn)G，連結(jié)BG．（1）試判斷AF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．（2）求證：BG平分∠EGF．【答案】（1）AF＝DE，AF⊥DE（2）略【解答】（1）解：AF＝DE，AF⊥DE，理由如下：∵ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，∵E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，∴AE＝BF．∴△DAE≌△ABF（SAS）．∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF．∵∠DAG+∠EAG＝90°，∴∠DAG+∠ADG＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AF⊥DE；（2）證明：如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AF，垂足為M，則BM∥GE，∵AE＝BE，∴AG＝GM．設(shè)BF＝a，則AB＝2a，AF＝a，BM＝a，AM＝a，∴GM＝BM＝a．∴△BMG為等腰直角三角形．∴∠BGM＝45°，∠BGE＝90°﹣45°＝45°．∴∠BGM＝∠BGE．

∴BG平分∠EGF．能力提升能力提升8．（2022春?閻良區(qū)期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正確；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，

在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；假設(shè)AO＝OE，∵AE⊥BF（已證），∴AB＝BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長(zhǎng)AB＝BC相矛盾，所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯(cuò)誤；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四邊形DEOF，故④正確；綜上所述，錯(cuò)誤的有③．故選：B．9．（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，BF⊥AE于點(diǎn)G，交CD邊于點(diǎn)F，連接DG，則DG長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．【答案】B【解答】解：如圖，作DL⊥AE于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)L，∵BF⊥AE，∴DL∥BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，

∴BL∥DF，∴四邊形BFDL是平行四邊形，∵∠AGB＝90°，∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵E為BC中點(diǎn)，∴BE＝CF＝BC＝CD，∴DF＝CF＝CD，∴BL＝DF＝CD＝AB，∴AL＝BL＝AB，∴＝＝1，∴AH＝GH，∵DA＝AB＝4，∴DG＝DA＝4，故選：B．10．（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別在射線AB、BC上，F(xiàn)在邊AD上，ED與FG交于點(diǎn)M，AF＝1，F(xiàn)G＝DE，BG＞AF，則MC的最小值為．

【答案】﹣2【解答】解：取FD的中點(diǎn)H，作FK垂直BC于點(diǎn)K，∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，∴△AED≌△KFG（HL），∴∠ADE＝∠KFG，又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，∴∠DFM+∠ADE＝90°，∴∠FMD＝90°，∴MH＝＝2，所以M在以H為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，∵M(jìn)C≥CH﹣MH當(dāng)M落在CH上時(shí)，取到等號(hào)即MC達(dá)到最小，最小值為CH﹣M′H＝﹣2．11．（2022?迎澤區(qū)校級(jí)模擬）綜合與實(shí)踐：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合），連接CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)F．

（1）如圖1，求證：△ABF≌△BCE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，連接DG，求證：DC＝DG；（3）如圖3，若AB＝4，連接AG，當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)的過程中．AG是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫出AG最小值，及此時(shí)AE的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，∴∠CEB+∠