岳中文-結(jié)構(gòu)動力學(xué)基礎(chǔ)知識資料4章

多自由度體系§4-1兩個自由度體系的自由振動多層房屋振動

不等高排架振動

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多自由度體系簡化多自由度體系建立運動方程剛度法（平衡方程）柔度法（位移協(xié)調(diào)）1.剛度法無阻尼自由振動微分方程取質(zhì)量和作隔離體隔離體1.慣性力和2.彈性力和根據(jù)達朗伯原理，列平衡方程

圖10-30c中，結(jié)構(gòu)所受的力、與結(jié)構(gòu)的位移、之間滿足剛度方程。(a)(b)

式（b）式（a）,得：

是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)（圖10-30d）代入(4-1)(4-1)兩個自由度無阻尼體系的自由振動微分方程求解：假設(shè)兩個質(zhì)點為簡諧振動，則式(4-1)的解可設(shè)：(c)式(c)所示運動的特點:1)在運動過程中，兩質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相位角，和是位移幅值；2）兩質(zhì)點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但二者比值始終保持不變。即

這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型。

式（c）代入式（4-1），得：(4-2)

和不全為零的解答，則：(4-3a)式(4-3a)稱為頻率方程或特征方程，可求頻率。將式（4-3a）展開：（4-3b)（4-4)可見：具有兩個自由度的體系有兩個自振頻率。

其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率。：第二圓頻率。由自振圓頻率和，確定它們各自相應(yīng)的頻率。代入（4-2）

這個比值確定的振動形式：第一圓頻率相對應(yīng)的振型，稱為第一振型或基本振型。第一振型中質(zhì)點1的振幅第一振型中質(zhì)點2的振幅同樣，由（4-5a）第二振型中質(zhì)點1的振幅得：（4-5b）第二振型中質(zhì)點2的振幅求出的兩個振型分別如圖10-31b、c

在一般情況下，兩個自由振動體系的自由振動可看作是兩個頻率及其主振型的組合振動，即，方程（4-1）的全解從以上的討論中，歸納：（1）在兩個（多個）自由度體系自由振動問題中，主要問題是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。（2）兩個（多個）自由度體系的自振頻率不止一個，其個數(shù)與自由度的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。（3）每個自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型就是多自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。

（4）與單自由度系統(tǒng)相同，多自由度的自振頻率和主振型也是本身的

固有性質(zhì)。

例4-1圖10-32a所示兩層剛架、其橫梁為無限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，第一、第二層的質(zhì)量分別為m1、m2。層間側(cè)移剛度分別為k1、k2,即層間產(chǎn)生單位相對側(cè)移時候所施加的力，如圖10-32b所示。試求剛架水平振動時的自振頻率和主振型。解：由圖10-32c和d可求出結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)：將剛度系數(shù)代入到式（4-3b）,得：（a）分兩種情況討論：（1）當(dāng)時，由此求得：此時式（a）變?yōu)榍笾髡裥蜁r，可由式（4-5a）和（4-5b）求出振幅比值，從而畫出振型圖。第一主振型第二主振型如圖10所示-33（2）當(dāng)時，代入式（4-5a）和（4-5b），可求出主振型：由此求得：此時式（a）變?yōu)槿绠?dāng)n=90時，由此可知，當(dāng)頂部質(zhì)量和剛度突然變小時，頂部位移比下部位移大很多。建筑結(jié)構(gòu)中，這種因頂部質(zhì)量和剛度突然變小，在振動中引起巨大反響的現(xiàn)象，稱為鞭稍效應(yīng)。2.柔度法思路：在自振運動中的任一時刻，質(zhì)量、的位移、應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時慣性力、作用下所產(chǎn)生的靜力位移。據(jù)此可列方程如下：（4-6）柔度系數(shù)下面求微分方程（4-6）的解。仍設(shè)解為如下形式：這里，假設(shè)多自由度體系按某一主振型象單自由度體系那樣作自由振動，和是兩質(zhì)點的振幅（圖10-24c）.有式（a）可知兩質(zhì)點的慣性力為：（a）（b）質(zhì)點慣性力的振幅代入式（4-6）（4-7）（4-7）主振型的位移幅值主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。（c）（c）(4-8)式(c)主振型(4-9)(4-9)例4-2試求圖10-35a所示等截面簡支梁的自振頻率和主振型。設(shè)梁在三分點1和2處有兩個相等的集中質(zhì)量m解：先求柔度系數(shù)。為此，作圖如圖10-35b、c所示。由圖乘法求得：然后代入式(4-8)，得：從而求得兩個自振圓頻率：最后求主振型。由式（4-9a、b）,得第一主振型對稱第二主振型反對稱3.主振型的正交性現(xiàn)以圖10-37所示體系的兩個主振型為例來說明。圖10-37a為第一主振型，頻率為，振幅為，其值正好等于相應(yīng)慣性力所產(chǎn)生的靜位移。圖10-37b為第二主振型，頻率為，振幅為，其值正好等于相應(yīng)慣性力所產(chǎn)生的靜位移。上述兩種靜力平衡用功的互等定理，可得：兩主振型關(guān)于質(zhì)量的正交關(guān)系§4-2兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動1.剛度法圖10-38所示兩個自由度體系為例，在在動荷載下的振動方程：(4-10)(4-1)如果荷載是簡諧荷載，即：(a)

則在平穩(wěn)振動階段，各質(zhì)點也作簡諧震動：(b)將式(a)和(b)代入（4-10），消去公因子后，得：(4-11)(4-12)將式(4-11)的位移幅值代回到式(b)，即得任意時刻t的位移。位移幅值例4-3設(shè)例10-4中的圖10-32a所示剛架在底層橫梁上作用簡諧荷載（圖10-39）.試畫出第一、二層橫梁的振幅與荷載頻率θ之間的關(guān)系曲線。設(shè)解：剛度系數(shù)為荷載幅值為：(c)代入式（4-12）和式（4-11），得其中，(d)將式（d）和例4-1中的特征方程相比，可知：其中兩個頻率和已由例4-1求出：因此式（c)可寫成：(e)圖10-40所示為振幅參數(shù)與荷載頻率參數(shù)之間的關(guān)系曲線。Y1趨于無窮大Y2趨于無窮大2.柔度法

圖10-42a所示兩個自由度體系，受簡諧荷載作用，在任一時刻t，質(zhì)點1、2的位移y1和y2，可以由體系慣性力和動力荷載共同作用下的位移，通過疊加寫出（10-42b）(4-13)設(shè)平穩(wěn)振動階段的解為：(a)將式（a）代入式（4-13),消去公因子后，得：(4-14)由此可解得位移的幅值為：(4-15)式中：(4-16)在求得位移幅值Y1、Y2后，可得到各質(zhì)點的位移和慣性力。位移：慣性力：

因為位移、慣性力和動力荷載同時到幅值，動內(nèi)力也在振幅位置達到幅值。動內(nèi)力幅值可以在各質(zhì)點的慣性力幅值和動力荷載幅值共同作用下按靜力分析方法求得。如任一截面的彎矩幅值，可由下式求出：例4-4

試求圖10-42a所示體系的動位移和動彎矩的幅值圖。已知：m1=m2=m,EI=常數(shù)，θ=0.6ω1解：（1）例4-2中已經(jīng)求出柔度系數(shù)和基本頻率。

所以（2）作MP圖，與例4-2中的