運(yùn)動學(xué)基礎(chǔ)（上）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁寫在比賽課堂之前亞里士多德開啟了理性分析世界的物理學(xué)的第一篇章，固然，他的篇章中多數(shù)內(nèi)容都是錯誤的。例如，他認(rèn)為天然界應(yīng)該有四種基本“元素”：風(fēng)，火，土，水組成，例如他認(rèn)為重的東西下落的快，例如，他認(rèn)為地球是靜止不動的等等。后來，歷史逐漸糾正了這些錯誤。但是不得不否認(rèn)，亞里士多德的分析問題的一些基本思想：分析問題的基本構(gòu)成，分析事物間的聯(lián)系，抽象物理量等等都為后人的工作打下了良好的基礎(chǔ)。伽利略是個熱愛實驗的好童鞋，他用假想的邏輯性很強(qiáng)的實驗，驗證了并不是重的東西就下落的快；他親手設(shè)計實驗，設(shè)計建造計時器，研究了困擾世人幾個世紀(jì)的落體問題，給出了勻加速運(yùn)動的公式。這些工作都透露著物理的理性之光：嚴(yán)密的邏輯推理和盡量確切的實驗驗證。驟然有一天，伽利略童鞋掛了，同一天，牛頓牛童鞋出生了。然而，他寫的書《天然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的發(fā)表，遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比他的出生更為重要。因為，他第一次以用占領(lǐng)當(dāng)初數(shù)學(xué)制高點的微積分，解釋了當(dāng)初的物理學(xué)前沿：天體運(yùn)動。在他的嚴(yán)密的邏輯推理+數(shù)學(xué)推演下，人眼所能見到的一切，似乎都有了可計算的答案。就連牛頓自己所相信的“上帝”似乎都不再具備存在的價值。就在一切都按照牛頓給出的“三大定律”和“萬有引力定律”所構(gòu)建的完美機(jī)械世界中運(yùn)行的時候，一個在歐洲的專利局小職員，對這個世界的一個基本性質(zhì)提出了質(zhì)疑：愛因斯坦發(fā)表文章，質(zhì)疑時光的絕對性，并且以另一種他認(rèn)為是絕對的東西作為基本原理，開辟了另一片物理世界的天空。在愛因斯坦的理論框架中，牛頓的理論僅僅是速度很小的一種粗略的近似。后來，前仆后繼的各種人又相繼的給出了更多對于我們能見到的，看不到的，感觸得到的，感觸不到的萬事萬物的運(yùn)行機(jī)制的解釋。他們運(yùn)用著理性之光，通過分析總結(jié)，假設(shè)，實驗，修正，再實驗驗證的方式不斷的重塑著人類對于一切的認(rèn)識。這群人，就是物理學(xué)家。Physicsiswhatphysicistsdo.物理解決的是“一切”問題，物理學(xué)家想要的是“一切”的答案。例如：我們從哪里來？我們是由什么構(gòu)成的？時光是什么？我們能“穿越”么？……物理學(xué)家不滿意于數(shù)學(xué)家給出的“這個東西是可算的，我們證實了”的答案。物理學(xué)家也不會糾結(jié)于工程師們糾結(jié)的“如何能確切的延續(xù)打出99999個直徑為1.00mm的孔”。物理學(xué)家希翼能夠給人類的智慧貢獻(xiàn)更多：經(jīng)濟(jì)，心理，金融，工程，醫(yī)學(xué)，甚至看似對立的宗教……踏入高中物理比賽課堂之前，童鞋們所經(jīng)歷的“物理”神馬的，都只是真正的理性訓(xùn)練之前的“浮云”。在這里，你將面向的是真正的高端的啟迪智慧的物理學(xué)。在這里，你將收獲的將不僅僅是知識，題目，答案，分?jǐn)?shù)。你們將接過之前所有物理學(xué)家們奮斗傳來的理性的火炬，并用它照亮人類的未來。--孫鵬 物理研究的第一個最基本的問題就是運(yùn)動，我們本講的主要目的就是學(xué)會用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言描述運(yùn)動，并且根據(jù)運(yùn)動本身的特有性質(zhì)：例如矢量特性，相對性等處理一些實際問題。并且引入一個物理比賽的基本主意：微元法（微積分的爸爸）。板塊一運(yùn)動的描述<教師備案>這部分涉及一些高考難度的運(yùn)動學(xué)基礎(chǔ)知識，和描述運(yùn)動的量的矢量性：物體的位置隨時光的變化，成為機(jī)械運(yùn)動．研究機(jī)械運(yùn)動內(nèi)在邏輯的科學(xué)，叫做動力學(xué)．運(yùn)動學(xué)時研究物體運(yùn)動狀態(tài)及其變化的描述，而不管這種變化的緣故．為了能夠更好的研究物體的運(yùn)動狀態(tài)，我們需要定義位置，速度，加速度等等的物理量．運(yùn)動隨時光的變化可以通過運(yùn)動學(xué)方程來研究．概念與主意任何物體都有一定的大小和形狀，為使問題簡化，我們可以采用抽象的主意：若物體的大小和形狀在所研究的現(xiàn)象中不起作用或所起作用可以忽略不計，我們就可以把物體看作一個沒有大小和形狀、具有同等質(zhì)量的點，稱為質(zhì)點。質(zhì)點突出了“物體具有質(zhì)量”和“物體占有位置”這兩個根本性質(zhì)。質(zhì)點是一個理想模型。在物理學(xué)中常常用理想模型來代替實際的研究對象，這樣抽象的目的是簡化問題和便于作較為確切的描述。質(zhì)點只是一例，以后還要用到光潔斜面、理想氣體、點電荷等理想模型，要注重理解和學(xué)會這種科學(xué)的研究主意。在下列情況下，一個實際物體都可視為質(zhì)點：在所研究的問題中，大小、形狀和內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以不計的物體；②、物體平動時，任一點的運(yùn)動狀態(tài)都相同。所以，在研究的問題中，大小可以不計的平動物體；③、若一個物體既有平動又有轉(zhuǎn)動，而在所研究的問題中，轉(zhuǎn)動可以不計，該物體也可視為質(zhì)點。若研究地球繞太陽公轉(zhuǎn)時，地球可視為質(zhì)點；而研究地球上重力加速度隨緯度的變化時，地球則不可視為質(zhì)點。又如研究一根彈簧的形變，彈簧即使很短也不可視為質(zhì)點；物質(zhì)的分子和原子都很小，但在研究其內(nèi)部的振動和轉(zhuǎn)動時，視為質(zhì)點就沒存心義了。有了質(zhì)點我們還不能直接定義機(jī)械運(yùn)動，為了準(zhǔn)確的決定物體位置及其變化，必須事先選取另外一個假定為不動的物體作為參照才存心義．這個選來作為參照的物體叫做參照物．為了定量的描述物體的運(yùn)動，還需要在參照系上建立坐標(biāo)系，來描繪空間中的位置，（偶爾再加上時光）．作為研究物體運(yùn)動時所參照的物體（批次不做相對運(yùn)動的物體群），稱為參考系．坐標(biāo)系實質(zhì)上是由實物構(gòu)成的參考系的一個數(shù)學(xué)的抽象．最常用的坐標(biāo)系就是直角坐標(biāo)系；偶爾候也是用極坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示就可以得到圖像．位移和路程運(yùn)動物體的位置發(fā)生變化，用位移來描述，位移這個物理量常用或偶爾也用。位移可這樣定義：位移=末位置—初位置?？杀硎緸椋海ㄊ街蠸是位移，為初時刻和末時刻的位置矢量）。位移S這個物理量既有大小又有方向,且合成與分解符合平行四邊形定則，具有這種性質(zhì)的物理量在物理學(xué)上叫做矢量。運(yùn)動質(zhì)點在一段時光內(nèi)位移的大小就是從初位置到到末位置間的距離，其方向規(guī)定為：總是從初位置到指向末位置。注重：若質(zhì)點沿直線從A點運(yùn)動到B點，則位移S就是末位置B點的坐標(biāo)減去初位置A點的坐標(biāo)如右圖所示。②、若質(zhì)點在平面內(nèi)或空間內(nèi)，從A點運(yùn)動到B點，則這段時光內(nèi)的位移S可用或坐標(biāo)系中初位置和末位置坐標(biāo)、表示，如左下圖所示。運(yùn)動質(zhì)點在一段時光內(nèi)所經(jīng)過的軌跡的長度叫做路程。在上述沿直線運(yùn)動（不往復(fù)）的情況下，位移的大小等于路程。可通過右上圖體味一下位移與路程的區(qū)別與聯(lián)系。時刻和時光時刻指某一瞬時，是與某一狀態(tài)相對應(yīng)的物理量。如第n秒初、第n秒末，并不是同一時刻；而第（n—1）秒末與第n秒初，第n秒末與第（n+1）秒初則是同一時刻。時光指兩時刻的間隔，是與是與某一過程相對應(yīng)的物理量。注重第n秒內(nèi)與前n秒內(nèi)不是同一段時光。速度平均速度在變速直線運(yùn)動中，各時刻物體運(yùn)動的快慢不同，可用平均速度粗略描述一段時光內(nèi)運(yùn)動的快慢和方向。在一段時光內(nèi)內(nèi)，質(zhì)點的位移為S，則位移S（或）與時光（或）的比值，叫做平均速度：或；平均速度的方向與位移的方向相同。因為作變速直線運(yùn)動的物體，在各段路程上或各段時光內(nèi)的平均速度普通來說是不相同的。故一提到平均速度必須明確是哪段位移上或哪一段時光內(nèi)的平均速度。瞬時速度（又稱即時速度）要確切地如實地描述質(zhì)點在任一時刻地鄰近時光內(nèi)變速直線運(yùn)動的快慢，應(yīng)該把取得很短，越短，越臨近客觀的真切情況，但又不能等于零，因為沒偶爾光間隔就沒有位移，就談不上運(yùn)動的快慢了，實際上可以把趨近于零，在這極短時光中，運(yùn)動的變化很極小，實際上可以把質(zhì)點看作勻速直線運(yùn)動，在這種情況下，平均速度可以充足地描述該時刻附近質(zhì)點地運(yùn)動情況。我們把趨近于零，平均速度所趨近的極限值，叫做運(yùn)動質(zhì)點在時刻的瞬時速度。用數(shù)學(xué)式可表示為：，它詳細(xì)表示時刻附近無限小的一段時光內(nèi)的平均速度，其值只隨而變，是確切地描述運(yùn)動快慢程度的物理量。以后提到的速度總是指瞬時速度而言。平均速度、瞬時速度都是矢量。描述質(zhì)點的運(yùn)動，偶爾也采用一個叫“速率”的物理量；速率是標(biāo)量，等于運(yùn)動質(zhì)點所經(jīng)過的路程與經(jīng)過該路程所用時光的比值，若質(zhì)點在時光內(nèi)沿曲線運(yùn)動，通過的路程S（即曲線的長度），則S與的比值叫在時光內(nèi)質(zhì)點的平均速率，可表示為。例如在某一時光內(nèi)，質(zhì)點沿閉合曲線環(huán)形一周，顯然質(zhì)點的位移等于零，平均速度也為零，而質(zhì)點的平均速率是不等于零的。所以平均速度的大小與平均速率不能等同看待。當(dāng)質(zhì)點沿直線單一方向運(yùn)動時平均速度的大小等于平均速率。而瞬時速率就是瞬時速度的大小，而不考慮方向。加速度在變速直線運(yùn)動中，速度改變的快慢普通是不同的，為了研究速度隨時光而改變的特征，有須要引入加速度這個概念：速度的變化量和所用時光的比值叫做加速度。仿前面定義速度的主意，若運(yùn)動物體在時刻的速度為（初速度）,在時刻的速度為（末速度）,那么在這段時光里，速度的變化量（也叫速度的增量）是，與的比值稱為這段時光內(nèi)的平均加速度，可表示為：，平均加速度只能粗略描述速度改變的快慢程度。跟平均速度引導(dǎo)到瞬時速度的過程相似，選取很短的一段時光，當(dāng)趨近于零時，平均加速度的極限值，叫做運(yùn)動質(zhì)點在時刻的瞬時加速度。用數(shù)學(xué)式可表示為：。若質(zhì)點做勻速直線運(yùn)動，它的加速度大小和方向恒定不變，則平均加速度就是瞬時加速度,通常=0，時光可用末時刻表示,則加速度定義式為：，（注重這不是加速度的決定因素，按照牛頓第二定律可知，一個質(zhì)點的加速度是由它受到的合外力和它的質(zhì)量共同決定，牛頓第二定律的表達(dá)式所表示的是加速度的決定式即：）對勻變速運(yùn)動，加速度的方向總是跟速度變化量的方向一致。加速度的大小和方向跟速度的大小和方向沒有必然聯(lián)系。速度與加速度的關(guān)系，不少學(xué)生有錯誤認(rèn)識，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)予以糾正。①、加速度不是速度，也不是速度變化量，而是速度對時光的變化率，所以速度大，速度變化大，加速度都不一定大。②、加速度也不是速度大小的增強(qiáng)。一個質(zhì)點即使有加速度，其速度大小隨時光可能增大，也可能減小，還可能不變。（兩矢量同向，反向、垂直）二．矢量和標(biāo)量

惟獨大小沒有方向的量叫做標(biāo)量．

通常手寫矢量用（帶箭頭的字母來表示）．矢量的大小用“絕對值”來表示：．矢量的運(yùn)算：1．加減法：平行四邊形法則坐標(biāo)系中：把對應(yīng)的坐標(biāo)相加減2．矢量的數(shù)乘：坐標(biāo)系中：按照矢量運(yùn)算主意：分離可以把位移，速度，加速度向著各個方向投影，用其分量描述。例如我們的速度就可以定義為：其中代表三個方向上的單位矢量，是無單位的量。引入單位矢量是因為總的速度不等于各個方向速度大小直接相加，而必須用勾股定理計算合成的速度。加速度的坐標(biāo)定義法也一樣，這里展開了。物理的圖像物理量之間的關(guān)系可以用函數(shù)來表達(dá)，這些函數(shù)關(guān)系也可以通過他們的圖像來理解．比如圖，圖，等等．研究這些圖像時候要注重橫縱坐標(biāo)的意義，不同圖線的物理意義，圖線中包圍的面積的意義等等．矢量的分析也可以通過作圖來理解，注重矢量的方向，大?。纠?】一質(zhì)點做直線運(yùn)動，前一半位移的運(yùn)動速度恒為，整段運(yùn)動的平均速度為，設(shè)其后一半位移的速度大小不變，求該速度大?。纠?】一個運(yùn)動員參加400米跑決賽，他的成績是．問，他在囫圇過程中的平均速度是多少？平均速率是多少？他在跑到50米的時候的瞬時速度大概是多少？【例3】如圖是一質(zhì)點的速度——時光圖象，質(zhì)點在前內(nèi)的位移和路程各是多少？在前內(nèi)的位移和路程各是多少？【例4】一個質(zhì)點運(yùn)動的圖象如圖所示，則相對應(yīng)的圖象是（）【例5】兩輛徹低相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度為v0，若前車驟然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。已知前車在剎車過程中所行的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相碰，則兩車在做勻速行駛時保持的距離至少為：A．sB．2sC．3sD．4s【例6】A、B兩汽車站相距60千米，從A站每間隔10分鐘有一輛汽車勻速開向B站，車速大小為60千米每小時。若在A站正有汽車開出時，在B站有一輛汽車以同樣大小的速度開向A站，問：為了在途中碰到從A站開出的車最多，B站的車至少應(yīng)在A站第一輛車開出后多久出發(fā)？在途中，從B站開出的車最多能碰到幾輛從A站開出的車？【例7】一只鍋牛從地面開始沿豎起電桿上爬，它上坡爬的速度v與它離地面的高度h之間滿意的關(guān)系是，其中常數(shù)，.求它上爬所用的時光(提醒：把這個函數(shù)畫成一個圖像，并保證圖像里的面積是時光)板塊二微元法分析物理問題<教師備案>推薦微元法的基本思想微元法： 為了分析清晰物理量之間的關(guān)系，尤其是定量的關(guān)系，往往采用微元法．也就是分析，經(jīng)歷了一段極小的時光，改變了一個小長度，或者一個小角度之后，有什么變化．利用幾何的知識，就可以解決問題了． 微元法的益處是把曲線變成直線，非線性變成線性，非理想模型變成理想模型，把線性的變量變成常量．這個也是微積分的一個基本思想．知識補(bǔ)充：1.累加求和： 我們用符號來表示累加求和，用法如下：其中可以理解成是一個變量，只能整數(shù)的從變到常用的一些結(jié)論如下： 平方和有個巧妙的帶有故事的證實：老村長想要嫁女兒，但是希翼女婿聰明，于是立石碑，三角形，上面寫著“倘若能把石碑上的數(shù)字之和求出，就可以娶本村最優(yōu)美的，也就是村長的女兒為妻”一個牧童15~16歲的小帥哥只會放羊，也想娶老婆，放羊的時候就看著石碑，想算，但是看了幾天都不懂。沒吃東西，算不出來，很惱怒就踢石碑，石碑轉(zhuǎn)了一下，他似乎發(fā)現(xiàn)了什么，又踢，石碑又轉(zhuǎn)。他餓的嚴(yán)重，看到三次石碑的影子重合……于是他把三次看到的在同一個位置上的數(shù)字加起來，發(fā)現(xiàn)都是，一共有個位置，所以他就算出了最后的答案。2.無窮大和無窮小物理中常常會碰到這兩個概念。字面上大家可以理解這兩個概念，但是大家有沒有想過這些問題：（1）無窮大與無窮大可以比較大小么？（2）無窮小和無窮小可以比較大小么？（3）都“無窮小”了，我們是否可以“忽略”呢？無窮大和無窮小的階數(shù)：當(dāng)兩個無窮大的數(shù)的比值也是無窮大的話，顯然分子上那個無窮大就更“大”一些。當(dāng)兩個無窮小乘積之后，得到的數(shù)字也顯然越發(fā)“小”一些。因此我們可以規(guī)定是一個普通的數(shù)字，當(dāng)時，就是無窮小，可以理解為2階無窮小，就是3階無窮小……當(dāng)，則就是無窮大，可以理解為2階無窮大，就是3階無窮大……在高中物理中，通常2階無窮小，就可以相對于普通常數(shù)忽略。偶爾，我們對結(jié)果要求不高，1階就可以忽略。最粗略的講，就好比甲有100萬元，乙有1塊錢，那么可以認(rèn)為乙“沒有錢”。思量：相對于2階無窮大，一個普通常數(shù)，可以忽略么？【例8】兩根筷子、如圖放置，它們與水平線夾角分離為，，它們交點為．問：⑴當(dāng)不動，勻帶以水平向右移動時，交點的速度大小如何，方向如何？⑵當(dāng)不動，勻速以水平向左移動時，交點的速度大小如何方向如何？⑶當(dāng)向左，向右的交點速度大小如何方向如何？（思量：倘若不是，而是，，結(jié)果半會怎樣？）【例9】一路燈距地面的高度為，身高為的人以速度勻速行走，如圖所示.⑴試證實人的頭頂?shù)挠白幼鰟蛩龠\(yùn)動.⑵求人影的長度隨時光的變化率. ⑶倘若人是在太陽下面行走，他的頭頂?shù)挠白尤绾芜\(yùn)動. 【例10】一只鍋牛從地面開始沿豎起電桿上爬，它上坡爬的速度v與它離地面的高度h之間滿意的關(guān)系是，其中常數(shù)，.求它上爬所用的時光.【例11】一個半徑為的環(huán)（環(huán)心為）立在水平面上，另一個同樣大小的環(huán)（環(huán)心為）以速度先前一環(huán)的旁邊經(jīng)過．試求當(dāng)兩環(huán)環(huán)心相距為時，兩環(huán)上部的交點的運(yùn)動速度．兩環(huán)均很薄，可以認(rèn)為兩環(huán)是在同一平面內(nèi)，第二個環(huán)是緊貼著第一個環(huán)擦過去的．1．如圖所示，岸高為，人用繩經(jīng)滑輪拉船靠岸，若當(dāng)繩與水平方向夾角為時，收繩速率為，則該位置船的速率為多大？．2.一只兔子向著相距為S的大白菜走去。若它每秒所走的距離，總是從嘴到白菜剩余距離的一半。試分析兔子是否可以吃到大白菜？兔子平均速度的極限值是多少？小故事灰常牛B的亞里士多德亞里士多德（前384—前322年），古希臘斯吉塔拉人，世界古代史上最偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教誨家之一。是柏拉圖的學(xué)生，亞歷山大的教師。公元前335年，他在雅典辦了一所叫呂克昂的小學(xué)，被稱為逍遙學(xué)派。馬克思曾稱亞里士多德是古希臘哲學(xué)家中最博學(xué)的人物，恩格斯稱他是古代的黑格爾。他如此牛B，以至于幾乎所有的科學(xué)都發(fā)端與他。亞里士多德一生勤奮治學(xué)，從事的學(xué)術(shù)研究涉及到邏輯學(xué)、修辭學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、教誨學(xué)、心理學(xué)、政治學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、美學(xué)、博物學(xué)等，寫下了大量的著作，他的著作是古代的百科全書，據(jù)說有四百到一千部，主要有《工具論》、《形而上學(xué)》、《物理學(xué)》、《倫理學(xué)》、《政治學(xué)》、《詩學(xué)》等。他的思想對人類產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。他創(chuàng)立了形式邏輯學(xué)，豐盛和發(fā)展了哲學(xué)的各個分支學(xué)科，對科學(xué)等作出了龐大的貢獻(xiàn)。他不但喜歡分析事物，還喜歡和別人辯論。他會用理性的眼光去研究，質(zhì)疑一切。