幾何中的類比探究講義及答案

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁幾何中的類比探索（講義）知識點睛類比探索是一類個性條件與異常條件相結(jié)合，由異常情形到普通情形（或由容易情形到復(fù)雜情形）逐步深入，解決思想主意一脈相承的綜合性題目，常以幾何綜合題為主．解決類比探索問題的普通主意：（1）按照題干條件，結(jié)合先解決第一問；（2）用解決_____________的主意類比解決下一問，倘若不能，_______________起來分析，找出不能類比緣故和不變特征，根據(jù)_______________，探索新的主意．二、精講精練類比、轉(zhuǎn)化、從異常到普通等思想主意，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中常常用到，如下是一個案例，請補充殘破．原題：如圖1，在□ABCD中，點E是BC邊的中點，點F是線段AE上一點，BF的延伸線交射線CD于點G，若，求的值．（1）嘗試探索：在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是_______，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是________，的值是．（2）則的值是（用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．（3）拓展遷移：如圖3，在梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延伸線上一點，AE和BD相交于點F．若，（a＞0，b＞0），則的值是（用含a、b的代數(shù)式表示）．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延伸AF交CD于點G．預(yù)測線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系，并證實你的結(jié)論．（2）類比探索：如圖2，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否依然成立？請說明理由．如圖1，在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，垂足為D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F，AC=mBC，CE=nEA(m，n為實數(shù)).試探索線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖2，當(dāng)m=1，n=1時，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系.（2）如圖3，當(dāng)m=1，n為隨意實數(shù)時，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖1，當(dāng)m，n均為隨意實數(shù)時，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系．（1）問題探索如圖1，分離以△ABC的邊AC與邊BC為邊，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，過點C作直線KH交直線AB于點H，使∠AHK=∠ACD1，作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分離為點M，N，試探索線段D1M與線段D2N的數(shù)量關(guān)系，并加以證實．（2）拓展延伸①如圖2，若將“問題探索”中的“正方形”改為“正三角形”，過點C作直線K1H1，K2H2，分離交為點M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，給出證實；若不成立，說明理由．②如圖3，若將①中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變，D1M=D2N是否仍成立？（要求：在圖3中補全圖形，注明字母，直接寫出結(jié)論，不需證實）（1）如圖1，P為AB邊上的一點，以PD、PC為邊作□PCQD，請問對角線PQ、DC的長能否相等，為什么？（2）如圖2，若P為AB邊上一點，以PD、PC為邊作□PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？倘若存在，哀求出最小值；倘若不存在，請說明理由．（3）若P為AB邊上隨意一點，延伸PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC為邊作□PCQE，請?zhí)剿鲗蔷€PQ的長是否也存在最小值．倘若存在，哀求出最小值；倘若不存在，請說明理由．（4）如圖3，若P為直線DC上隨意一點，延伸PA到E，使AE＝nPA（n為常數(shù)），以PE、PB為邊作□PBQE，請?zhí)剿鲗蔷€PQ的長是否也存在最小值．倘若存在，哀求出最小值；倘若不存在，請說明理由．如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，點E在AD上，點F在DC上，且∠BEF=∠A．（1）∠BEF=__________________（用含α的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)AB＝AD時，預(yù)測線段EB、EF的數(shù)量關(guān)系，并證實你的預(yù)測；（3）當(dāng)AB≠AD時，將“點E在AD上”改為“點E在AD的延伸線上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他條件不變（如圖2），求的值（用含m、n的代數(shù)式表示）．三、回顧與思量__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【參考答案】知識點睛2．（1）分支條件（2）上一問，兩問結(jié)合，不變特征二、精講精練2．（1）GF=GC（2）依然成立，理由略.3．（1）EG=EF（2）EG=nEF（3）EG=mnEF4．（1）D1M=D2N（2）依然成立，證實略（3）D1