高數(shù)2試題及其規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案

模擬試卷一

注意:答案請(qǐng)寫(xiě)在考試專用答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。(本卷考試時(shí)間100分)

一、單項(xiàng)選擇題(每題3分，共24分)

1、己知平面》：x—2y+z—4=0與直線L:2二1=生心=出的位置關(guān)系是()

31-1

(A)垂直(B)平行但直線不在平面上

(C)不平行也不垂直(D)直線在平面上

2、lim.3VV—=()

一，2肛+1-1

(A)不存在(B)3(C)6(D)oo

a2za2z

3、函數(shù)z=/(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)上一及《一在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階混合

dxdydydx

偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的()條件.

(A)必要條件(B)充分條件

(C)充分必要條件(D)非充分且非必要條件

4、設(shè)||da,這里a>0,則。=()

x2+y2<a

(A)4(B)2(C)1(D)0

5、己知回糾空詈蟲(chóng)為某函數(shù)的全微分，則。=()

(x+y)

(A)-1(B)0(C)2(D)1

dsx2+y2+z2=10

6、-222(),其中L:

尤+y+zz=1

2萬(wàn)344〃

(B)(C)(D)

(A)y~5~TT

CC00

7、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z*發(fā)散，則級(jí)數(shù)￡攵?！?女為常數(shù))()

/:=1〃=1

(A)發(fā)散(B)可能收斂也可能發(fā)散

(C)收斂(D)無(wú)界

8、微分方程肛"=y'的通解是()

(B)y=/+c

(A)y=C,x+C2

(C)y=C,x2+C(D)y=—x2+C

22

二'填空題(每空4分，共20分)

1、設(shè)2=6'加盯，則dz=。

2、交換積分次序：^dx^e-y!dy=。

3、設(shè)L是任意一條光滑的閉曲線，則，2xMc+/力=。

L

4、設(shè)哥級(jí)數(shù)￡%/的收斂半徑為3,則幕級(jí)數(shù)￡〃%（X-1）6的收斂區(qū)域?yàn)閛

M=0〃=1

5、若〃（乂丁班+W％丁”丁=0是全微分方程，則函數(shù)"、N應(yīng)滿足。

三、計(jì)算題（每題8分，共40分）

1、求函數(shù)z=ln（x+y2）的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。

2、計(jì)算□肛db,其中。是由拋物線V=x即直線y=x—2所圍成的閉區(qū)域。

D

3、計(jì)算f（2x—y+4依+（5y+3x-6）dy,其中L為三頂點(diǎn)分別為（0,01（3,0）、（3,2）的三角形

L

正向邊界。

4、將arctanx展開(kāi)成元的基級(jí)數(shù)。

5、求微分方程（x+y-l）dx+（ey+x）dy=O的通解。

四：應(yīng)用題（16分）

求由旋轉(zhuǎn)拋物面Z=/+y2和平面％=/所圍成的空間區(qū)域。的體積。

模擬試卷二

注意:答案請(qǐng)寫(xiě)在考試專用答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。（本卷考試時(shí)間100分）

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分)

1.點(diǎn)(4,-3,5)到Ox軸的距離d=().

(A)742+(-3)2+52(B)J(-3)2+52(C)7(-3)2+42(D)742+52

2.下列方程中所示曲面是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是（）.

(A)x2+y2+z2=1(B)x2+y2=4z

222

(C)x2--+z2=1(D)^1121上=7

4916

3.二元函數(shù)z=Jin丁匕方+arcsin^^~^的定義域是（）.

(A)l<x2+j2<4；(B)1<X2+J2<4；

(C)1<x2+j2<4；(D)1<x2+j2<4.

4.fr(%，y)=()-

(A)11m+醺,汽)-/(/,八)⑻11mf（x。+垓，汽）一/（/，丁。）

AXT°AX.TOAX

(c)11m/」+&')")一/(x，.v)(D)11mf」+Ax,y)-f(xo'y)

機(jī)fOAx-Ax

5.已知二重積分,則圍成區(qū)域D的是（）.

D

（A）|x|=；，|y|=1（B）x軸，y軸及2x+y—2=0

(C)x軸，x=2及y=x（D）卜+乂=1,,一引二1

6.設(shè)/="（/+丁2Mx力，其中。由/+y2=a2所圍成，則/=（）.

D

(A)fdO[a1rdr=z^z4(B)fdd\r2?rdr——7ia4

JoJoJoJo2

(C)[d3[r2dr=—(D)fdOfa1?adr=271a,

JoJo3JoJo

x=acost,-

7.若L是上半橢圓(取順時(shí)針?lè)较?，則fAZx-xdy的值為().

y=bsint,

(A)0(B)—ah(C)77Zih(D)rucib

2

00

8.設(shè)。為非零常數(shù)，則當(dāng)()時(shí)，級(jí)數(shù)Za二收斂.

”=1"

(A)\r\>\a\(B)|川>|〃|(0|r|<l(D)|r|>l

9.limun=0是級(jí)數(shù)X""收斂的()條件?

(A)充分(B)必要(C)充分且必要(D)既非充分又非必要

10.微分方程y"+y=0的通解為.

(A)y=cosx+c(B)y=c}cosx+c2

(C)y=q+c2sinx(D)y=Gcosx+c2sinx

二、填空題(每小題3分，共15分)

1.己知平行四邊形A8CO的兩個(gè)頂點(diǎn)4(2,—3,—5),5(—1,3,2)的及它的對(duì)角線的交點(diǎn)

￡(4-1,7),則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為

2.設(shè)i=3z?—/一2舊，b-i+2j-k,則=

Q2

3.設(shè)z=arctan—,則---=_________

xdxdy

4.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡%的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于0,則當(dāng)______時(shí)，級(jí)數(shù)必收斂.

n=l

5.基級(jí)數(shù)士+—+…+——----+…的收斂區(qū)間是

22-42-4…-(2?)

三、計(jì)算題(每小題10分，共50分)

1.求函數(shù)f(x,y)=x3+yi-3(x2+y2)的極值點(diǎn)，并求極值.

2.計(jì)算^x2e-y2dxdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)是三角形區(qū)域.

D

3.計(jì)算f———\----ds,其中F為曲線：x=e'cost,y=e'sinf,z=e'(0<t<2).

Ix-+y+z

r3r5X2"-'

4.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)：X+—+—+--?+---+???.

352n-l

5.求微分方程滿足已給初始條件的特解：y'=e2"’,yLo=O.

四、應(yīng)用題與證明題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.求球面V+V+z?="(。>0)被平面2=0與2=@所夾部分的面積。

42

2.證明曲面型=〃？(〃?>0)上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為常數(shù).

模擬試卷三

注意：答案請(qǐng)寫(xiě)在考試專用答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。(本卷考試時(shí)間100分)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分)

1.若力為共線的單位向量，則它們的數(shù)量積a-b=().

(A)1(B)-1(C)0(D)COSQI)

2.設(shè)平面方程為母+己+。=0,且8,C,0HO,則平面().

(A)平行于x軸(B)垂直于x軸(C)平行于y軸(D)垂直于y軸

(x2+y2)sin-5-^~x2+y2^0

3.設(shè)/(x,y)=J'V+V'，則在原點(diǎn)(0,0)處/(x,y)().

0,x2+y2=0

(A)不連續(xù)(B)偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)連續(xù)但不可微(D)可微

4.二元函數(shù)z=3(x+y)-/一V的極值點(diǎn)是().

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(1,-1)(D)(-1,-1)

5.設(shè)D為/+y24i,則JJ^dxdy=().

DJl———y2

(A)0(B)7t(C)27V(D)4)

6.'y(x,y)辦=()

(A)￡'dy^f{x,y)dx(B)￡dy^f(x,y)dx

?￡dy^/(x,y)dx(D)dy^/(x,yydx

x=acost,…、，

7.若L是上半橢圓，取順時(shí)針?lè)较?則￡ydx-xdy的值為（）

y=bsint,

(A)0(B)—ab(C)7vcih(D)7iah

2

8.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）.

8C

(0￡(-1嚴(yán)弓尸

n=\4

0000

9.若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為《：0<凡<y0,累級(jí)數(shù)￡2無(wú)"的收斂半徑為為：

n=0n=0

0</?2<^0,則基級(jí)數(shù)Z（a“+2）x”的收斂半徑至少為（）

n=0

（A）N+&⑻R|?&（C）rmx{&,&}（D）nin^,^}

10.方程孫，=卜+（2+「是（）

（A）齊次方程（B）一階線性方程（C）伯努利方程（D）可分離變量方程

二、填空題（每小題3分，共15分）

—>—>

1.平行四邊形二邊為向量a={1,—3,1},匕={2,—1,3},則其面積5=

2.通過(guò)點(diǎn)（3,0,—1）且與平面3x—7y+52-12=0平行的平面方程為

3.設(shè)z=Intan—,則—=________

ySy

4.曲線X=—L,y=上吆，Z=〃在對(duì)應(yīng)于r=l的點(diǎn)處切線方程為

1+rt

5.設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在。上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

則有，「小+Q辦；

三、計(jì)算題(每小題10分，共50分)

1.設(shè)z=%ln(孫)，求，與-?

dxdy

2.求其中D是由N+|y|wi所確定的閉區(qū)域.

D

3.計(jì)算j(/-y)dx-(x+sin2yMy，其中L是在圓周：y=亞嚏=？上由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)

的一段弧.

4.將函數(shù)y=(1+x)ln(l+x)展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)，并求展開(kāi)式成立的區(qū)間.

5.求下列微分方程的通解：cos2x電-y=tanx.

dx

四、應(yīng)用題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.在平面xoy上求一點(diǎn),使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最

小.

2

2.求由曲面z=/+2y2及2=6-2x-所圍成的立體的體積.、

模擬試卷四

注意：答案請(qǐng)寫(xiě)在考試專用答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。(本卷考試時(shí)間100分)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，10小題，共20分)

1.向量N=(l,2,-2)在向量5=(6,2,3)上的投影等于()

(A)-(B)-(C)-(D)-

7344

2.曲線12+9丁=36繞了軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是()

z=0

2

(A)4X2+4/+9Z2=36(B)4X2+9y+9Z2=16

222

(C)4X2+9/+4Z2=36(D)9x+9y+4z=16

3.己知/(x,y)=K,則f(1,1)的值為()

(A)0(B)1(C)-(D)不存在

2

4.若/(x,y)在(Xo，%)處可微，則/(x,y)在(與，打)處()

(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在(B)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

(0連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在(D)不一定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不一定存在

5.設(shè)/]=Jjek+kfitafy,人=其中區(qū)域。1：-2<y<2,

?|D2

2：0Wx4l，04y42,則下列四式中正確的是()

(A)/,>4Z2(B)4=4/2(C)/,<4/2(D)4=2/2

6.設(shè)/=0。2+〉2)公辦,,其中。由/+};2=42所圍成，則/=()

D

(A)『的"QdQ(B)『"6J；a2?adp

dea2(i(D)

?「\0PP『“可:「”，PdP

7.設(shè)L為：x=2,0<y<|,則J,4as的值為()

(A)4(B)6(C)8(D)12

8.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是()

00181

(a)(b)￡777(0(D)￡(-l)"

n=l〃n=\SIn

9.基級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為()

n=lJ〃

(A)(-1,1)(B)[-1,1](C)(-1,1](D)[-1,1)

10.下列方程可分離變量的是()

(A)sin(孫)dx+e>'辦=0(B)xex+>dx+y2dy=0

(C)(1+y2dy=0(D)(x+y)dx+ex+ydy=0

二、填空題（每小題3分，5小題，共15分）

2r~+V?+Z?=16

1.通過(guò)曲線\,且母線平行于y軸的柱面方程是_________.

x2+z2-y2=O

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0,-1）且平行于向量/={2,-1,1}的直線方程是.

二r1-J孫+1

3.lim-------=____________,

,移

4.將二次積分：f（x,y）dy改換積分次序應(yīng)為.

5.設(shè)￡"〃、"都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且〃收斂，則當(dāng)〃=12…，都有時(shí),

?=1n=\"=1

￡乙也一定收斂.

H=1

三、設(shè)函數(shù)z=,求之人.（10分）

xydxdyx=i

y=2

四'計(jì)算二重積分,（Y+y2一x）db,其中D是由直線＞=-y=2x及x=2所

D

圍成的閉區(qū)域.（10分）

五'計(jì)算曲線積分，（2y-13）公+（3x+2y2）dy,其中L是由拋物線y=/和

L

V=x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線.（10分）

六、.求哥級(jí)數(shù)￡內(nèi)向的和函數(shù).（10分）

n=\

七、求下列微分方程的通解：（/+2/）八一個(gè)分=0.（10分）

八、應(yīng)用題Q5分)

求旋轉(zhuǎn)拋物面z=/+V被平面z=a(a>0)所截得的有限部分的面積.

模擬試卷五

注意：答案請(qǐng)寫(xiě)在考試專用答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。(本卷考試時(shí)間100分)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，10小題，共20分)

1.忸+可〈"-4充分必要條件是()

(A)々xB=0(B)a-b=0(C)ab>0(D)a-b<0

2.兩平面x—4y+z+5=0與2x-2y-z-3=0的夾角是()

(A)-(B)-(C)-

634

3.若力(a))=l,則lim+A”->(“，”-△)')=()

)AyfOAy

(A)2(B)1(C)4(D)0

4.若fx(x0,%)和fv(X。,九)都存在，則f(x,y)在(％,yo)處()

(A)連續(xù)且可微(B)連續(xù)但不一定可微

(0可微但不一定連續(xù)(D)不一定連續(xù)且不一定可微

5.下列不等式正確的是()

(A)JJ(x3+y3)t/cr>0(B)JJ(x2+y2W>0

x2+y2^\x2+y2<\

(C)JJ(x+y)da>0(D)JJ(x-y)d(y>0

x2+y2<lJt2+>,2<l

6.1同:辦=()

(A)￡Xdy^'f(x,y)dx

o(B)dx

(C)"(x,y)dx

7.設(shè)區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，A為區(qū)域D的面積，則()

A=^xdy-ydx

(A)A=-xdy(B)

(C)A=xdy+ydx(D)A=^xdy-ydx

2LL

a

8.設(shè)￡勺是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，前n項(xiàng)和為s“二=i一則數(shù)列和｝有界是收斂的()

n=lk=Tn=l

(A)充分條件(B)必要條件

(C)充分必要條件(D)既非充分條件，也非必要條件

9.以下級(jí)數(shù)中，條件收斂的級(jí)數(shù)是()

81

(A)y(-i)w—(B)Zl嚴(yán)g

念2?+10n=\7n

00Q

Z(T)"-4

(0￡(—1)向(；)"(D)

71=12M=17幾

10.下列方程為線性微分方程的是()

,X

(A)yf=(sinx)y+ex(B)y=xsi?ny+e

(C)y'=sinx+e'(D)xyr=cosy+l

二、填空題(每小題3分，5小題，共15分)

1.曲線2)-2=°在X”平面上的投影方程是________.

y—z+l=O

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0-1)且垂直于直線□=2！！==的平面方程

1-14

是.

sin(x2y2)

3.lim2

.v->02x―

.12

4.設(shè)區(qū)域。是由x軸及半圓周所圍成的閉區(qū)域，將二重積分

JJ/(x2+y2)db化為極坐標(biāo)形式的二次積分應(yīng)為.

D

5.設(shè)￡〃“、才乙都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且發(fā)散，則當(dāng)〃=1，2,…，都有時(shí)，

n=ln=\n=\

之匕,也一定發(fā)散.

rt=l

三'設(shè)函數(shù)z=/，求￡匚.（10分）

dxdyx=2

y=i

四、計(jì)算二重積分“"'lb’其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域{（X,y）|14/+y2w4}.

D

（10分）

五'計(jì)算J（%2—沖3）公+（,2-2個(gè)）右，其中L是三個(gè)頂點(diǎn)分別為（0,0）、（2,0）

L

和（2,2）的三角形區(qū)域的正向邊界.（10分）

六、求基級(jí)數(shù)之學(xué)的和函數(shù).（10分）

念2H

七'求下列微分方程的通解：（xcos2-ysin2）dx+xsin）辦=0.（10分）

XXX

八、應(yīng)用題（15分）

計(jì)算半球面z=yla2-x2-y2被圍在柱面Y+y2=以內(nèi)的部分曲面的面積.

參考答案（模擬試卷一）

一：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題（每小題3分，共24分）

1D；2、B；3、B；4^A；5、C；6、C；7、B；8、C.

二'填空題（每空4分，共20分）

1、es,ncosxy{ydx+xdy）；2、￡e^ydy^dx；3、0；4、（-2,4）；5^=~^~,

三、計(jì)算題（每題8分，共40分）

1、解：Z；=7；Z；=一紅〒；......2分

x-\-yx+y

/_-1/_-2y...........

ZXX-7'Zyy-（2\2，Z孫_Zyx~7Tv-，6介

（x+yJU+r）

2、解：回出積分區(qū)域......1分

xydx....4分

D

=^￡[Xy+2）2-/^=5|……3分

3、解:如圖,因?yàn)镻（x,y）=2x-y+4,Q（x,y）=5y+3x-6......1分

V”一絲=3,則絲-絲=4

dydxdxdy

由格林公式得：^（2x-y+4）dx+（5y+3x-6）dy

^-^ixdy=jj4dxdy=12

皿產(chǎn)dx

4、解：arctanx=-----r2分

Jo1+X2

=￡E(t)"x2'dx=Z￡'(-1)"x2,，dx……3分

”=0n=0

oo2w+l

=之(一1)”3~；……3分

?=o2/1+1

5、解：原方程即為(ydx+xdy)+(x-l)Jx+/6fy=0...2分

即d(孫)+"g(x-l)2+"e'=0...2分

dxy+^(x-l)2+ey=0...2分

原方程的通解為孫+g(x—Ip+e、'=C……2分

四、應(yīng)用題(16分)

解一：用二重積分計(jì)算。所求體積可視為圓柱體：x?+y2<a2,o《zWa2的體積與以

曲面z=/+y2為頂、以。,v為底的曲頂柱體體積之差，其體積為……8分

2

V=加2.“2_JJ(%2+y"xdy

%……8分

=如4-『例"="

JoJo2

解二：用三重積分計(jì)算。利用柱面坐標(biāo)，有……4分

丫=川'=『曲￡間；"

0…12分

=2萬(wàn)］：(/廠-/卜r=^-a4

答案(模擬試卷二)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分，共20分)

題號(hào)12345678910

答案BCADBBCDBD

二'填空題(每小題3分，共15分)

1.(9,-5,12)2.5l+j+7k3.——4.p<15.(-oo,+oo)

(x+y)~

三'計(jì)算題(每小題10分，共50分)

1.求函數(shù)/(x,y)=x3+/-3(x2+y2)的極值點(diǎn)，并求極值.

2

解：(X,V)=3%-6x,fy(x,y)=3V-6y

fr(X,y)=0[%1=o,%2=2

fy(x,y)=o.=0,^2=2

.??駐點(diǎn)為：(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).........................................4分

又,：人*=6x—6,人>=0,f、,y=6y-6.........................................6分

(1)對(duì)于駐點(diǎn)(0,0)有A=—6,B=0,C=-6,A^AC-B2=36>0且A<0

0)=0為極大值......................7分

(2)對(duì)于駐點(diǎn)(0,2)有A=—6,B=0,C=6,A^AC-B2=-36<0

.?./(0,2)不是極值......................8分

(3)對(duì)于駐點(diǎn)(2,0)有A=6,3=0,C=-6,△=AC—3?=—36<0

?.../?(2,0)不是極值......................9分

(4)對(duì)于駐點(diǎn)(2,2)有A=6,B=0,C=6,A^AC-B2=36>0且A〉0

2)=-8為極小值......................10分

2.計(jì)算fjx2e-y2dvdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)是三角形區(qū)域.

D

解:JJ=x2e~y2dx]dy.........................................5分

D

3.計(jì)算f—5——\--7/，其中「為曲線：x=e'cost,y-e'sint,z=e'(0<Z<2).

x+y+z

fr1

解：原式-----;——J-----；———7(ecost)'+(esint)'+(e)'dt......3分

J。(e'cosrf+(e'sinf)2+(e')2、

??8分

10分

4.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù):

解：1+x~+X4+…+x~"+…=-----,|jd<13分

l-x211

352n-\

xxx

x+一+一+…+----+?寸占6分

352n-l

=-[P---dx+[---dx\

2Jo1-xJ。1+x

11+x

=-ln——(-1<X<1)....................10分

21—x

5.求微分方程滿足已給初始條件的特解:

2x-y

y'=e>l=o=0?

/.eydy=e2xdx......................3分

1,

兩邊積分得：ey=-e2x+C......................7分

2

又""0

/.C=—.....................................9分

2

.?.特解為：ev=1(e2jc+l)......................10分

四、應(yīng)用題與證明題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.求球面V+y2+z2=/3>0)被平面z=；與Z=］所夾部分的面積。

解：：Z=Jq2_y2且Q={(x,y)[：/《72+/4..........2分

.?.所求的面積為：S=JJJl+(Z)+區(qū)尸癡)，..................4分

D

=a[/]=dxdy..............................8分

JJ/222

Dyja-x-y

對(duì)H颯99分

1，八

~—7ia~..............................13分

2

2.證明曲面xyz=m(m>0)上任一點(diǎn)處切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為常數(shù).

解：曲面孫z=〃z上任一點(diǎn)尸(與，打)處的法向量為：n=(jozo,xozo,xoyo)...3分

P(x(),%)處的切平面方程為：yozo(x-xo)+xozo(y-yo)+xoyo(z-zo)=O

即：-1++-=1且有XOMJZO=機(jī)9分

3/3yo3z0

99

二所圍立體的體積為：V=-xoyoz^—m12分

22

答案（模擬試卷三）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）

題號(hào)12345678910

答案DCDDCCCBDA

二、填空題（每小題3分，共15分）

2x2x

1.3J102.3x-7y+5z-乙1=03.---z-cse—

yy

1

4..=/=,5.jj（|號(hào)段叱

三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）

d3z

1.設(shè)z=%ln（肛），求二二1.

dxdy

3z

解：—=lnxy+l......................3分

dx

?Sz_1

......................6分

dxdyy

.洶_1

----------------------10分

?.dxdy2y2

2.求其中D是由N+|y|〈i所確定的閉區(qū)域.

D

x+yx+yx

解：JJed（j="edxdy+jje^dxdy.....1分

DDiD2

力M）fX+1力"flf1-A

exeydy\dx......................7分

）dx......................9分

-110分

3.計(jì)算j(/一y)dr-(x+sin2y)力，其中L是在圓周：y=拒二上由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)

的一段弧.

1—COS，-f-1n

解：設(shè)L的參數(shù)方程為：\~/從城IJ—....................2分

y=sint2

￡(x2-y)dx-(x+sin2y)dy

兀

22

-1(1+cos/)-sin/]-(-sint)-[(1+cos/)+sin(sin/)]?cos/}//6分

==j[sinf+sin2t+sinrcos21+cos2r_cosf+cos/sin2(sint)]dt

2

=----F—sin210分

64

4.將函數(shù)y=(1+%)ln(l+%)展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)，并求展開(kāi)式成立的區(qū)間.

XX'Y

解：Vyf=ln(l+x)+l=1+x----+—+…+(—1)”----+???,-1<x<1.......4分

23H+1

y=(l+x)ln(l+x)

xn+2

=x+—-—+—+---+(-l)n+…

2612(〃+1)(及+2)

5/_1\rt-l

尤+Z———，(-1<%<1)10分

?=i〃(〃+1)

5.求下列微分方程的通解：cos2x-^-y=tanx

dx

解：:y-sec2x-y=tanx-sec2x

/.P(x)=-sec2x,Q(x)=tanx-sec2x....................2分

y=g4p(tWjt[-jQ(x)eJ，""&+C]....................3分

[sec2xdxC2-fsec2xdr

=eJ11tanxsecx-e