專題10 磁場(chǎng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（講義）（解析版）-2024年高考物理二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】專題10磁場(chǎng)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)目錄【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】TOC\o"1-4"\h\z\u考點(diǎn)一磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題 3 3 41.安培力作用下導(dǎo)體的平衡問(wèn)題 42.安培力作用下導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)情況判定的五種方法 5 5考向一磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題 5考點(diǎn)二帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 8 8 131.帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 132.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 133.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的臨界及極值問(wèn)題 154.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題 165.“平移圓”模型 176.“旋轉(zhuǎn)圓”模型 177.“放縮圓”模型 188.“磁聚焦”與“磁發(fā)散”模型 18 19考向一帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng) 19考向二帶電粒子在有界磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的臨界與極值問(wèn)題 20考向三帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題 22

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題考向一磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題：2023?北京?高考真題(2題)、2023?江蘇?高考真題(2題)、2022?湖南?高考真題、2022?天津?高考真題、2022?浙江?高考真題、2021?江蘇?高考真題、2021?廣東?高考真題、2022?湖北?高考真題、2021?重慶?高考真題帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)考向一帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)：2023?天津?高考真題、2023?福建?高考真題、2022?北京?高考真題、2021?湖北?高考真題考向二帶電粒子在有界磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的臨界與極值問(wèn)題：2023?浙江?高考真題、2022?遼寧?高考真題、2021?北京?高考真題、2021?全國(guó)?高考真題、2021?海南?高考真題考向三帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題：2023?全國(guó)?高考真題、2023?湖北?高考真題、2022?湖北?高考真題、2022?浙江?高考真題考情分析【命題規(guī)律及方法指導(dǎo)】1.命題重點(diǎn)：本專題就是高考的熱點(diǎn)，一是安培力結(jié)合力學(xué)的考察、二是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的考察。2.常用方法：動(dòng)態(tài)放縮圓、定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)圓、圓平移、圓對(duì)稱等幾何知識(shí)、立體空間圖形降維法。3.?？碱}型：選擇題，計(jì)算題．【命題預(yù)測(cè)】1.本專題屬于熱點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容；2.高考命題考察方向①磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題：安培力作用下的力電綜合問(wèn)題。②帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及臨界判斷、電性或磁場(chǎng)方向不確定帶來(lái)的多解問(wèn)題。

考點(diǎn)一磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題1．（2022·江蘇·高考真題）如圖所示，兩根固定的通電長(zhǎng)直導(dǎo)線a、b相互垂直，a平行于紙面，電流方向向右，b垂直于紙面，電流方向向里，則導(dǎo)線a所受安培力方向（）A．平行于紙面向上B．平行于紙面向下C．左半部分垂直紙面向外，右半部分垂直紙面向里D．左半部分垂直紙面向里，右半部分垂直紙面向外【考向】磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題【答案】C【詳解】根據(jù)安培定則，可判斷出導(dǎo)線a左側(cè)部分的空間磁場(chǎng)方向斜向右上，右側(cè)部分的磁場(chǎng)方向斜向下方，根據(jù)左手定則可判斷出左半部分垂直紙面向外，右半部分垂直紙面向里。故選C。2．（2022·湖北·高考真題）（多選）如圖所示，兩平行導(dǎo)軌在同一水平面內(nèi)。一導(dǎo)體棒垂直放在導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)恒定。整個(gè)裝置置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒定，方向與金屬棒垂直、與水平向右方向的夾角θ可調(diào)。導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)給導(dǎo)體棒通以圖示方向的恒定電流，適當(dāng)調(diào)整磁場(chǎng)方向，可以使導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)或勻減速運(yùn)動(dòng)。已知導(dǎo)體棒加速時(shí)，加速度的最大值為g；減速時(shí)，加速度的最大值為g，其中g(shù)為重力加速度大小。下列說(shuō)法正確的是（）A．棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為B．棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為C．加速階段加速度大小最大時(shí)，磁場(chǎng)方向斜向下，θ=60°D．減速階段加速度大小最大時(shí)，磁場(chǎng)方向斜向上，θ=150°【考向】磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題【答案】BC【詳解】設(shè)磁場(chǎng)方向與水平方向夾角為θ1，θ1<90°;當(dāng)導(dǎo)體棒加速且加速度最大時(shí)，合力向右最大，根據(jù)左手定則和受力分析可知安培力應(yīng)該斜向右上方，磁場(chǎng)方向斜向右下方，此時(shí)有，令，，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得，則有，同理磁場(chǎng)方向與水平方向夾角為θ2，θ2<90°，當(dāng)導(dǎo)體棒減速，且加速度最大時(shí)，合力向左最大，根據(jù)左手定則和受力分析可知安培力應(yīng)該斜向左下方，磁場(chǎng)方向斜向左上方，此時(shí)有，有，所以有，當(dāng)加速或減速加速度分別最大時(shí)，不等式均取等于，聯(lián)立可得，帶入，可得α=30°，此時(shí)，加速階段加速度大小最大時(shí)，磁場(chǎng)方向斜向右下方，有，減速階段加速度大小最大時(shí)，磁場(chǎng)方向斜向左上方，有，故BC正確，AD錯(cuò)誤。故選BC。1.安培力作用下導(dǎo)體的平衡問(wèn)題1）求解安培力作用下導(dǎo)體平衡問(wèn)題的基本思路①選對(duì)象：通電導(dǎo)線或通電導(dǎo)體棒②平面化分析力：變立體圖為平面圖，如側(cè)視圖、剖面圖或俯視圖等，導(dǎo)體棒或?qū)Ь€用圓圈?表示，電流方向用“×”或“●”表示，由左手定則判斷安培力的方向，并畫出平面受力分析圖，安培力的方向F安⊥B、F安⊥I.如圖所示：④列方程：在其他力基礎(chǔ)上多一個(gè)安培力，根據(jù)平衡條件列方程2）求解關(guān)鍵①電磁問(wèn)題力學(xué)化.②立體圖形平面化.2.安培力作用下導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)情況判定的五種方法1）電流元法：分割為電流元eq\o(――――――→,\s\up7(左手定則))安培力方向→整段導(dǎo)體所受合力方向→運(yùn)動(dòng)方向2）特殊位置法：在特殊位置→安培力方向→運(yùn)動(dòng)方向3）等效法 ①環(huán)形電流?小磁針②條形磁鐵?通電螺線管?多個(gè)環(huán)形電流4）結(jié)論法：同向電流互相吸引，異向電流互相排斥；兩不平行的直線電流相互作用時(shí)，有轉(zhuǎn)到平行且電流方向相同的趨勢(shì)5）轉(zhuǎn)換研究對(duì)象法：先分析電流所受的安培力，然后由牛頓第三定律，確定磁體所受電流磁場(chǎng)的作用力考向一磁場(chǎng)對(duì)通電導(dǎo)線的作用力問(wèn)題1．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）如圖甲所示，為特高壓輸電線路上使用六分裂阻尼間隔棒的情景。其簡(jiǎn)化如圖乙，間隔棒將6條輸電導(dǎo)線分別固定在一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)、、、、、上，為正六邊形的中心，A點(diǎn)、B點(diǎn)分別為、的中點(diǎn)。已知通電導(dǎo)線在周圍形成磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流大小成正比，與到導(dǎo)線的距離成反比。6條輸電導(dǎo)線中通有垂直紙面向外，大小相等的電流，其中導(dǎo)線中的電流對(duì)導(dǎo)線中電流的安培力大小為，則（

）A．A點(diǎn)和B點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同B．其中導(dǎo)線所受安培力大小為C．、、、、五根導(dǎo)線在點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于向下D．、、、、五根導(dǎo)線在點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于向上【答案】BC【詳解】A．根據(jù)對(duì)稱性可知A點(diǎn)和B點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向不同，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)題意可知、對(duì)導(dǎo)線的安培力大小，、對(duì)導(dǎo)線的安培力大小為，對(duì)導(dǎo)線，安培力大小為，根據(jù)矢量的合成可得導(dǎo)線所受安培力，故B正確；CD．根據(jù)安培定則，、兩條導(dǎo)線在點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度等大反向，、兩條導(dǎo)線在點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度等大反向，、、、、五根導(dǎo)線在點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與導(dǎo)線在點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相同，垂直于向下，故C正確，D錯(cuò)誤。故選C。2．（2024·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖所示，水平絕緣桌面上有兩平行導(dǎo)軌與一電源及導(dǎo)體棒MN構(gòu)成的閉合回路，已知兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒MN與兩導(dǎo)軌垂直，通過(guò)導(dǎo)體棒的電流為I，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與水平面成角斜向上，導(dǎo)體棒MN靜止，重力加速度大小為g，則導(dǎo)體棒MN受到的（）A．摩擦力大小為 B．摩擦力大小為C．支持力大小為 D．支持力大小為【答案】AD【詳解】以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象，分析受力如圖所示其中，導(dǎo)體棒和磁場(chǎng)垂直，故導(dǎo)體棒受到的安培力大小F=BIL，對(duì)導(dǎo)體棒根據(jù)平衡條件知在水平方向有，在豎直方向，解得支持力大小為故選AD。考點(diǎn)二帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．（2022·北京·高考真題）正電子是電子的反粒子，與電子質(zhì)量相同、帶等量正電荷。在云室中有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，從P點(diǎn)發(fā)出兩個(gè)電子和一個(gè)正電子，三個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中1、2、3所示。下列說(shuō)法正確的是（）A．磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里 B．軌跡1對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度越來(lái)越大C．軌跡2對(duì)應(yīng)的粒子初速度比軌跡3的大 D．軌跡3對(duì)應(yīng)的粒子是正電子【考向】帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)【答案】A【詳解】AD．根據(jù)題圖可知，1和3粒子繞轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致，則1和3粒子為電子，2為正電子，電子帶負(fù)電且順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可知磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，A正確，D錯(cuò)誤；B．電子在云室中運(yùn)行，洛倫茲力不做功，而粒子受到云室內(nèi)填充物質(zhì)的阻力作用，粒子速度越來(lái)越小，B錯(cuò)誤；C．帶電粒子若僅在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可知，解得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為，根據(jù)題圖可知軌跡3對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)的半徑更大，速度更大，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到云室內(nèi)物質(zhì)的阻力的情況下，此結(jié)論也成立，C錯(cuò)誤。故選A。2．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）光滑剛性絕緣圓筒內(nèi)存在著平行于軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，筒上P點(diǎn)開(kāi)有一個(gè)小孔，過(guò)P的橫截面是以O(shè)為圓心的圓，如圖所示。一帶電粒子從P點(diǎn)沿PO射入，然后與筒壁發(fā)生碰撞。假設(shè)粒子在每次碰撞前、后瞬間，速度沿圓上碰撞點(diǎn)的切線方向的分量大小不變，沿法線方向的分量大小不變、方向相反；電荷量不變。不計(jì)重力。下列說(shuō)法正確的是（

）

A．粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能通過(guò)圓心OB．最少經(jīng)2次碰撞，粒子就可能從小孔射出C．射入小孔時(shí)粒子的速度越大，在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短D．每次碰撞后瞬間，粒子速度方向一定平行于碰撞點(diǎn)與圓心O的連線【考向】帶電粒子在磁場(chǎng)中的多解問(wèn)題【答案】BD【詳解】D．假設(shè)粒子帶負(fù)電，第一次從A點(diǎn)和筒壁發(fā)生碰撞如圖，為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心

由幾何關(guān)系可知為直角，即粒子此時(shí)的速度方向?yàn)椋f(shuō)明粒子在和筒壁碰撞時(shí)速度會(huì)反向，由圓的對(duì)稱性在其它點(diǎn)撞擊同理，D正確；A．假設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程過(guò)O點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)的速度的垂線和OP連線的中垂線是平行的不能交于一點(diǎn)確定圓心，由圓形對(duì)稱性撞擊筒壁以后的A點(diǎn)的速度垂線和AO連線的中垂線依舊平行不能確定圓心，則粒子不可能過(guò)O點(diǎn)，A錯(cuò)誤；B．由題意可知粒子射出磁場(chǎng)以后的圓心組成的多邊形應(yīng)為以筒壁的內(nèi)接圓的多邊形，最少應(yīng)為三角形如圖所示

即撞擊兩次，B正確；C．速度越大粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越大，碰撞次數(shù)會(huì)可能增多，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間不一定減少，C錯(cuò)誤。故選BD。3．（2023·浙江·高考真題）利用磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)離子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)。如圖所示，Oxy平面（紙面）的第一象限內(nèi)有足夠長(zhǎng)且寬度均為L(zhǎng)、邊界均平行x軸的區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，其中區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2的磁場(chǎng)，方向均垂直紙面向里，區(qū)域Ⅱ的下邊界與x軸重合。位于處的離子源能釋放出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度方向與x軸夾角為60°的正離子束，沿紙面射向磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)離子的重力及離子間的相互作用，并忽略磁場(chǎng)的邊界效應(yīng)。（1）求離子不進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的最大速度v1及其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（2）若，求能到達(dá)處的離子的最小速度v2；（3）若，且離子源射出的離子數(shù)按速度大小均勻地分布在范圍，求進(jìn)入第四象限的離子數(shù)與總離子數(shù)之比η。

【考向】帶電粒子在有界磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的臨界或極值問(wèn)題【答案】（1）；（2）（3）60%【詳解】（1）當(dāng)離子不進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ速度最大時(shí)，軌跡與邊界相切，則由幾何關(guān)系解得r1=2L根據(jù)解得在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期運(yùn)動(dòng)時(shí)間

（2）若B2=2B1，根據(jù)可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，設(shè)O1O2與磁場(chǎng)邊界夾角為α，由幾何關(guān)系解得r2=2L根據(jù)解得（3）當(dāng)最終進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的粒子若剛好到達(dá)x軸，則由動(dòng)量定理即求和可得粒子從區(qū)域Ⅰ到區(qū)域Ⅱ最終到x軸上的過(guò)程中解得則速度在~之間的粒子才能進(jìn)入第四象限；因離子源射出粒子的速度范圍在~，又粒子源射出的粒子個(gè)數(shù)按速度大小均勻分布，可知能進(jìn)入第四象限的粒子占粒子總數(shù)的比例為η=60%4．（2022·浙江·高考真題）離子速度分析器截面圖如圖所示。半徑為R的空心轉(zhuǎn)筒P，可繞過(guò)O點(diǎn)、垂直xOy平面（紙面）的中心軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度大小可調(diào)），其上有一小孔S。整個(gè)轉(zhuǎn)筒內(nèi)部存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。轉(zhuǎn)筒下方有一與其共軸的半圓柱面探測(cè)板Q，板Q與y軸交于A點(diǎn)。離子源M能沿著x軸射出質(zhì)量為m、電荷量為–q（q>0）、速度大小不同的離子，其中速度大小為v0的離子進(jìn)入轉(zhuǎn)筒，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好沿y軸負(fù)方向離開(kāi)磁場(chǎng)。落在接地的筒壁或探測(cè)板上的離子被吸收且失去所帶電荷，不計(jì)離子的重力和離子間的相互作用。（1）①求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；②若速度大小為v0的離子能打在板Q的A處，求轉(zhuǎn)筒P角速度ω的大?。唬?）較長(zhǎng)時(shí)間后，轉(zhuǎn)筒P每轉(zhuǎn)一周有N個(gè)離子打在板Q的C處，OC與x軸負(fù)方向的夾角為θ，求轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，C處受到平均沖力F的大??；（3）若轉(zhuǎn)筒P的角速度小于，且A處探測(cè)到離子，求板Q上能探測(cè)到離子的其他θ′的值（θ′為探測(cè)點(diǎn)位置和O點(diǎn)連線與x軸負(fù)方向的夾角）。【考向】帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題【答案】（1）①，②，k=0，1，2，3…；（2），n=0，1，2，…；（3），，【詳解】（1）①離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)有則②離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，k=0，1，2，3…（2）設(shè)速度大小為v的離子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為，有離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度ω′t′=2nπ+θ轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，n=0，1，2，…動(dòng)量定理，n=0，1，2，…（3）轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度其中k=1，，n=0，2或者可得，，1.帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

在帶電粒子只受洛倫茲力作用的條件下（電子、質(zhì)子、α粒子等微觀粒子的重力通常忽略不計(jì)），

1）若帶電粒子的速度方向與磁場(chǎng)方向平行（相同或相反），帶電粒子以入射速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng).

2）若帶電粒子的速度方向與磁場(chǎng)方向垂直，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速率v做勻速圓周運(yùn)動(dòng).①洛倫茲力提供向心力：.②軌跡半徑：.③周期：、，可知T與運(yùn)動(dòng)速度和軌跡半徑無(wú)關(guān)，只和粒子的比荷和磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有關(guān)．④運(yùn)動(dòng)時(shí)間：當(dāng)帶電粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ(弧度)時(shí)，所用時(shí)間.⑤動(dòng)能：.2.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1）圓心的確定方法①若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即為圓心，如圖甲．②若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，弦的中垂線與速度垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖乙．2）半徑的確定和計(jì)算①連接圓心和軌跡圓與邊界的交點(diǎn)，確定半徑，然后用幾何知識(shí)求半徑，常用解三角形法，如圖或由求得②在分析幾何關(guān)系時(shí)，特別要掌握以下兩點(diǎn)Ⅰ、粒子速度的偏向角φ等于圓心角α，且等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖所示)，即.Ⅱ、相對(duì)的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ＋θ′＝π.3）運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間：或(為弧長(zhǎng))．4）數(shù)學(xué)原理①幾何模型：圓與直線相交、圓與圓相交．②對(duì)稱性：圓與直線相交，軌跡(圓弧)關(guān)于圓心到邊界的垂線軸對(duì)稱；軌跡圓和磁場(chǎng)圓相交，軌跡(圓弧)關(guān)于兩圓心的連線軸對(duì)稱．(如圖)③構(gòu)造三角形④確定角度Ⅰ、有已知角度：利用互余、互補(bǔ)、偏向角與圓心角的關(guān)系、弦切角與圓心角的關(guān)系確定；Ⅱ、沒(méi)有已知角度：利用邊長(zhǎng)關(guān)系確定．3.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的臨界及極值問(wèn)題帶電粒子在有邊界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于邊界的限制往往會(huì)出現(xiàn)臨界問(wèn)題．解決帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場(chǎng)邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)系求解．1）臨界條件帶電粒子剛好穿出(不穿出)磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切，故邊界(邊界的切線)與軌跡過(guò)切點(diǎn)的半徑(直徑)垂直．2）解題步驟：分析情景→作基礎(chǔ)圖→作動(dòng)態(tài)圖→確定臨界軌跡→分析臨界狀態(tài)→構(gòu)建三角形→解三角形3）解題方法①物理方法I、利用臨界條件求極值；Ⅱ、利用問(wèn)題的邊界條件求極值；Ⅲ、利用矢量圖求極值；②數(shù)學(xué)方法Ⅰ、利用三角函數(shù)求極值；Ⅱ、利用二次方程的判別式求極值；Ⅲ、利用不等式的性質(zhì)求極值；Ⅳ、利用圖像法、等效法、數(shù)學(xué)歸納法求極值；4）臨界點(diǎn)常用的結(jié)論：①剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切．②時(shí)間最長(zhǎng)或最短的臨界條件：當(dāng)以一定的速率垂直射入磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)；當(dāng)比荷相同，入射速率v不同時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)；5）典型模型①直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖所示)圖甲中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=T2=π圖乙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=1?θπT=1?θ圖丙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=θπT=2最長(zhǎng)時(shí)間：弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，一般為軌跡與直線邊界相切．最短時(shí)間：弧長(zhǎng)最短(弦長(zhǎng)最短)，入射點(diǎn)確定，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線與邊界垂直．②平行邊界(往往存在臨界條件，如圖所示)圖甲中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=θmBq,t2=T2=圖乙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=θmBq圖丙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=1?θπT=1?θ圖丁中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=θπT=2③圓形邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性)Ⅰ、沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示．Ⅱ、不沿徑向射入時(shí)，射入時(shí)粒子速度方向與半徑的夾角為θ，射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與半徑的夾角也為θ，如圖所示．公共弦為小圓直徑時(shí)，出現(xiàn)極值，即：當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于圓形磁場(chǎng)半徑時(shí)，以磁場(chǎng)直徑的兩端點(diǎn)為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大．當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑小于圓形磁場(chǎng)半徑時(shí)，則以軌跡圓直徑的兩端點(diǎn)為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的圓形磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角最大4.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于帶電粒子電性不確定、磁場(chǎng)方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題． ①找出多解的原因：磁場(chǎng)方向不確定形成多解、臨界狀態(tài)不唯一形成多解、運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解②畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況．5.“平移圓”模型1）適用條件：速度大小一定，方向一定，但入射點(diǎn)在同一直線上例：粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線上的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑，如圖所示2）特點(diǎn)：軌跡圓圓心共線，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與入射點(diǎn)的連線平行3）界定方法：將半徑為的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法6.“旋轉(zhuǎn)圓”模型1）適用條件：速度大小一定，方向不同例：粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射初速度大小為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為，如圖所示2）特點(diǎn)：軌跡圓圓心共圓，如圖，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑的圓上3）界定方法：將一半徑為的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法7.“放縮圓”模型1）適用條件：速度方向一定，大小不同例：粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化2）特點(diǎn)：軌跡圓圓心共線，如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大．可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上3）界定方法：以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法8.“磁聚焦”與“磁發(fā)散”模型條件：當(dāng)圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等時(shí),存在兩條特殊規(guī)律1）磁聚焦：平行射入圓形有界磁場(chǎng)的相同帶電粒子,如果圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等,則所有粒子都從磁場(chǎng)邊界上的同一點(diǎn)射出,并且出射點(diǎn)的切線與入射速度方向平行證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對(duì)邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從A點(diǎn)發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過(guò)B點(diǎn)．2）磁發(fā)散：帶電粒子從圓形有界磁場(chǎng)邊界上某點(diǎn)射入磁場(chǎng),如果圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等,則粒子的出射速度方向與圓形磁場(chǎng)上入射點(diǎn)的切線方向平行證明：所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形，也是平行四邊形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)．考向一帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)1．（2024·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖甲所示，用強(qiáng)磁場(chǎng)將百萬(wàn)開(kāi)爾文的高溫等離子體（等量的正離子和電子）約束在特定區(qū)域?qū)崿F(xiàn)受控核聚變的裝置叫托克馬克。我國(guó)托克馬克裝置在世界上首次實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定運(yùn)行100秒的成績(jī)。多個(gè)磁場(chǎng)才能實(shí)現(xiàn)磁約束，圖乙為其中沿管道方向的一個(gè)磁場(chǎng)，越靠管的右側(cè)磁場(chǎng)越強(qiáng)。不計(jì)離子重力，關(guān)于離子在圖乙磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．離子從磁場(chǎng)右側(cè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)到左側(cè)區(qū)域，磁場(chǎng)對(duì)其做負(fù)功B．離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)其一定不做功C．離子從磁場(chǎng)右側(cè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)到左側(cè)區(qū)域，速度變大D．離子由磁場(chǎng)的左側(cè)區(qū)域向右側(cè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑減小【答案】BD【詳解】AB．離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于洛倫茲力方向總是與速度方向垂直，可知磁場(chǎng)對(duì)其一定不做功，故A錯(cuò)誤，B正確；C．因洛倫茲力不做功，則離子從磁場(chǎng)右側(cè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)到左側(cè)區(qū)域，速度不變，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D．離子在磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力可得，解得，離子由磁場(chǎng)的左側(cè)區(qū)域向右側(cè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度變大，可知離子運(yùn)動(dòng)半徑減小，故D正確。故選BD?？枷蚨щ娏Ｗ釉谟薪绱艌?chǎng)運(yùn)動(dòng)的臨界與極值問(wèn)題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖所示，寬度為的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，和是它的兩條邊界?，F(xiàn)有質(zhì)量為，電荷量的絕對(duì)值為的帶電粒子以方向射入磁場(chǎng)。要使粒子不能從邊界射出，則粒子入射速度的最大值可能是（）

A． B． C． D．【答案】BD【詳解】題目中只給出粒子“電荷量的絕對(duì)值為”，未說(shuō)明是帶哪種電荷。如圖所示

若為正電荷，軌跡是如圖所示的左方與相切的圓弧，軌道半徑，又，得，若為負(fù)電荷，軌跡如圖所示的右方與相切的圓弧，則有，，得，則粒子入射速度的最大值可能是（為正電荷）或（為負(fù)電荷）。故選BD。3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“新一代人造太陽(yáng)”的“中國(guó)環(huán)流三號(hào)”托卡馬克裝置，于8月25日首次實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)安培等離子體電流下的高約束模式運(yùn)行，這一重大進(jìn)展再次刷新我國(guó)磁約束聚變裝置運(yùn)行紀(jì)錄。磁約束是用磁場(chǎng)來(lái)約束等離子體中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)。如圖所示，有一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界分別是半徑為R和2R的同心圓，O為圓心。比荷為的帶電粒子在半徑為R的中空區(qū)域內(nèi)往各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，且速度大小不等。不考慮粒子間的相互作用及重力等因素的影響。若已知中空區(qū)域中的帶電粒子的最大速度為vm。（1）若要求所有粒子均無(wú)法穿出環(huán)形磁場(chǎng)的外邊緣，則環(huán)狀區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值應(yīng)為多少；（2）若環(huán)形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為第（1）問(wèn)磁場(chǎng)的最小值，有一粒子從圓心O處射出，進(jìn)入環(huán)形磁場(chǎng)區(qū)域后恰好與外邊緣相切，然后再回到O點(diǎn)，則該粒子的速度是vm的多少倍，此過(guò)程中該粒子在環(huán)形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）【答案】（1）；（2），【詳解】（1）當(dāng)粒子剛好沿著內(nèi)圓切線進(jìn)入環(huán)形磁場(chǎng)時(shí)，要求此方向不飛出外圓，是保證所有粒子無(wú)法穿出環(huán)形磁場(chǎng)的外邊緣的臨界條件。如圖甲所示幾何關(guān)系可得洛倫茲力提供向心力解得（2）如圖乙所示，當(dāng)粒子源在O點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)外邊界相切，被磁場(chǎng)約束的粒子每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間為最大值設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)半徑為r0。在中即解得根據(jù)解得該粒子在磁場(chǎng)中的周期為由幾何知識(shí)求解得此過(guò)程中該粒子在環(huán)形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間考向三帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題4．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）（多選）如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P點(diǎn)有一粒子源，某時(shí)刻粒子源向磁場(chǎng)所在區(qū)域與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)所有方向發(fā)射大量質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子，粒子的速度大小相等，這些粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置均位于PQ圓弧上且Q點(diǎn)為最遠(yuǎn)點(diǎn)。已知PQ圓弧長(zhǎng)等于磁場(chǎng)邊界周長(zhǎng)的四分之一，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，則（）A．粒子從P點(diǎn)入射的速率B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)