平面向量基本定理及經(jīng)典例題及平面向量基本定理導(dǎo)學(xué)案

PAGE1-平面向量基本定理一．教學(xué)目標(biāo)：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)概念，會用坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算，掌握向量坐標(biāo)形式的平行的條件；教學(xué)重點(diǎn):用向量的坐標(biāo)表示向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算和平行.二.課前預(yù)習(xí)1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，則x的值為()A、B、C、D、22.下列各組向量，共線的是()3.已知點(diǎn),且,則____4．已知點(diǎn)和向量=,若=3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為三.知識歸納1.平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)___________向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使成立。其中叫做這一平面的一組____________，即對基底的要求是向量___________________；2．坐標(biāo)表示法：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸，軸方向相同的兩個(gè)單位向量，作基底，則對任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，，使、就把_________叫做向量的坐標(biāo)，記作____________。3．向量的坐標(biāo)計(jì)算：（0，0）為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則向量的坐標(biāo)為＝___________，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為（，），（，），則向量的坐標(biāo)為＝___________________，即平面內(nèi)任一向量的坐標(biāo)等于表示它的有向線段的____點(diǎn)坐標(biāo)減去____點(diǎn)坐標(biāo)．4．線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：A（，），B（，）線段中點(diǎn)為M，則有： =________________，M點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________．5．兩個(gè)向量平行的充要條件是：向量形式：；坐標(biāo)形式：．6.=（x,y）,則=___________.與共線的單位向量是：四．例題分析：例1.(1)、已知M（－2，7）、N（10，－2），點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且＝－2，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）(2)、已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則與向量同向的單位向量是（）（A）(B)(C)(D)(3)、若=（2，3），=（－4，7），則在方向上的投影為____________。例2．(1)已知向量，，且，求實(shí)數(shù)的值。(2)已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b與c共線，則k=______例3．已知，（1）求；（2）當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，與平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？例4．如圖，平行四邊形ABCD中，分別是的中點(diǎn)，為交點(diǎn)，若，，（1）試以，為基底表示、；（2）求證：A、G、C三點(diǎn)共線。例5.如圖，平行四邊形ABCD中，BE=BA，BF=BD，求證：E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線。（利用向量證明）五．課后作業(yè)：1．且，則銳角為()2．平面內(nèi)有三點(diǎn)，且∥，則的值是（）153．如果,是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列命題中正確的是（）若實(shí)數(shù)使，則空間任一向量可以表示為，這里是實(shí)數(shù)對實(shí)數(shù)，向量不一定在平面內(nèi)對平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)有無數(shù)對4.下列各組向量中：①②③其中能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（） A．① B．①③ C．②③ D．①②③5.若A(-1,-2),B(4,8),且,則C點(diǎn)坐標(biāo)為；6.已知，，若平行，則λ=；7．已知向量，與方向相反，且，那么向量的坐標(biāo)是__8．已知，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為。9．已知，求，并以為基底來表示。10.向量,當(dāng)為何值時(shí)，三點(diǎn)共線？ 平面向量的數(shù)量積一、教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)，掌握兩向量夾角及兩向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的簡單運(yùn)用．教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用二、課前預(yù)習(xí)：1．已知向量，如果向量與垂直，則的值為（） 2 2.下列命題正確的是

___________①；②；③；④3．平面向量中，已知，且，則向量_________.4．已知向量的方向相同，且，則_______。5．已知向量和的夾角是120°，且，，則=。三、知識歸納1.平面向量的數(shù)量積：（1）定義:·，為與的夾角，；特例：·，2=·=||2；叫做向量的________________；注：（2）.坐標(biāo)運(yùn)算：若=（，），=（，）則·=______________．2.兩個(gè)向量的夾角與長度已知向量=（，），=（，）（1）兩個(gè)向量與的夾角：向量形式：=__________________；坐標(biāo)形式：=__________________．注：（2）向量的長度||2=2=·=___________。||=___________其中=；兩點(diǎn)間的距離公式：||=___________________其中=（，），=（，）．3.向量的平行、垂直如果，兩個(gè)向量=（，），=（，）那么，（1）兩個(gè)向量平行的充要條件是：向量形式：；坐標(biāo)形式：．（2）兩個(gè)向量垂直的充要條件是：向量形式：⊥____________；坐標(biāo)形式：⊥____________．四：例題分析：例1．已知平面上三個(gè)向量、、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，

（1）求證：⊥；（2）若，求的取值范圍.例2．已知：、、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中=（1，2）

（1）若||，且，求的坐標(biāo)；

（2）若||=且與垂直，求與的夾角.例3．1.若向量ａ，ｂ，ｃ滿足ａ∥ｂ且ａ⊥c，則 A．4 B．3 C．2 D．02.已知單位向量，的夾角為60°，則__________3.在正三角形中，是上的點(diǎn)，，則。4.已知向量滿足，且，，則a與b的夾角為.5.在邊長為1的正三角形ABC中,設(shè)則__________________．例4.(1)已知由向量=（3，2），=（1，k）確定的△ABC為直角三角形，求k的值。(2)設(shè)=（3，1），=（－1，2），⊥，∥，試求滿足+=的的坐標(biāo)（O為原點(diǎn)）。五．課后作業(yè)：1．平面內(nèi)有三點(diǎn)，且∥，則的值是（）152.已知，，，則與的夾角是（）A、150B、120C、60D、303．已知向量，，那么的值是（） 14．已知向量,向量則的最大值，最小值分別是（） 16，0 4，05．在中，，的面積是，若，，則6.在ΔABC中,若,則（）A、6B、4C、-6D、-47．已知向量，與方向相反，且，那么向量的坐標(biāo)是__平面上有三個(gè)點(diǎn)A(1,3),B(2,2),C(7,x),若B=,則x=_______8.已知||＝1，||＝，且向量+與2互相垂直，則與的夾角=____9．已知，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為。10.(1)已知向量與的夾角是鈍角,則k的取值范圍是。(2)已知向量與的夾角大于,則k的取值范圍是。11．(1)已知向量，則在上的投影為____________(2)已知||=||=2，與的夾角為600，則+在上的投影為。12．設(shè)為平面上四個(gè)點(diǎn)，，，，且，=，則＝___________________。13.已知||＝1，||＝,(1)若與平行，求;(2)若與的夾角為600求｜｜(3)向量+與互相垂直，求與的夾角.14．已知、是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，，，求：(1);(2)｜｜與｜｜；（3）與的夾角.15．向量都是非零向量，且，求向量與的夾角.§2.3.1平面向量基本定理高一（）班姓名：上課時(shí)間：【目標(biāo)與導(dǎo)入】1、學(xué)習(xí)平面向量基本定理及其應(yīng)用；2、學(xué)會在具體問題中適當(dāng)選取基底，使其他向量能夠用基底來表達(dá)?！绢A(yù)習(xí)與檢測】1、點(diǎn)C在線段AB上，且，,則等于（）ABA、B、C、-D、-AB2、設(shè)兩非零向量不共線，且與共線，則的值為（）。3、已知向量，作出向量與。兩個(gè)向量相加與物理學(xué)中的兩個(gè)力合成相似，如果與力的分解類比，上述所作的分解成兩個(gè)向量：在方向上的____與在方向上的______，則分解成_____與_____。4、閱讀課本P93—94，了解平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_______向量，那么對于這一平面內(nèi)的______向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使_____________，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組__________。5、已知兩個(gè)非零向量，作，則叫做向量與的__________，若,則與_______；若,則與__________；若,則與_______，記作______?！揪v與點(diǎn)撥】HBACD如圖所示，在平等四邊形ABCD中，AH=HD，MC=BC，設(shè)，以為基底表示。HBACD【檢測與糾錯(cuò)】1、設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有（）一定平行的模相等同一平面內(nèi)的任一向量都有若不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量都有P2.在中，，若,=()PA、B、C、D、EACDEACDFBA組：如圖所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，設(shè)，，以，為基底表示。BB組：1、已知向量，其中不共線，則與的關(guān)系（）不共線共線相等無法確定2、若向量不共線，實(shí)數(shù)滿足，則的值為________;3、已知，是一組基底，且，則與__________，與_________.（填共線或不共線）【總結(jié)與體會】1、基底有什么作用？________________________________2、要成為基底需滿足什么條件？______________________3、基底唯一嗎？_______________4、基底確定了，向量分解形式唯一嗎？_____________________§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算高一（）班姓名：上課時(shí)間：【目標(biāo)與導(dǎo)入】1、學(xué)習(xí)平面向量的坐標(biāo)的概念；2、能夠進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【預(yù)習(xí)與檢測】BDAC1、D是的邊AB上的中點(diǎn)，則向量BDACA、B、C、D、2、下列說法：①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可以作為基底中的向量；④基底給定時(shí)，分解形式唯一，是被唯一確定的數(shù)量。其中正確的說法是（）①②②③④①③①②③3、在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即坐標(biāo)）來表示，一個(gè)向量是否也可以用坐標(biāo)來表示呢？若可以，它們是否是一一對應(yīng)的？閱讀課本P95，了解向量坐標(biāo)的定義方法：（1）把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量____________________.（2）在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與方向相同的兩個(gè)單位向量，對于平面上的任一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做的坐標(biāo)，記作=________。這樣用坐標(biāo)表示。4、若，則5、若，則【精講與點(diǎn)撥】例1：如圖，已知，求的坐標(biāo)。思考：若，則例2、已知，求的坐標(biāo)。例3、已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，試求頂點(diǎn)的坐標(biāo)?！緳z測與糾錯(cuò)】完成課本P100練習(xí)1題、2題、3題【作業(yè)與預(yù)習(xí)】A組：1、設(shè)，（1）已知，則點(diǎn)B坐標(biāo)為_______（2）已知，則點(diǎn)B坐標(biāo)為_______（3）已知，則點(diǎn)A坐標(biāo)為_______2、作用在坐標(biāo)原點(diǎn)的三個(gè)力分別為，則合力=_____。3、已知的頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)。B組：4、在中，，，對角線交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)是______.5、已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，求向量的坐標(biāo)。【總結(jié)與體會】本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)？_________________________________________________________________________________________________________________________.§2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示高一（）班姓名：上課時(shí)間：【目標(biāo)與導(dǎo)入】1、理解平面向量共線的坐標(biāo)表示；2、能夠熟練運(yùn)用平面向量共線的坐標(biāo)表示的知識解決有關(guān)向量共線問題?！绢A(yù)習(xí)與檢測】1、若，則2、若，且，則，用坐標(biāo)表示為____________________________，消去有___________________。所以，判斷向量共線的條件有兩種形式：3、證明三點(diǎn)共線的方法：設(shè)，只要證明______________，即可證三點(diǎn)共線。4、設(shè)，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為__________________________.5、設(shè)，當(dāng)時(shí)，______________________.【精講與點(diǎn)撥】例1：已知，且，求。例2：已知，試判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系?！举|(zhì)疑與互動】設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，（1）當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的坐標(biāo)。探究：（2）當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)?！緳z測與糾錯(cuò)】完成《課本》P100練習(xí)4題、5題、6題【作業(yè)與預(yù)習(xí)】A組：1、當(dāng)=_____時(shí)，向量共線。2、已知，若與平行，則的值為_____________。3、若，且，則=（）4、已知，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。B組：1、設(shè)，且，則的值是（）【總結(jié)與體會】本節(jié)課的重點(diǎn)是什么？_________________________________________平面向量基本定理測試班級：成績：時(shí)間：一、選擇題1、若ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)=，=，則向量等于A．+B．－－C．－+D．－2、已知向量和不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(2x﹣y)+4=5+(x﹣2y)，則x+y的值等于（）A．－1B．1C．0D．33、若5EQ\s\up8(→)\d\ba24()AB+3EQ\s\up8(→)\d\ba24()CD=，且|EQ\s\up8(→)\d\ba24()AD|=|EQ\s\up8(→)\d\ba24()BC|，則四邊形ABCD是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形4、設(shè)M是△ABC的重心，則EQ\s\up8(→)\d\ba24()AM=（）A．EQ\F(\s