中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型-一線三等角及“K”模型（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：相似模型--一線三等角及“K”模型一、單選題1．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．矩形中，，，點(diǎn)P是上的動點(diǎn)，當(dāng)時，的長是（

）．

A．1 B．3 C．1或3 D．1或4【答案】D【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)，證明，即可得，進(jìn)而可得，問題隨之得解．【詳解】∵矩形中，，，∴，，，∴，∵，∴，∵在中，，∴，又∵，∴，∴，∴，整理：，解得：，或者，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在運(yùn)動過程中始終保持．當(dāng)時，則的長為（）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】證明，得出，即，求出，得出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．4．如圖，在矩形中，，將點(diǎn)折疊到邊上點(diǎn)處，折痕為，連接，，若點(diǎn)是中點(diǎn)，則長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊，即可得到，，的長；再根據(jù)，利用對應(yīng)邊成比例即可得的長．【詳解】解：矩形中，，

，又是的中點(diǎn)，，中，，由題可得，，，，，，即，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，翻折變換折疊問題實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．5．如圖，在等邊中，點(diǎn)分別在邊上，，若，則的長度為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：為等邊三角形，．．，，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題6．如圖，在邊長為的菱形中，，將菱形沿翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)G落在對角線上．若，則的長為cm，的長為cm．

【答案】2/【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及，可以得到為等邊三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和和平角的意義，得出，對應(yīng)邊成比例，設(shè)，，，由比例式列出方程，再根據(jù)，解出，即可解答．【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∴四邊形是菱形，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，，，∴，即，又，即，解得，∵，即，∴，∴．故答案為：2；．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例式列方程．7．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，若AP⊥DP，則BP的長為．【答案】1或2【分析】設(shè)BP=x，則PC=3-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．【詳解】設(shè)BP=x，則PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的長為1或2，故答案為：1或2【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．【答案】2.4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進(jìn)而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等邊△ABC的邊長為6，∴，解得：．故答案為：2.4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，點(diǎn)D是等邊邊上一點(diǎn)，將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為（點(diǎn)E在邊上）．（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，．【答案】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，再由推出，可得，由此即可得到答案；（2），用表示和，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）∵三角形是等邊三角形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：（2）設(shè)，∴，∵為等邊三角形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，，∴，∴∵，∴，，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形與折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．10．如圖，已知是等邊三角形，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在上，，同時平分和，則，BD的長是．

【答案】【分析】根據(jù)同時平分和得到，，再由，證明，由三角形全等性質(zhì)，，再根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論，根據(jù)和是等邊三角形，證明，設(shè)，利用三角形相似比構(gòu)建方程求解即可．【詳解】同時平分和得到，，，，，，又，故答案為：是等邊三角形，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等與三角形對應(yīng)邊的比是解題的關(guān)鍵．11．如圖，將菱形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)，若，，則的長為．

【答案】【分析】過C作交于F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，，可得和的長，再由求得和的比即可解答；【詳解】解：如圖，過C作交于F，

是菱形，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，則，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識；掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．在等邊中，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，，則的邊長為．

【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，得，從而得出與相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，，；，，，，，的邊長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．綜合利用題目中條件證明出兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．13．如圖，等邊中，、分別在邊，上，，，沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，則．

【答案】【分析】證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，，，得出，解得，可得出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，．，解得或（不合題意，舍去）．．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，且，則度，的長為．

【答案】【分析】延長至使，連接，證明即可求出的長．【詳解】∵，∴，∴延長至使，連接，

∵在中，，∴，∴是等邊三角形∴，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一線三等角模型構(gòu)造輔助線．15．如圖，在等邊中，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，且，則．

【答案】【分析】如圖，作，，垂足為，，利用勾股定理和含角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的線段，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，作，，垂足為，，如圖，設(shè)，，∵等邊，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，同理可得，∴，即，解得，則．故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，通過三角形相似求出相關(guān)線段是關(guān)鍵．16．如圖，矩形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，，且．對角線與交于點(diǎn)G，則的長為．

【答案】【分析】過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，先證明，得出，根據(jù)，得出，，再證明，得出，證明，得出，聯(lián)立求出得出，，最后在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，設(shè)，則，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，解得：，∴，解得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形對應(yīng)邊成比例．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cos∠α＝，下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）【答案】①②④【分析】①根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得．【詳解】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，故①正確；②作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∴BG＝ABcosB，∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，∵BD＝6，∴DC＝10，∴AB＝DC，在△ABD與△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；③當(dāng)∠AED＝90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，∵∠AED＝90°，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，當(dāng)∠CDE＝90°時，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°，∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，∴cosB＝＝，∴BD＝，故③錯誤；④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，設(shè)BD＝y(tǒng)，CE＝x，∴，∴，整理得：y2?16y＋64＝64?10x，即（y?8）2＝64?10x，∴0＜x≤6.4，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，等邊的邊長為，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，將等邊沿過點(diǎn)的直線折疊，該直線與直線交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，且折痕為則的長為．【答案】或．【分析】分情況討論：方法一：當(dāng)點(diǎn)落在如圖1所示的位置時，證明△BMD∽△CDN，得到，根據(jù)設(shè)求出AN；方法二：當(dāng)在的延長線上時，如圖2，同樣方法求出AN.【詳解】方法一：當(dāng)點(diǎn)落在如圖1所示的位置時，是等邊三角形，，，得，得，，設(shè)則，，，，解得；方法二：當(dāng)在的延長線上時，如圖2，與同理可得.得.，，設(shè)則，，，解得：，，故答案為：或.【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題中注意題中的條件“點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處”故點(diǎn)A可在線段BC上，也可在延長線上，應(yīng)分類討論避免漏解.19．如圖，在矩形中，，，分別以、所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，是邊上的一個動點(diǎn)（不與、重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，將沿對折后，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，則的值為．【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，再根據(jù)相似的性質(zhì)得到，通過矩形EAOM的性質(zhì)得到EM的長度，進(jìn)而得到DB的長度，最后在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵四邊形AOBC為矩形，OA=3，OB=4，∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．∴，，，．∵點(diǎn)F在邊BC上，點(diǎn)E在邊AC上，∴，．又∵點(diǎn)E，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，．∴，．∴，．∴，．∵沿EF對折后得到，∴，，．∴．∵軸，∴∴，．∴．∴．∴．∵四邊形AOBC是矩形，∴．又∵軸，∴．∴四邊形EAOM是矩形，∴．在中，滿足，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與長度之間的關(guān)系以及勾股定理，作出合適的輔助線，熟練應(yīng)用以上知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．20．將邊長為15的等邊三角形紙片進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在對邊上的點(diǎn)D處，折痕交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且滿足，則的長為．

【答案】【分析】設(shè)，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，，由折疊的性質(zhì)得：，，，由三角形的外角性質(zhì)得出，證明，得出，，由得出方程，解方程即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時，設(shè)，是等邊三角形，，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，即，解得：，，，，，解得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握折疊變換和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．課題學(xué)習(xí)：【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，，求證：．【思考探究】（2）如圖2，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．【拓展延伸】（3）請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）結(jié)論成立，證明見解析；（3）5；【分析】（1）如圖1，由可得，即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）如圖2，由可得，即可證到，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．（3）證明，求出，再證，可求，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）∵，等腰，∴，∵，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，（負(fù)根舍去）∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用，能夠通過角將問題轉(zhuǎn)化為一線三等角是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，把沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．(1)求證：；(2)若，，求的長．(3)當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明，再利用相似三角形的判定得結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可．（3）由，可得，結(jié)合為的中點(diǎn)，可得，結(jié)合，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∵沿翻折得到，∴．∵，∴．又∵，∴．（2）∵四邊形是矩形，，，∴，，∵沿翻折得到，∴，．在中，．設(shè)CE的長為x，則．∵，∴．∴，即．∴，即．（3）∵，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個角都是直角、矩形的對邊相等”、“折疊前后的兩個圖形全等”、“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”及“相似三角形的對應(yīng)邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，使；(1)求證：；(2)設(shè)，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；(3)當(dāng)為等腰三角形時，求的長．(直接寫出答案，不寫解題過程)．【答案】(1)見解析(2)(3)3或【分析】（1）因?yàn)椋?，得到，，得到，即可得出；?）由（1）得到比例式，代入變形得到；（3）為等腰三角形有三種情況，、、分別利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算即可求解．【詳解】（1）∵，，∴．∵，∴，∴．（2）∵，，，∵，∴，∴．（3）如圖，當(dāng)時∵，∴，∴．如圖，當(dāng)時，∵，∴即點(diǎn)與點(diǎn)重合．∵不與點(diǎn)、重合，舍去．如圖，當(dāng)時，∴，∴，∴．∴，即，∴．綜上所述，的長為3或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)，重點(diǎn)要運(yùn)用對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算，第三問關(guān)鍵在于能夠?qū)Φ妊切芜M(jìn)行分類．24．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，連接、，且．(1)證明：；(2)若，，當(dāng)點(diǎn)D在上運(yùn)動時（點(diǎn)D不與B、C重合），且是等腰三角形，求此時的長．【答案】(1)詳見解析(2)當(dāng)是等腰三角形時，的長為3或【分析】(1)證明即可．(2)利用分類思想，分三種情況計(jì)算求解即可．【詳解】（1）∵∴∵∴∴．（2）當(dāng)時∴∵∴∴∴點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去；當(dāng)時，如圖1，∴∵∴∴AD平分∴AD垂直平分BC∴；當(dāng)時，如圖2∵，∴∽∴∴∵∴，∵∴∴綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時，BD的長為3或．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，使．

(1)求證：；(2)當(dāng)為直角三角形時，求線段長度．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）由題意易得，則有，證明，進(jìn)而問題可證；（2）當(dāng)為直角三角形時，則可分當(dāng)時和當(dāng)時進(jìn)行分類討論求解．【詳解】（1）證明：如圖1，

，，，，，，；（2）解：由題意知，①當(dāng)時，如圖2，

由（1）知，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，②當(dāng)時，如圖3，

由（1）知，，作于點(diǎn)，則，，，，，，．的長是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在線段、上運(yùn)動，并保持

(1)當(dāng)是等腰三角形時，求的長；(2)當(dāng)時，求的長．【答案】(1)或2或1(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，得到啊，，是等腰三角形分三種情況討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)分別求解，即可得到答案；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而得到，，再利用勾股定理，求出，然后證明，利用對應(yīng)邊成比例，即可求出．【詳解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，①如圖1，當(dāng)時，是等腰三角形，此時，點(diǎn)、分別與點(diǎn)、重合，；②如圖2，當(dāng)時，是等腰三角形，此時，，，，，即是等腰三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，；③如圖3，當(dāng)時，是等腰三角形，，且，，在和中，，，，，，綜上可知，當(dāng)是等腰三角形時，的長為或2或1；

（2）解：取的中點(diǎn)，連接，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，由（1）③可知，，又，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論的思想，熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．27．已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個動點(diǎn)，在邊上有一個動點(diǎn)，滿足，求證：；

(2)如圖，若點(diǎn)在射線上運(yùn)動，點(diǎn)在直線上，滿足，當(dāng)時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出，再用平角得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于，構(gòu)造出含角的直角三角形，求出的長度，再用勾股定理求出，進(jìn)而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結(jié)論；（3）先求出的值，進(jìn)而得出的值，再構(gòu)造出直角三角形求出的長度，進(jìn)而得出的值，再求出的長度，最后用面積差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖，過點(diǎn)作于，

∴，∵是等邊三角形，邊長為4，∴，，∴，在中，，，∴，根據(jù)勾股定理得，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下圖，

由（2）知，，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，，∵，∴，，過點(diǎn)作于，在中，，根據(jù)勾股定理得，，過點(diǎn)作于，∵，∴，∴，過點(diǎn)作于，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用．28．已知：如圖，在中，，，，是斜邊上的一個動點(diǎn)，，交射線于點(diǎn)與、不重合），是邊上一點(diǎn)，且．設(shè)、兩點(diǎn)的距離為，的面積為．

(1)若時，求的值．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．(3)當(dāng)與相似時，求的長度．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，過作于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過作于，得到四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，得到，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，，，，，，，，，，過作于，

，，，，，，；（2），，，，過作于，則四邊形是矩形，，，，，，即；（3）設(shè)，由（1）知，，，如圖1，

，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，，，當(dāng)與相似時，有或，，與相似，或，或，解得：或（不合題意舍去），當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖2，，

當(dāng)與相似時，有，，，，，解得：，或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似形三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點(diǎn)P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點(diǎn)D與點(diǎn)E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若△PDE為正三角形時，求BD+CE的值；（3）當(dāng)DE∥BC時，請用BP表示BD，并求出BD的最大值．【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由見解析；（2）8；（3）BD＝，BD的最大值為4．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)解答；（2）證明△BDP≌△CPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝CP，BP＝CE，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；（3）證明△BDP∽△CPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求出BP與BD的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出BD的最大值．【詳解】解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE為正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC為等邊三角形，∴△ADE為等邊三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴，即整理得，BD＝，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值為4．【點(diǎn)睛】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的判斷與性質(zhì)、相似三角形的判斷與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行邏輯證明是解題關(guān)鍵．30．如圖，點(diǎn)D是等邊邊上一點(diǎn)，將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折?為（點(diǎn)E在邊上）．

(1)當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時，的值為______．(2)當(dāng)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)時，的值為______．【答案】(1)1(2)或【分析】（1）連接，根據(jù)三線合一和折疊得到，，進(jìn)而得到，再證明是等邊三角形即可得到即可求出結(jié)果；（2）分兩種情況，和，用k表示和，然后利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：連接，如下圖所示，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，為等邊三角形，∴，，，∵將等邊折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為，∴，∴，∴是等邊三角形，∴,即；（2）解：當(dāng)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)時，共有兩種情況：情況一：當(dāng)時，設(shè)，∴，∵為等邊三角形，由折疊可知，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時，設(shè)，同上一種情況得：，∴，∴，∴，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，翻折變換，利用折疊得出等邊三角形是解第一問的關(guān)鍵，利用相似三角形的周長比等于相似比，再適當(dāng)?shù)挠胟表示邊是解第二問的關(guān)鍵.31．如圖所示，直線與軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B，將沿著y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合，連接，以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線交于點(diǎn)M，使，①求證：；②是否存在點(diǎn)P使為直角三角形?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①見解析；②存在，點(diǎn)有兩個，【分析】（1）根據(jù)A與C關(guān)于y軸對稱，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，即可得到，則，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得，從而證得兩個三角形相似；②首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)時，則有，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得的長，求得P的坐標(biāo)；當(dāng)時，則時，，則此時點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．則P的坐標(biāo)可以求得．【詳解】（1）解：，且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，；（2）①證明：，且，，，又∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，且，，；②解：存在．由題意：，，，當(dāng)時，則有，∴，即，，即：；當(dāng)時，則，，，，，過點(diǎn)B只有一條直線與垂直，∴此時點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，即：符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：．∴使△PBM為直角三角形的點(diǎn)P有兩個，．【點(diǎn)睛】本題是屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題是解題關(guān)鍵．32．在矩形中，點(diǎn)在上，，，．(1)如圖1，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，證明：是等腰三角形；(2)如圖2，點(diǎn)在矩形的邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．求證：；(3)如圖3，若交于點(diǎn)，，其他條件不變，且的面積是6，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先利用矩形性質(zhì)得，再利用同角的余角相等得，根據(jù)已知邊的長度計(jì)算出，則由證得，據(jù)此即可求解；（2）利用兩角對應(yīng)相等證明；（3）作輔助線，構(gòu)建如圖②一樣的相似三角形，利用探究得，則，所以，再利用的面積是6，列式可得，兩式結(jié)合可求得的長，利用勾股定理求，從而得出的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖③，過F作于G，則四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，同理得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．33．閱讀下列材料：如圖1，點(diǎn)A、D、E在直線l上，且，則：，又，故．像這樣一條直線上有三個等角頂點(diǎn)的圖形我們把它稱為“一線三等角”圖形．

請根據(jù)以上閱讀解決下列問題：(1)如圖2，中，，，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作于點(diǎn)D，過B作于點(diǎn)E．求證：．(2)如圖3，在中，點(diǎn)D在上，，，，，求點(diǎn)C到邊的距離．(3)如圖4，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)．若，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)15【分析】（1）由可證，由可證，進(jìn)一步可證；（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作，交延長線于點(diǎn)E，由等腰三角形三線合一，得，進(jìn)一步證得，可證∴，于是，得解點(diǎn)C到的距離為；（3）以點(diǎn)D為端點(diǎn)，作線段，交延長線于點(diǎn)M，則，可證，于是，得，從而求得．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，，∴，．∴．在與中，，∴；（2）解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作，交延長線于點(diǎn)E，

∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在與中，，∴．∴．即點(diǎn)C到的距離為；（3）解：以點(diǎn)D為端點(diǎn)，作線段，交延長線于點(diǎn)M，則．∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴．∴．∴．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；添加輔助線構(gòu)造全等三角形，相似三角形得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．34．如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將含有的三角板的銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，并繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，交邊于、兩點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．

(1)如圖1，求證：(2)如圖2，連接，，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)15【分析】（1）證明，即可得到；（2）如圖，連接，過作于，設(shè)，則，，證明，，可得，可得，，同理：由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得：，，證明，可得，則，可得，，結(jié)合，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵，，將含有的三角板的銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，連接，過作于，

∵，，為中點(diǎn)，∴，，，設(shè)，∴，∵，，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，同理：由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得：，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，（負(fù)根舍去），∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．35．如圖1，點(diǎn)P是線段上與點(diǎn)A，點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別以A，P，B為頂點(diǎn)作，其中∠1與∠3的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線段為等聯(lián)線．

(1)如圖2，在個方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長均為1，為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段．請用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，延長至點(diǎn)B，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，得到，再延長交的延長線于E，連接并延長交的延長線于F，連接．①確定的形狀，并說明理由；②若，求等聯(lián)線和線段的長（用含k的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①等腰直角三角形，理由見解析；②等聯(lián)線，線段【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角即可；（2）①是等腰直角三角形，過點(diǎn)C作交的延長線于N，由折疊得，證明四邊形為正方形，進(jìn)而證明，得出，即可求解；②過點(diǎn)F作于Q，交的延長線于R，則．證明，得出，在中，，，進(jìn)而證明四邊形為正方形，則，由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可．【詳解】（1）解：作圖如下：（方法不唯一）

（2）①是等腰直角三角形．理由為：如圖，過點(diǎn)C作交的延長線于N．

由折疊得，∵，∴四邊形為正方形，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴是等腰直角三角形．②如圖，過點(diǎn)F作于Q，交的延長線于R，則，

∵，∴，由是等腰直角三角形知：，∴，∴，而，∴，在中，，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為正方形，，∵，∴，∴，而，∴，解得：，由①知：，