《4．1數(shù)列的概念》課后分層作業(yè)與同步檢測(cè)試卷（含答案解析）

《4．1數(shù)列的概念》課后分層作業(yè)（第一課時(shí)）[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是擺動(dòng)數(shù)列2．已知數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第24項(xiàng)D．第26項(xiàng)3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．144．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項(xiàng)之積是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]6．?dāng)?shù)列－1,1，－2,2，－3,3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n,n＋1)，則an·an＋1·an＋2＝________.9．觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….10．根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并用圖象表示出來：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)一個(gè)無窮數(shù)列{an}的前三項(xiàng)是1,2,3，下列可以作為其通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．a(chǎn)n＝eq\f(6,n2－6n＋11)12．對(duì)任意的a1∈(0,1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列滿足an＋1>an(n∈N*)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()13．已知數(shù)列2，eq\f(7,4)，2，…的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(an2＋b,cn)，則a4＝________，a5＝________.14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)eq\f(98,101)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？若沒有，說明理由．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是擺動(dòng)數(shù)列解析：選D數(shù)列是有序的，而數(shù)集是無序的，所以A，B不正確；選項(xiàng)C中的數(shù)列是遞減數(shù)列；選項(xiàng)D中的數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．2．已知數(shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第24項(xiàng)D．第26項(xiàng)解析：選C由eq\f(n,n＋1)＝0.96，解得n＝24.3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14解析：選C觀察數(shù)列可知，后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，故x＝5＋8＝13.4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項(xiàng)之積是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)解析：選Ba1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]解析：選Can＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．?dāng)?shù)列－1,1，－2,2，－3,3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．解析：注意到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)即可得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*))7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．解析：由an＝19－2n>0，得n<eq\f(19,2).∵n∈N*，∴n≤9.答案：98．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n,n＋1)，則an·an＋1·an＋2＝________.解析：an·an＋1·an＋2＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n＋1,n＋2)·eq\f(n＋2,n＋3)＝eq\f(n,n＋3).答案：eq\f(n,n＋3)9．觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….解：(1)根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為12，把各項(xiàng)都改寫成以12為分母的分?jǐn)?shù)，則序號(hào)123456↓↓↓↓↓↓eq\f(9,12)eq\f(8,12)eq\f(7,12)________eq\f(5,12)eq\f(4,12)于是應(yīng)填eq\f(6,12)，而分子恰為10減序號(hào)，故應(yīng)填eq\f(1,2)，通項(xiàng)公式為an＝eq\f(10－n,12).(2)eq\f(\r(5),3)＝eq\f(\r(4＋1),4－1)，eq\f(\r(17),15)＝eq\f(\r(16＋1),16－1)，eq\f(\r(26),24)＝eq\f(\r(25＋1),25－1)，eq\f(\r(37),35)＝eq\f(\r(36＋1),36－1).只要按上面形式把原數(shù)改寫，便可發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)與序號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：分子為序號(hào)加1的平方與1的和的算術(shù)平方根，分母為序號(hào)加1的平方與1的差．故應(yīng)填eq\f(\r(10),8)，通項(xiàng)公式為an＝eq\f(\r(n＋12＋1),n＋12－1).(3)因?yàn)?＝eq\f(2,1)，1＝eq\f(2,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，所以數(shù)列缺少部分為eq\f(2,3)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n).(4)先將原數(shù)列變形為1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，___，4eq\f(1,16)，…，所以應(yīng)填3eq\f(1,8)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n＋eq\f(1,2n).10．根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并用圖象表示出來：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.圖象如圖①.(2)a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,3)，a4＝eq\f(5,4)，a5＝eq\f(6,5).圖象如圖②.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)一個(gè)無窮數(shù)列{an}的前三項(xiàng)是1,2,3，下列可以作為其通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．a(chǎn)n＝eq\f(6,n2－6n＋11)解析：選AD對(duì)于A，若an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意；對(duì)于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，則a1＝－11，不符合題意；對(duì)于C，若an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1，當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝4≠3，不符合題意；對(duì)于D，若an＝eq\f(6,n2－6n＋11)，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意．故選A、D.12．對(duì)任意的a1∈(0,1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列滿足an＋1>an(n∈N*)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()解析：選A據(jù)題意，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列{an}，滿足an＋1>an，即該函數(shù)y＝f(x)的圖象上任一點(diǎn)(x，y)都滿足y>x，結(jié)合圖象，只有A滿足，故選A.13．已知數(shù)列2，eq\f(7,4)，2，…的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(an2＋b,cn)，則a4＝________，a5＝________.解析：將a1＝2，a2＝eq\f(7,4)代入通項(xiàng)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,c)＝2，,\f(4a＋b,2c)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3a，,c＝2a，))∴an＝eq\f(n2＋3,2n)，∴a4＝eq\f(42＋3,2×4)＝eq\f(19,8)，a5＝eq\f(52＋3,2×5)＝eq\f(14,5).答案：eq\f(19,8)eq\f(14,5)14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？解：(1)∵an＝pn＋q，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.(2)令an＝－eq\f(255,256)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\f(255,256)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(1,256)，解得n＝8.故－eq\f(255,256)是{an}中的第8項(xiàng)．(3)由于an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n隨n的增大而減小，因此an的值隨n的增大而減小，故{an}是遞減數(shù)列．[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)eq\f(98,101)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？若沒有，說明理由．解：(1)設(shè)an＝f(n)＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).令n＝10，得第10項(xiàng)a10＝f(10)＝eq\f(28,31).(2)令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，得9n＝300.此方程無正整數(shù)解，所以eq\f(98,101)不是該數(shù)列中的項(xiàng)．(3)證明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，且n∈N*，∴0<1－eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.∴數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)．(4)令eq\f(1,3)<an＝eq\f(3n－2,3n＋1)<eq\f(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1<9n－6，,9n－6<6n＋2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n>\f(7,6)，,n<\f(8,3).))∴當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，上式成立，故在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為a2＝eq\f(4,7).《4．1數(shù)列的概念》課后分層作業(yè)第二課時(shí)數(shù)列的遞推公式與前n項(xiàng)和[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，則a5等于()A．15B．16C．31D．322．若數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，則a17＝()A．13B．14C．15D．163．(多選)數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)是()A．第4項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)4．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)5．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．656．函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0＝5，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2021＝________.x12345f(x)513427．如圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝________.8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________．9．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前四項(xiàng)，并寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．10．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x).數(shù)列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，且數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則S1008等于()A．504B．294C．－294D．－50412．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－113．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，則a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．14．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，則這個(gè)數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出最大項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案解析[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，則a5等于()A．15B．16C．31D．32解析：選C∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.2．若數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，則a17＝()A．13B．14C．15D．16解析：選A由an＋1＝eq\f(4an＋3,4)得an＋1－an＝eq\f(3,4)，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋eq\f(3,4)×16＝13，故選A.3．(多選)數(shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)是()A．第4項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)解析：選BCan＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2＋eq\f(121,4)，∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝5或n＝6時(shí)，an取最大值．故選B、C.4．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)解析：選C由題意得ak＝eq\f(n,k).k≥2時(shí)，ak－1ak＝eq\f(n2,k－1k)＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k))).∴n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))))＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝n(n－1)．故選C.5．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．65解析：選C∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.6．函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0＝5，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2021＝________.x12345f(x)51342解析：根據(jù)定義可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期為3，故x2021＝673×3＋x2＝1.答案：17．如圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝________.解析：因?yàn)镺A1＝1，OA2＝eq\r(2)，OA3＝eq\r(3)，…，OAn＝eq\r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，…，an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________．解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.答案：－19．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前四項(xiàng)，并寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(n－1)2.(2)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,2)，a4＝eq\f(5,2).它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n＋1,2).(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－1＋1.10．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x).數(shù)列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，∴f(an)＝an－eq\f(1,an)，∵f(an)＝－2n.∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0.∴an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，且數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則S1008等于()A．504B．294C．－294D．－504解析：選C∵a1＝2，an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq\f(1,3)，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴數(shù)列{an}的周期為4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq\f(7,6)，∴S1008＝S4×252＝252×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－294.12．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－1解析：選AC根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故選A、C.13．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，則a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．解析：由a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，得a2＝aeq\o\al(2,1)－1＝12－1＝0，a3＝aeq\o\al(2,2)－1＝02－1＝－1，a4＝aeq\o\al(2,3)－1＝(－1)2－1＝0，a5＝aeq\o\al(2,4)－1＝02－1＝－1，由此可猜想當(dāng)n＞1，n為奇數(shù)時(shí)an＝－1，n為偶數(shù)時(shí)an＝0，∴a2021＝－1，|an＋an＋1|＝1.答案：－1114．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：∵anan－1＝an－1－an，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝1.∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝2＋1＋1＋…＋eq\o(1,\s\do4(n－1個(gè)1))＝n＋1.∴eq\f(1,an)＝n＋1，∴an＝eq\f(1,n＋1)(n≥2)．又∵n＝1時(shí)，a1＝eq\f(1,2)，符合上式，∴an＝eq\f(1,n＋1).[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，則這個(gè)數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出最大項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：存在最大項(xiàng)．理由：a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(22,22)＝1，a3＝eq\f(32,23)＝eq\f(9,8)，a4＝eq\f(42,24)＝1，a5＝eq\f(52,25)＝eq\f(25,32)，….∵當(dāng)n≥3時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋12,2n＋1)×eq\f(2n,n2)＝eq\f(n＋12,2n2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2<1，∴an＋1<an，即n≥3時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝eq\f(9,8).∴當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(9,8)為這個(gè)數(shù)列的最大項(xiàng)．《4.1數(shù)列的概念》同步檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是擺動(dòng)數(shù)列2．已知數(shù)列，，，…，，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第24項(xiàng)D．第26項(xiàng)3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．144．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項(xiàng)之積是()A.B．5C．6D．5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]6．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)是()A．第4項(xiàng)B．第6項(xiàng)C．第5項(xiàng)D．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.①第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)8．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．65二、多選題9．(多選)一個(gè)無窮數(shù)列{an}的前三項(xiàng)是1,2,3，下列可以作為其通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝n2－n＋1D．a(chǎn)n＝10．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－111．已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為（）A． B．C． D．12．“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．記大衍數(shù)列為，其前n項(xiàng)和為，則（）A．B．C．D．三、填空題13．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，則an·an＋1·an＋2＝________.15.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，則a1＋a3的值為________．16.如圖(1)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(2)中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝________.四、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大．18．在數(shù)列中，.（1）-107是不是該數(shù)列中的某一項(xiàng)？若是，其為第幾項(xiàng)？（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng).19．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.（1）寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）由（1）寫出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式；（3）實(shí)數(shù)是否為這個(gè)數(shù)列中的一項(xiàng)？若是,應(yīng)為第幾項(xiàng)？20．已知數(shù)列.(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？若沒有，說明理由．21．已知函數(shù)f(x)＝x－.數(shù)列{an}滿足f(an)＝－2n，且an>0.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．22．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)，則這個(gè)數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出最大項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案解析一、單選題1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B．?dāng)?shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是擺動(dòng)數(shù)列【答案】D【解析】數(shù)列是有序的，而數(shù)集是無序的，所以A，B不正確；選項(xiàng)C中的數(shù)列是遞減數(shù)列；選項(xiàng)D中的數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．2．已知數(shù)列，，，…，，則0.96是該數(shù)列的()A．第20項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第24項(xiàng)D．第26項(xiàng)【答案】C【解析】由＝0.96，解得n＝24.3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】觀察數(shù)列可知，后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，故x＝5＋8＝13.4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log(n＋1)(n＋2)，則它的前30項(xiàng)之積是()A.B．5C．6D．【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]【答案】C【解析】an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－n2＋11n，則此數(shù)列最大項(xiàng)是()A．第4項(xiàng)B．第6項(xiàng)C．第5項(xiàng)D．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)【答案】D【解析】an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝5或n＝6時(shí)，an取最大值．故選D.7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.①第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘n，得到數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)【答案】C【解析】由題意得ak＝.k≥2時(shí)，ak－1ak＝.∴n≥2時(shí)，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2＝n2＝n(n－1)．故選C.8．由1,3,5，…，2n－1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，則b6的值是()A．9B．17C．33D．65【答案】C【解析】∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.二、多選題9．(多選)一個(gè)無窮數(shù)列{an}的前三項(xiàng)是1,2,3，下列可以作為其通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n3－6n2－12n－6C．a(chǎn)n＝n2－n＋1D．a(chǎn)n＝【答案】AD【解析】對(duì)于A，若an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意；對(duì)于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，則a1＝－11，不符合題意；對(duì)于C，若an＝n2－n＋1，當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝4≠3，不符合題意；對(duì)于D，若an＝，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合題意．故選A、D.10．(多選)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－1【答案】AC【解析】根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故選A、C.11．已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因?yàn)閿?shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，選項(xiàng)A：不符合題設(shè)；選項(xiàng)B：，符合題設(shè)；選項(xiàng)C：，不符合題設(shè)；選項(xiàng)D：，符合題設(shè).