高中數(shù)學(xué)《7.4 二項(xiàng)分布與超幾何分布》課件與導(dǎo)學(xué)案

人教2019A版選擇性必修第三冊第一課時(shí)二項(xiàng)分布

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解伯努利試驗(yàn)以及n重伯努利試驗(yàn)的概念,掌握隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算;2.能夠解決隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用問題，會(huì)求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的均值和方差.問題導(dǎo)學(xué)問題1：伯努利試驗(yàn)在實(shí)際問題中，有許多隨機(jī)試驗(yàn)與擲硬幣試驗(yàn)具有相同的特征，它們只包含兩個(gè)可能結(jié)果.例如，檢驗(yàn)一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時(shí)中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陽性或陰性等.我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)（Bernoullitrials).

我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)。顯然，n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：(1）同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；（概率相同）(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.做一做:下面3個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)?如果是,那么其中的伯努利試驗(yàn)是什么?對(duì)于每個(gè)試驗(yàn),定義“成功”的事件為A,那么A的概率是多大?重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少？1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.2.某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.3.一批產(chǎn)品的次品率為5%，有放回地隨機(jī)抽取20件.做一做隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)P(A)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)1是拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣0.5102是某飛碟運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊0.833是從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件0.9520探究1：伯努利試驗(yàn)和n重伯努利試驗(yàn)有什么不同?問題探究伯努利試驗(yàn)是一個(gè)“有兩個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)”，只能關(guān)注某個(gè)事件發(fā)生或不發(fā)生；n重伯努利試驗(yàn)是對(duì)一個(gè)“有兩個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)”重復(fù)進(jìn)行了n次，所以關(guān)注點(diǎn)是這n次重復(fù)試驗(yàn)中“發(fā)生”的次數(shù)X.進(jìn)一步地，因?yàn)閄是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，所以我們實(shí)際關(guān)心的是它的概率分布列.問題2：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？用Ai表示“第i次射擊中靶”(i=1，2，3)，用如下圖的樹狀圖表示試驗(yàn)的可能結(jié)果：問題導(dǎo)學(xué)

探究2：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些？寫出中靶次數(shù)X的分布列.

X01…k…np……概念解析概念解析

概念辨析例1：將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)的概率.

分析:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等,這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn),因此,正面朝上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布。典例解析例2：如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列。分析：小球落入哪個(gè)格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結(jié)果,設(shè)試驗(yàn)為觀察小球碰到小木釘后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結(jié)果,且概率都是0.5.在下落的過程中,小球共碰撞小木釘10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響,因此這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn),小球最后落入格子的號(hào)碼等于向右落下的次數(shù),因此X服從二項(xiàng)分布。典例解析

X的概率分布圖如下圖所示：歸納總結(jié)例3：甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利?

分析:判斷哪個(gè)賽制對(duì)甲有利,就是看在哪個(gè)賽制中甲最終獲勝的概率大,可以把“甲最終獲勝”這個(gè)事件,按可能的比分情況表示為若干事件的和,再利用各局比賽結(jié)果的獨(dú)立性逐個(gè)求概率;也可以假定賽完所有n局,把n局比賽看成n重伯努利試驗(yàn),利用二項(xiàng)分布求“甲最終獲勝”的概率。典例解析

探究3：假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？

一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).問題探究證明：∵P(X=k)=Cnkpkqn-k(∵kCnk=n

Cn-1k-1)∴kP(X=k)=kCnkpkqn-k=npCn-1k-1pk-1qn-k∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2

+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).典例解析當(dāng)堂達(dá)標(biāo)課堂小結(jié)

《第一課時(shí)二項(xiàng)分布》導(dǎo)學(xué)案7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實(shí)例了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征.2.能用二項(xiàng)分布解決簡單的實(shí)際問題.通過學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布的概念及研究其數(shù)字特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究“三個(gè)臭皮匠頂個(gè)諸葛亮”是在中國民間流傳很廣的一句諺語，這句諺語是非常有道理的，下面我們從概率的角度來探討一下這個(gè)問題：假如劉備手下有諸葛亮和9名謀士組成的智囊團(tuán)，假定對(duì)某事進(jìn)行決策時(shí)，每名謀士決策正確的概率為0.7，諸葛亮決策正確的概率為0.85，現(xiàn)在要為某事能否可行征求每位謀士的意見，并按照多數(shù)人的意見作出決策，試比較諸葛亮和智囊團(tuán)決策正確概率的大?。畣栴}上述情境中的問題，假如讓你猜想的話，你能得到正確的答案嗎？提示智囊團(tuán)決策正確的概率要大于諸葛亮決策正確的概率，具體怎么計(jì)算的通過學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容即可解決．1．n重伯努利試驗(yàn)的概念

只包含____個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．2．n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征 (1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次； (2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．兩3．二項(xiàng)分布

一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：P(X＝k)＝_________________，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作__________________．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝________________．X～B(n，p)np(1－p)拓展深化[微判斷]1．在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響． (

)2．在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率可以不同．(

)

提示在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率均相同．×√√[微訓(xùn)練]2．連續(xù)擲一枚硬幣5次，

恰好有3次出現(xiàn)正面向上的概率是__________．3．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，

此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為__________．

解析設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則X～B(3，0.6)．[微思考]1．你能說明兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系嗎？

提示兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)中，當(dāng)n＝1時(shí)，二項(xiàng)分布便是兩點(diǎn)分布，也就是說二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的一般形式．2．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互有影響嗎？

提示

在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互之間無影響．因?yàn)槊看卧囼?yàn)是在相同條件下獨(dú)立進(jìn)行的，所以第i＋1次試驗(yàn)的結(jié)果不受前i次結(jié)果的影響(其中i＝1，2，…，n－1).

題型一n重伯努利試驗(yàn)的判斷【例1】判斷下列試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn)： (1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上； (2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中； (3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球．解(1)由于試驗(yàn)的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗(yàn)．(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗(yàn)．(3)每次抽取時(shí)，球的個(gè)數(shù)不一樣多，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗(yàn)．規(guī)律方法

n重伯努利試驗(yàn)的判斷依據(jù)(1)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行．(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，互不影響．【訓(xùn)練1】下列事件：①運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒射中目標(biāo)”；④在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)．

其中是n重伯努利試驗(yàn)的是(

) A．① B．② C．③ D．④

解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互獨(dú)立事件；④是n重伯努利試驗(yàn)．

答案D題型二n重伯努利試驗(yàn)概率的求法【例2】某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算：(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位) (1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率； (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率．

解(1)記“預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確”為事件A，則P(A)＝0.8. 5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次伯努利試驗(yàn)． “恰有2次準(zhǔn)確”的概率為(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為所以所求概率為1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.規(guī)律方法n重伯努利試驗(yàn)概率求解的關(guān)注點(diǎn)(1)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式．(2)運(yùn)用n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求概率時(shí)，首先判斷問題中涉及的試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)，判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，并且每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種(即要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，在任何一次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率都相等，然后用相關(guān)公式求概率．解(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也就是在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又因?yàn)楦鞔紊鋼舻慕Y(jié)果互不影響，故所求概率為(2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)，符合n重伯努利試驗(yàn)概率模型．故所求概率為X的分布列為(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(X≤3)，規(guī)律方法解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量X服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解．若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【訓(xùn)練3】

某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%. (1)求從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差； (2)求從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及

標(biāo)準(zhǔn)差．

解(1)用Y表示抽得的正品數(shù)，則Y＝0，1. Y服從兩點(diǎn)分布，且P(Y＝0)＝0.02，P(Y＝1)＝0.98，

所以D(Y)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196. (2)用X表示抽得的正品數(shù)，則X～B(10，0.98)，

所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．n重伯努利試驗(yàn)要從三方面考慮：第一，每次試驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行的；第二，各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；第三，每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．答案B答案C3．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為X，則D(X)等于(

)解析因?yàn)閄～B(2，p)，所以X的分布列為人教2019A版選擇性必修第三冊第二課時(shí)超幾何分布

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解超幾何分布,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;2.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識(shí)解決實(shí)際問題,會(huì)求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值.問題導(dǎo)學(xué)問題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.（1）：采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？

采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即X～B(4，0.08).（2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列.

問題探究概念解析1.公式中個(gè)字母的含義N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對(duì)應(yīng)的概率和必須為1.概念解析概念辨析例1：從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率.解:

設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1),

則X服從超幾何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被選中的概率為典例解析例2.一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測，求至少有1件不合格的概率.

典例解析歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練探究1：服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?

問題探究概念解析典例解析例6.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解:(1)對(duì)于有放回摸球,由題意知??~??(20,0.4),??的分布列為對(duì)于不放回摸球,由題意知??服從超幾何分布，??的分布列為

0.0500.100.150.200.25兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取一次,對(duì)N的影響很小.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.二項(xiàng)分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對(duì)于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布.歸納總結(jié)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2.超幾何分布的均值1.超幾何分布課堂小結(jié)《第二課時(shí)超幾何分布》導(dǎo)學(xué)案7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值.2.能用超幾何分布解決簡單的實(shí)際問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究2020年春節(jié)前一場新型冠狀病毒肺炎像場風(fēng)一樣，席卷了全國，中國湖北成為重災(zāi)區(qū)，為了更好地支援湖北抗擊疫情，某醫(yī)院派出16名護(hù)士，4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊(duì)伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去黃岡支援，設(shè)X表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)．問題X的可能取值有哪些，你能求出當(dāng)X＝2時(shí)對(duì)應(yīng)的概率嗎？這里的X的概率分布有怎樣的規(guī)律？1．超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

其中n，N，M∈N*

，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2．超幾何分布的期望拓展深化[微判斷]1．超幾何分布的總體里只有兩類物品．

(

)2．超幾何分布的模型是不放回抽樣．

(

)3．超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望值都為np. (

)√√√[微訓(xùn)練]1．設(shè)袋中有80個(gè)紅球、20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為(

)2．在含有5名男生的100名學(xué)生中，任選3人，求恰有2名男生的概率表達(dá)式為______．[微思考]

超幾何分布模型在形式上有怎樣的特點(diǎn)？

提示

在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．題型一利用超幾何分布的公式求概率【例1】在元旦晚會(huì)上，數(shù)學(xué)老師設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，從中任意摸出5個(gè)球，至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率(結(jié)果保留兩位小數(shù))．

解設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中獎(jiǎng)的概率為P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)規(guī)律方法超幾何分布是一種常見的隨機(jī)變量的分布，所求概率分布問題由明顯的兩部分組成，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分.【訓(xùn)練1】某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為(

)題型二超幾何分布的分布列【例2】某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)． (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率； (2)某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．解(1)由題意知，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6人．(2)根據(jù)題意，知X的所有可能取值為1，2，3.規(guī)律方法解決超幾何分布問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．【訓(xùn)練2】從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng)． (1)求所選3人中恰有一名男生的概率； (2)求所選3人中男生人數(shù)X的分布列．∴X的分布列為題型三超幾何分布的綜合應(yīng)用【例3】某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同)． (1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率； (2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及期望．所以隨機(jī)變量X的分布列是二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．今有電子元件50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，則出現(xiàn)二級(jí)品的概率為(

)答案C3．從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過1人的概率為__________．

解析設(shè)所選女生數(shù)為隨機(jī)變量X，X服從超幾何分布，4．從含有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋中任取3球，則所取出的3個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為__________．5．交5元錢，可以參加一次摸獎(jiǎng)，一袋中有同樣大小的球10個(gè)，其中8個(gè)標(biāo)有1元錢，2個(gè)標(biāo)有5元錢，若摸獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎(jiǎng)人所得錢數(shù)的分布列．

解設(shè)抽獎(jiǎng)人所得錢數(shù)為隨機(jī)變量X，則X＝2，6，10.故X的分布列為7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥孔子是我國古代著名的教育家、思想家,留下了許多至理名言,其中“三人行,必有我?guī)熝伞笔俏覀兇蠹叶际熘囊痪湓?孔子的學(xué)問很高,但他也很謙虛,自稱與任意兩人(加上自己共三人)同行,則他們中間一定有一個(gè)人可以做自己的老師.這是孔子自謙的一句話,那么實(shí)際情況怎么樣呢?我們不妨從概率的角度來看一下.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、二項(xiàng)分布1.伯努利試驗(yàn):我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).2.n重伯努利試驗(yàn):我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征:(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥3.二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).4.二項(xiàng)分布的均值與方差(1)兩點(diǎn)分布:若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)二項(xiàng)分布:若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ,則D(ξ)=(

)答案:A

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、超幾何分布1.定義:一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品、7件正品,現(xiàn)從中抽取5件,求抽得次品件數(shù)ξ的分布列.解:由題意知ξ服從參數(shù)N=10,M=3,n=5的超幾何分布.ξ的可能取值為0,1,2,3,則激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥故隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ0123P

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測n重伯努利試驗(yàn)概率的求法例1甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是

,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響.(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答)(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)若兩人各射擊2次,求甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

1.在本例(2)的條件下,求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.在本例(2)的條件下,求甲未擊中,乙擊中2次的概率.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

n重伯努利試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟(1)判斷:依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn).(2)分拆:判斷所求事件是否需要分拆.(3)計(jì)算:就每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位):(1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率;(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次伯努利試驗(yàn).“恰有2次準(zhǔn)確”的概率為因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”.所以所求概率為1-P=1-0.006

72≈0.99.所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布例2某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的均值;(2)求重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)Y的均值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表.

X01P0.40.6則E(X)=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0.6),則E(Y)=5×0.6=3.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率,則(1)兩點(diǎn)分布E(X)=p;(2)二項(xiàng)分布E(X)=np.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量,提高解題速度.2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析(1)相同點(diǎn):一次試驗(yàn)中要么發(fā)生,要么不發(fā)生.(2)不同點(diǎn):①隨機(jī)變量的取值不同,兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0,1,二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值為0,1,2,…,n.②試驗(yàn)次數(shù)不同,兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn),二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2某人投籃命中率為0.8,重復(fù)5次投籃,命中次數(shù)為X,命中一次得3分,求5次投籃得分的均值.解:設(shè)投籃得分為變量η,則η=3X.依題意,X~B(5,0.8),則E(X)=5×0.8=4,故E(η)=3E(X)=12.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測二項(xiàng)分布的應(yīng)用例3高二(1)班的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知,某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為

,該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性試驗(yàn).(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下一粒種子),求他們的試驗(yàn)中至少有3次發(fā)芽成功的概率.(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下一粒種子),如果在一次試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止試驗(yàn),否則將繼續(xù)進(jìn)行下次試驗(yàn),直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5次.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗(yàn)的次數(shù)ξ的分布列.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)至少有3次發(fā)芽成功,即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.設(shè)5次試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.二項(xiàng)分布的簡單應(yīng)用是求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率.解題的一般思路是:根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量→分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布→找到參數(shù)n,p→寫出二項(xiàng)分布的分布列→將k值代入求解概率.2.利用二項(xiàng)分布求解“至少”“至多”問題的概率,其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率,一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和,或者利用對(duì)立事件求概率.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3在一次抗洪搶險(xiǎn)中,準(zhǔn)備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個(gè)巨大汽油罐,已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為X,求X不小于4的概率.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測超幾何分布例4一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的小球,其中紅球有3個(gè),編號(hào)為1,2,3;黑球有2個(gè),編號(hào)為1,2;白球有1個(gè),編號(hào)為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率