2024年高考試題-數(shù)學(xué)理(全國卷1)解析版

第1頁共19頁2024年高考大綱卷全國Ⅰ理科數(shù)學(xué)試題解析(必修+選修II)第I卷參考公式：如果事件互斥，那么球的外表積公式如果事件相互獨立，那么其中R表示球的半徑球的體積公式如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率其中R表示球的半徑一、選擇題1.A2.B3.B4.A5.C6.A7.D8.C9.B10.C11.D12.B(1)復(fù)數(shù)(A)i(B)(C)12-13(D)12+131．A【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的根本運算,重點考查分母實數(shù)化的轉(zhuǎn)化技巧.【解析1】.【解析2】(2)記,那么A.B.-C.D.-2.B【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【解析1】,所以【解析2】，xAL0AxAL0A那么的最大值為(A)4(B)3(C)2(D)13.B【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力.【解析1】畫出可行域〔如右圖〕，由圖可知,當直線經(jīng)過點A(1,-1)時，z最大，且最大值為.【解析2】，畫圖知過點是最大，〔4〕各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，那么=(A)(B)7(C)6(D)4.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.【解析1】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以,所以(5)的展開式中x的系數(shù)是(A)-4(B)-2(C)2(D)4【解析2】=5；=10，5.C【解析】2x的系數(shù)是-10+12=2(6)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，假設(shè)要求兩類課程中各至少選一門，那么不同的選法共有(A)30種(B)35種(C)42種(D)48種6.A【命題意圖】本小題主要考查分類計數(shù)原理、組合知識,以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析1】:可分以下2種情況:(1)A類選修課選1門,B類選修課選2門,有種不同的選法;(2)A類選修課選2門,B類選修課選1門,有種不同的選法.所以不同的選法共有+種.【解析2】(7)正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為ABCDABCDAABCDA1B1C1D1O【解析1】因為BB1//DD1,所以B與平面AC所成角和DD1與平面AC所成角相等,設(shè)DO⊥平面AC，由等體積法得,即.設(shè)DD1=a,那么,.所以,記DD1與平面AC所成角為,那么,所以.【解析2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC所成角，〔8〕設(shè)a=2,b=In2,c=,那么Aa<b<cBb<c<aCc<a<bDc<b<a8.C【命題意圖】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法那么的應(yīng)用.【解析1】a=2=,b=In2=,而,所以a<b,c==,而,所以c<a,綜上c<a<b.【解析2】a=2=,b=ln2=,，；c=，∴c<a<b(9)、為雙曲線C:的左、右焦點，點p在C上，∠p=，那么P到x軸的距離為(A)(B)(C)(D)9.B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過此題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力.【解析1】不妨設(shè)點P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得，.由余弦定理得cos∠P=,即cos,解得,所以，故P到x軸的距離為【解析2】由焦點三角形面積公式得：〔10〕函數(shù)F(x)=|lgx|,假設(shè)0<a<b,且f(a)=f(b),那么a+2b的取值范圍是(A)(B)(C)(D)10.A【命題意圖】本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易無視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+2b,從而錯選A,這也是命題者的用苦良心之處.【解析1】因為f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+2b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令,由“對勾〞函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在(0,1)上為減函數(shù)，所以f(a)>f(1)=1+=3,即a+2b的取值范圍是(3,+∞).【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，求的取值范圍問題，，過點時z最小為3,∴(C)〔11〕圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為倆切點，那么的最小值為(A)(B)(C)(D)11.D【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法——判別式法,同時也考查了考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解題的能力及運算能力.【解析1】如以下列圖：設(shè),,PABO那么，,，，PABO那么當且僅當時，取“=〞，故的最小值為，應(yīng)選D.【解析2】法一：設(shè)，法二：換元：，或建系：園的方程為，設(shè)，〔12〕在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，假設(shè)AB=CD=2,那么四面體ABCD的體積的最大值為(A)(B)(C)(D)12.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過球這個載體考查考生的空間想象能力及推理運算能力.【解析1】過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB與P,設(shè)點P到CD的距離為,那么有,當直徑通過AB與CD的中點時,,故.【解析2】過CD作平面PCD，AB平面PCD,交AB于P,設(shè)點P到CD的距離為h,那么有，當直徑通過AB與CD的中點時，最大，∴二、填空題13.14.15.16.(13)不等式的解集是.13.[0,2]【命題意圖】本小題主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根號是解根式不等式的根本思路，也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想表達得淋漓盡致.【解析1】原不等式等價于解得0≤x≤2.【解析2】，(14)為第三象限的角，,那么.14．【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角的正切公式,同時考查了根本運算能力及等價變換的解題技能.【解析1】因為為第三象限的角,所以，又<0,所以,于是有,,所以.【解析2】為第三象限的角，，在二象限，y=1xyaO(15)直線與曲線有四個交點，那么的取值范圍是y=1xyaO15.(1,【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的解法,著重考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【解析1】如圖，在同一直角坐標系內(nèi)畫出直線與曲線,觀圖可知，a的取值必須滿足解得.【解析2】由數(shù)型結(jié)合知：(16)是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，那么的離心率為.16.【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,此題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)〞，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑.【解析1】如圖，,作軸于點D1,那么由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得,整理得.兩邊都除以,得,解得.【解析2】設(shè)橢圓方程為：第一標準形式，F(xiàn)分BD所成的比為2，，代入，2024年全國卷1理科數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題題號123456789101112答案ABBACADCBCDB1.A解析：此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法那么.，應(yīng)選A.2.B解析：此題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系以及誘導(dǎo)公式.，，，，應(yīng)選B.Oxy=1x+y=0x-y-2=0yAOxy=1x+y=0x-y-2=0yAZ=x-2y4.A解析：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì).，，選A.另法:由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，成等比數(shù)列,那么×=50,∵>0，所以.5.C解析：此題考查了二項式定理.展開式的通項為，展開式的通項為，因此，展開式的各項為，當時有且或且兩種情況，因此展開式中的系數(shù)為〔-10〕+12=2，應(yīng)選C.6.A解析：此題考查了排列組合知識.不同的選法分兩類，A類選修課1門，B類選修課2門，或者A類選修課2門，B類選修課1門，因此，共有種選法，應(yīng)選A.7.D解析：此題考查了立體幾何中線面角的求法.與平面所成角等于與平面所成角,在三棱錐中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點D在底面內(nèi)的射影為等邊的垂心即中心H，那么為與平面所成角,設(shè)正方體棱長為a,那么，應(yīng)選D.8.C解析：此題考查了代數(shù)式大小比較的方法.，又，，因此，應(yīng)選C.9.B解析：此題考查了雙曲線中有關(guān)焦點三角形的問題.由雙曲線焦點三角形面積公式得，設(shè)P到x軸的距離為h，那么由，，P到x軸的距離為，選B.10.C解析：此題考查了對數(shù)函數(shù)、對數(shù)式的運算性質(zhì)、對勾函數(shù)圖像性質(zhì).由題意，由得，，，因此，，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞減，因此，即的取值范圍是，應(yīng)選C.11.D解析：此題考查了向量數(shù)量積的定義運算，考查了最值的求法，考查了圓的切線性質(zhì).設(shè),,那么，,，，那么當且僅當時，取“=〞，故的最小值為，應(yīng)選D.ABCDMO12.B解析：此題考查了球和多面體的組合體問題，考查了空間想象能力.如圖，過OCD三點作球的截面，交AB于點M，由條件知，、均為邊長為2的等邊三角形，設(shè)M到CD的距離為，A到面MCD的距離為，B到面MCD的距離為，那么，因此，當AB⊥面MCD時，最大，應(yīng)選B.ABCDMO二、填空題13.解析：此題考查了不等式的根本性質(zhì).由得，不等式解集為..axy14.解析：此題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式以及兩角和差的三角函數(shù)公式.由，且為第三象限角得，得，，.axy15．解析：此題考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想解題的策略.如圖，作出的圖像，假設(shè)要使與其有四個交點，需滿足，解得.16.解析：此題考查了橢圓離心率的求解策略.不妨設(shè)橢圓C焦點在軸上，中心在原點，B點為橢圓上頂點，F(xiàn)為右焦點，那么由,得D點到右準線的距離是B點到右準線距離的一半，那么D點橫坐標，由知，F(xiàn)分所成比為2，，由定比分點坐標公式得，得，得.三、解答題17.解：由及正弦定理得從而又故所以18.解：(Ⅰ)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評審；D表示事件：稿件被錄用.那么D=A+B·C,===0.25+0.5×0.3=0.40.(Ⅱ)，其分布列為：期望.19.解法一：(Ⅰ)連接BD,取DC的中點G，連接BG,由此知即為直角三角形，故.又,所以，.作，故與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、BC都垂直DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB所以，SE=2EB(Ⅱ)由知.故為等腰三角形.取中點F,連接,那么.連接，那么.所以，是二面角的平面角.連接AG,AG=,,,所以，二面角的大小為120°.解法二：以D為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如以下列圖的直角坐標系，設(shè)A(1,0,0)，那么B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)〔Ⅰ〕設(shè)平面SBC的法向量為=(a,b,c)由，得故2b-2c=0,-a+b=0令a=1，那么b=c,c=1,=(1,1,1)又設(shè)，那么設(shè)平面CDE的法向量=(x,y,z)由,得，故.令，那么.由平面DEC⊥平面SBC得⊥,故SE=2EB〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，取DE的中點F，那么，故，由此得又，故，由此得，向量與的夾角等于二面角的平面角于是所以，二面角的大小為20.解：〔Ⅰ〕，,題設(shè)等價于.令，那么當，；當時，，是的最大值點，綜上，的取值范圍是.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知，即.當時，；當時，所以21.解：設(shè)，，，的方程為.〔Ⅰ〕將代入并整理得從而直線BD的方程為，即令，得所以點F(1,0)在直線BD上〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，因為，故，解得所以的方程為又由〔Ⅰ〕知故直線BD的斜率，因而直線BD的方程為因為KF為的平分線，故可設(shè)圓心，到及BD的距離分別為.由得，或〔舍去〕，故圓M的半徑.所以圓M的方程為.22.解：〔Ⅰ〕，所以是首項為，公比為4的等比數(shù)列，〔Ⅱ〕用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時.〔ⅰ〕當時，，命題成立；〔ⅱ〕設(shè)當n=k時，，那么當n=k+1時，故由〔ⅰ〕〔ⅱ〕知，當c>2時當c>2時，令，由得當當時，，且于是，當時，因此不符合要求所以c的取值范圍是源2024年