河北省唐山市玉田縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.己知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的值點(diǎn)在第四象限，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知求出，再逐步求得解.【詳解】由題意可得解得.又∵，∴，∴，∴.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2.“”是“直線與直線平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行的條件，建立關(guān)于的關(guān)系式，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)，；兩直線方程分別為：與直線此時(shí)兩直線重合，充分性不成立．若直線與直線平行，則當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為或，此時(shí)兩直線不平行，當(dāng)，若兩直線平行，則，即且，解得，即必要性不成立，故“”是“直線與直線平行”既不充分也不必要條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題在兩條直線平行的情況下求參數(shù)的值．著重考查了直線的方程與直線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．在判斷兩條直線平行時(shí)，應(yīng)該注意兩條直線不能重合，否則會(huì)出現(xiàn)多解而致錯(cuò)．3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)先判斷三個(gè)數(shù)與0，1的大小，從而可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，所以，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)式比較大小，考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題4.若“，使得”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】存在有解，先求值域，可知a的值.【詳解】解：若“，使得，則要有解，∵，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用、簡(jiǎn)易邏輯，屬于基礎(chǔ)題．5.袋子中有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)藍(lán)球，從中任取3個(gè)球，則恰有兩種顏色的概率是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】從6個(gè)球中取三個(gè)球可能的情況三類，一類恰有一種顏色，二類恰有兩種顏色，三種恰有三種顏色，即可求得恰有兩種顏色的概率.【詳解】由題可得，從中任取三個(gè)球一共有種可能的情況，恰有一種顏色的情況有1種，即三個(gè)全是藍(lán)球，恰有三種顏色的情況有種，所以恰有兩種顏色的情況共13種情況，所以其概率為.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查求古典概型，當(dāng)正面分類計(jì)算比較麻煩的情況可以考慮利用對(duì)立事件求解概率.6.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，則不等式解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)解抽象不等式.【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，，所以，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，，即，解得:,解集是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，解抽象不等式，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化的思想，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.7.某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)，其中語文和英語必須連續(xù)安排，數(shù)學(xué)和物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數(shù)為（）A.60 B.48 C.36 D.24【答案】D【解析】【分析】由排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題得：不同的排課方法數(shù)為，得解．【詳解】先將語文和英語捆綁在一起，作為一個(gè)新元素處理，再將此新元素與化學(xué)全排，再在3個(gè)空中選2個(gè)空將數(shù)學(xué)和物理插入即可，即不同的排課方法數(shù)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題，屬中檔題．8.函數(shù)圖象的大致形狀是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可排除A、C；再由的正負(fù)可排除D.【詳解】，，故為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A、C；又，排除D，選B.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)解析式選擇圖象問題，在做這類題時(shí)，一般要結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及特殊點(diǎn)函數(shù)值來判斷，是一道基礎(chǔ)題.9.若的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是A. B.C. D.【答案】D【解析】∵的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴為偶數(shù)，展開式共有項(xiàng)，則.的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得.∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是，故選D．【名師點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可；(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).10.已知函數(shù)在處取極大值，則（）A.－2或－6 B.2或6 C.6 D.2【答案】C【解析】【分析】由題意可知，從而可求得的值，然后再驗(yàn)證在x＝2處是否取得極大值即可【詳解】解：由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取極大值，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以不合題意，當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查由函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，無解，此時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，根據(jù)為增函數(shù)，且可得函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，無解，此時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且.令，得，即，令，則函數(shù)的零點(diǎn)就是的零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，考查了根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.12.已知是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，根據(jù)奇偶性可得在上單調(diào)遞增，原不等式化為，從而可得結(jié)果.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)，也是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，由化為得，，的解集為，故選B.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小,屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，常可使問題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中橫線上.13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則_____________【答案】0.76【解析】【分析】由已知條件可知數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性即可得到結(jié)果.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則曲線的對(duì)稱軸為，，由可得，則故答案為0.76．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求在給定區(qū)間上的概率，求解的關(guān)鍵是把所求區(qū)間用已知區(qū)間表示；正態(tài)曲線的主要性質(zhì)是：（1）正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱；（2）在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1.14.隨著現(xiàn)代科技的不斷發(fā)展，通過交易應(yīng)用越來越廣泛，其中某群體的每位成員使用微信支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用微信支付的人數(shù)，已知方差且＞，則期望=___________.【答案】4【解析】【分析】依題意可知，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式可得或，根據(jù)＞以及二項(xiàng)分布的概率公式可得，所以，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，且，即，解得或，又＞，所以，所以，解得，所以，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布，考查了二項(xiàng)分布的期望、方差公式，考查了二項(xiàng)分布的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.15.甲、乙、丙、丁、戊五人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)只能參加一科競(jìng)賽，若每個(gè)同學(xué)可以自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是____；若甲和乙不參加同一科，甲和丙必須參加同一科，且這三科都有人參加，則不同的選擇種數(shù)是_____.（用數(shù)字作答）【答案】(1).243(2).30【解析】【分析】由分步乘法原理可知每個(gè)同學(xué)可以自由選擇的種數(shù)，根據(jù)題意可分兩類2、2、1和3、1、1安排參加競(jìng)賽，根據(jù)組合與排列即可求解.【詳解】若每個(gè)同學(xué)可以自由選擇，由乘法原理可得，不同的選擇種數(shù)是；因?yàn)榧缀鸵也粎⒓油豢疲缀捅仨殔⒓油豢?，所以?、2、1和3、1、1兩種分配方案.當(dāng)分配方案為2、2、1時(shí)，共有種；當(dāng)分配方案為3、1、1時(shí)，共有種；所以不同的選擇和數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.16.若指數(shù)函數(shù)且與一次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可判斷，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化求解的最大值，從而求出的取值范圍.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)且的圖象與一次函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，設(shè)當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)且的圖象與一次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，設(shè)且與相切于，則，，所以，，解得，此時(shí).即且與恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為考察某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到如下疫苗效果的實(shí)驗(yàn)列聯(lián)表：感染未感染合計(jì)未服用疫苗x30m服用疫苗y40n合計(jì)3070100設(shè)從服用疫苗的動(dòng)物中任取1只，感染數(shù)為，若；（1）求上面的2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，n的值；（2）能夠以多大的把握認(rèn)為這種疫苗有效？并說明理由．附參考公式：，（其中））0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）m=50，x=20，y=10；n=50（2）能夠以95%把握認(rèn)為這種疫苗有效【解析】【分析】（1）服用疫苗的動(dòng)物共有n只，P(ξ=0)=表示未感染的概率，未感染的只數(shù)是40，根據(jù)，則n可求，再由可求，再由可求、（2）把數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，然后同臨界值比較即可.【詳解】解：（1）服用疫苗的動(dòng)物共有n只，∵P(ξ=0)=，∴∴n=50，∴m=50，x=20，y=10（2）由上述2×2列聯(lián)表可得所以能夠以95%的把握認(rèn)為這種疫苗有效.【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率、2×2列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)，考察學(xué)生的計(jì)算能力和分析問題的能力，貼近生活；中檔題.18.已知,命題:對(duì),不等式恒成立；命題，使得成立.（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若假，為真，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），即，可解出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先求出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，再分析出命題、中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，即可的得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵對(duì)任意，不等式恒成立，，即，即，解得，因此，若為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2），且存在，使得成立，，命題為真時(shí)，.∵且為假，或?yàn)檎?，∴、中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題．當(dāng)真假時(shí)，則，解得；當(dāng)假真時(shí)，，即.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用命題的真假求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵就是要確定簡(jiǎn)單命題的真假，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.19.已知函數(shù).(I)當(dāng)a=1時(shí)，①求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；②求函數(shù)f(x)的最小值；(II)求證:當(dāng)時(shí)，曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).【答案】（1）切線方程；；（2）證明見解析【解析】【分析】(I)函數(shù)求導(dǎo)，求出得切線方程；解求單增區(qū)間，解求單減區(qū)間；利用單調(diào)性求最值；(II)構(gòu)造得到函數(shù)調(diào)調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理證有且只有一個(gè)零點(diǎn).【詳解】(I)當(dāng)時(shí)，①函數(shù)，，，即，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.②令，得，令，得，所以在上單增，在單減,函數(shù)的最小值為.(II)當(dāng)時(shí)，曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).等價(jià)于有且只有一個(gè)零點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，在上單增，又，，由零點(diǎn)存性定理得有唯一零點(diǎn)，即曲線與有且只有一個(gè)交點(diǎn).【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及分布區(qū)間的方法：（1）解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上；（2）定理法：利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；（3）數(shù)形結(jié)合法：畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.20.已知某校6個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生的編號(hào)123456數(shù)學(xué)898779817890物理797577737274（1）若在本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的學(xué)生為理科小能手.從這6個(gè)學(xué)生中抽出2個(gè)學(xué)生，設(shè)表示理科小能手的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）通過大量事實(shí)證明發(fā)現(xiàn)，一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，在上述表格是正確的前提下，用表示數(shù)學(xué)成績(jī)，用表示物理成績(jī)，求與的回歸方程.參考數(shù)據(jù)和公式：，其中，.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由題意得1號(hào)學(xué)生、2號(hào)學(xué)生為理科小能手,從而得到X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）利用最小二乘法分別求出，，由此能求出y與x的回歸直線方程．【詳解】（1）由題意得1號(hào)學(xué)生、2號(hào)學(xué)生為理科小能手.的可能取值為：0,1,2P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），的分布列為012（2），xiyi＝37828，xi2＝42476，∴（6）÷（），75﹣×84＝，回歸方程為【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查回歸直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意最小二乘法的合理運(yùn)用．21.小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過54單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)20元.(1)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在時(shí)，日平均派送量為單．若將頻率視為概率，回答下列問題：①估計(jì)這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列及數(shù)學(xué)期望.請(qǐng)利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合適？并說明你的理由.【答案】（1），；（2）①，②見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出解析式，即可（2）①分別計(jì)算出每個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值的個(gè)數(shù)，然后乘以總數(shù)，求和，除以個(gè)數(shù)，即可得到平均值②分別計(jì)算出每個(gè)指標(biāo)下薪資待遇，計(jì)算期望，比較大小，做出選擇．【詳解】（1）甲：，乙：，故為，；（2）①