2024年高三數(shù)學練習題及答案（九）

一、單項選擇題：1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，或，．故選：D．2．圖1是我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”又稱“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，受其啟發(fā)，某同學設計了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形，如圖2所示，若，，則在整個圖形中隨機取點，此點來自中間一個小正三角形陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，在中，可得，即為，解得，，．故選：B．3．計算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選:B4．，若，則等于（）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】，，，解得．故選：5．已知實數(shù)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】實數(shù)，，當，時，，“”推不出“”；反之，實數(shù)，，由基本不等式可得，由不等式的基本性質(zhì)得，整理得，，由基本不等式得，即“”“”．實數(shù)，，則“”是“”的必要不充分條件．故選：B．6．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則使不等式成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，是增函數(shù)且，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則滿足，所以，函數(shù)在上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)，，∴，∴，即，，又，∴，，即原不等式的解集為．故選：C.7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列關于函數(shù)的說法中正確的是（）A．若函數(shù)的兩個不同零點分別為，則的最小值為B．函數(shù)的最大值為2C．函數(shù)的圖象上存在點，使得在點處的切線與直線平行D．函數(shù)圖象的對稱軸方程為【答案】A【解析】由圖象可知，，，，，，，且，，，，：由可得，則的最小值為，故正確；：結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的最大值，故錯誤；：根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，過點的切線斜率，不存在斜率為的切線方程，故錯誤；：令可得，，，故錯誤．故選：．8．如圖，在中，，點D在線段BC上，且，，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】設，則．，，，，，同理，其中，，當時，，．故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為π B．的最大值為2C．的值域為 D．的圖象關于對稱【答案】ACD【解析】∵，，又因為，所以，∴的值域為，由，則的最小正周期為，令，解得，即的圖象關于對稱，綜上可得選項A,C,D正確，選項B錯誤，故答案為ACD.10．設向量，，則下列敘述錯誤的是()A．若時，則與的夾角為鈍角B．的最小值為C．與共線的單位向量只有一個為D．若，則或【答案】CD【解析】對于A選項，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，則，解得且，A選項中的命題正確；對于B選項，，當且僅當時，等號成立，B選項中的命題正確；對于C選項，，與共線的單位向量為，即與共線的單位向量為或，C選項中的命題錯誤；對于D選項，，即，解得，D選項中的命題錯誤.故選：CD.11．某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度，隨機調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學生對食堂的服務給出滿意或不滿意的評價，得到如圖所示的列聯(lián)表.經(jīng)計算的觀測值，則可以推斷出（）滿意不滿意男3020女40100.1000.0500.0102.7063.8416.635A．該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為B．調(diào)研結(jié)果顯示，該學校男生比女生對食堂服務更滿意C．有95%的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異D．有99%的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異【答案】AC【解析】對于選項A,該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為,故A正確；對于選項B,該學校女生對食堂服務滿意的概率的估計值為,故B錯誤；因為,所以有的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異,故C正確,D錯誤故選：AC12．定義運算，設函數(shù)，則下列命題正確的有（）A．的值域為B．的值域為C．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是【答案】AC【解析】由函數(shù)，有,即，作出函數(shù)的圖像如下，根據(jù)函數(shù)圖像有的值域為，若不等式成立，由函數(shù)圖像有當即時成立，當即時也成立.所以不等式成立時，.故選：AC.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項公式______.【答案】【解析】數(shù)列滿足，，，，因此，.故答案為：.14．已知直線與互相垂直，且，則的最大值為______【答案】【解析】直線與互相垂直，且，，可得：，，當且僅當時，取得最大值.故答案為：15．已知圓和圓外切，則的值為__________，若點在圓上，則的最大值為__________．【答案】【解析】（1）由于兩圓外切，所以.（2）點在圓上，所以，所以，因為，所以的最大值為5.此時.故答案為：(1).(2).16．設，，，將的最小值記為.則當是偶數(shù)時，__________；當是奇數(shù)時，__________．【答案】0【解析】根據(jù)的定義，列出的前幾項：，，，，，，，，由此規(guī)律，我們可以推斷：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，.故答案為：；。解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，以為始邊作角與（），它們的終邊與單位圓分別相交于點，已知點.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由三角函數(shù)的定義得,∴原式.故所求值為.（2）∵,,故,∴,∵,∴,∴,∴.18．（本小題滿分12分）數(shù)列的前項和為且滿足，（為常數(shù)，）．（1）求；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實數(shù)的值；（3）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列滿足：可以從中取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】（1）由，得．∴數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，則．∵，，∴，．∴，得；（3）當時，由（1）及，得，即數(shù)列是一個無窮等差數(shù)列．∴當，滿足題意．當時，∵，，即．下面用反證法證明，當，從數(shù)列不能取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列．假設存在，從數(shù)列可以取出無限多項并按原來的先后次序排成一個等差數(shù)列．不妨記為，設數(shù)列的公差為．（1）當時，，∴數(shù)列是各項為正數(shù)的遞減數(shù)列，則．∵，∴當，即，即時，，這與矛盾．（2）當時，令，解得，當時，恒成立，∴數(shù)列是各項為負數(shù)的遞增數(shù)列，則．∵，∴，與矛盾．綜上所述，是唯一滿足條件的的值．19．（本小題滿分12分）某中學的高二（1）班男同學有名，女同學有名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個人的課外興趣小組．（1）求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)；（2）經(jīng)過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是先從小組里選出名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內(nèi)剩下的同學中選一名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率；（3）試驗結(jié)束后，第一次做試驗的甲同學得到的試驗數(shù)據(jù)為、、、、，第二次做試驗的乙同學得到的試驗數(shù)據(jù)為、、、、，請問哪位同學的實驗更穩(wěn)定？并說明理由.【答案】（1）某同學被抽到的概率為，男、女同學的人數(shù)分別為、；（2）；（3）甲同學更穩(wěn)定.【解析】（1），某同學被抽到的概率為，所以，男同學抽取的人數(shù)為，女同學抽取的人數(shù)為，男、女同學的人數(shù)分別為、；（2）設個男同學記為、、，個女同學記為、，則選取兩名同學的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中恰有一名女同學的有種，選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為；（3）可得，，，，甲同學的實驗更穩(wěn)定.20．（本小題滿分12分）如圖，矩形BDEF垂直于正方形ABCD,GC垂直于平面ABCD．且（1）求三棱錐A-（2）求證：面GEF⊥面AEF【答案】（Ⅰ）V=13×1×2=【解析】（1）因為面BDEF⊥面ABCD面BDEF∩面ABCD所以FB又因為CG⊥面ABCD，故CG//因為AB⊥所以AB即三棱錐A-因此三棱錐A-FGC（2）如圖，設EF的中點為M，連結(jié)AM、在RTΔACG中可求得AG=3在直角梯形FBCG、EDCG中可求得在RTΔABF、RTΔADE從而在等腰ΔAEF，等腰ΔGEF中分別求得AM=此時在ΔAMG中有AM所以AM因為M是等腰ΔAEF底邊中點，所以AM⊥所以AM⊥因此面GEF⊥面21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：【答案】（1）時，在上是增函數(shù)，時，在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)（2）證明見解析【解析】（1）易知的定義域為，且，時，在上恒正，所以在上單調(diào)遞增，時，對于，①當，即時，，在上是增函數(shù)；②當，即時，有兩個正根，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減綜上，時，在上是增函數(shù)，時，在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)（2）令，方程有兩個不相等的實根函數(shù)有兩個零點，由定義域為且①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，則至多有一個零點，不符合題意；②當時，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減要使有兩個零點，則，由解得此時易知當時，，令，所以，時，在為增函數(shù)，在為增函數(shù)，，所以，即所以函數(shù)在與各存在一個零點綜上所述，.∴證明證明時，成立設，則易知在上遞減，，在上單調(diào)遞減，所以.22．（本小題滿分12分）已知橢圓：的左頂點為，右焦點為，斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，且，其中為坐標原點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設過