2022年上海高考數(shù)學(xué)預(yù)測模擬試卷三（含答案詳解）

2022年上海高考名師預(yù)測模擬試卷

—.填空題(共12小題)

374

1.三階行列式|156|的值為.

200

2.已知集合4=(fo,2),則A0|N=.

3.與角上萬終邊相同的最小正角的大小是.

6----

4.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)、8(4,4)、C(2,6),則直線AC與08交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

5.某次體檢測得6位同學(xué)的身高分別為172、178、175、180、169、177(單位：厘米)，

則他們身高的中位數(shù)是—(厘米).

6.在AABC中，已知C=60。，b=瓜,c=3,則度.

7.從3個(gè)函數(shù)：y=y=d和y=x中任取2個(gè)，其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(ro,0)內(nèi)

單調(diào)遞增的概率是—.

8.已知6(-2,0)、舄(2,0),設(shè)P是橢圓4+2/=8與雙曲線公-制=2的交點(diǎn)之一,則

\PFI\\PF2\=—.

9.(x+y-z)6的展開式中，孫2?3的系數(shù)是.

10.已知AeR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線fcr+y—1=0和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線了一6-4+3=0交于

點(diǎn)P,則PT+P伊的值為.

11.已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)/(x)=—土1，g(x)=x+a,若對(duì)任意王€[-24,2a],總存在

1+ar

x2e{-2a,2a],使得/(々)”g(N)，則。的最大值為.

12.已知邊長為2的正方形W)邊上有兩點(diǎn)P、Q,滿足|PQ|..l,設(shè)O是正方形的中心,

則麗?麗的取值范圍是—.

二.選擇題(共4小題)

13.已知復(fù)數(shù)z=6-3a+(/-l)i,aeR,貝U“a=0”是"z為純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

14.已知〃用=，9-4。，xe。有反函數(shù)/T(x)=__g歷7?,xeA,則f(x)的定義域。

可能是()

A.B.[-1,0]C.[0,|]D.[-3,3]

15.若無窮等比數(shù)列｛%｝各項(xiàng)的和為4,則4的取值范圍是()

A.(0,8)B.(0,4)U(4,8)

C.(-8,0)50，1)D.(-8,0)50，1]

16.設(shè)。是(0,+oo)的一個(gè)子集，稱函數(shù)y=/(x)(xw￡))為“機(jī)智”的，若存在奇函數(shù)y=g(x),

使得/。)=10屋3),有兩個(gè)命題：

①若對(duì)任意工￡。，都成立/(—)=--—，則y=/(%)是“機(jī)智”的；

XX/W

②若對(duì)任意x,-eD,都成立/(1)=—,貝ljy=/(x)是“機(jī)智”的.

XX/(X)

則下列判斷正確的是()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是假命題D.①、②都是真命題

三.解答題(共5小題)

17.如圖，三棱柱ABC-A,8c的底面是等腰直角三角形，NAC8=N8CG=90。，四邊形

ACC|A是菱形，^CC,=120°.

(1)證明：\C±AB,；

(2)若AC=2,求點(diǎn)G到平面AB4A的距離.

18.已知/(x)=logj(x2-6x+10).

2

(1)解不等式：/(x)?-1；

(2)若y=/(x)在區(qū)間［a,a+1］上的最小值為-2,求實(shí)數(shù)a的值.

19.某工廠承接制作各種彎管的業(yè)務(wù)，其中一類彎管由兩節(jié)圓管組成，且兩節(jié)圓管是形狀、

大小均相同的斜截圓柱，其尺寸如圖1所示（單位：cm）,將其中一個(gè)斜截園柱的側(cè)面沿例

剪開并攤平，可以證明由截口展開而成的曲線A.BCDA,是函數(shù)

f(x)=Mcos(?x)+M(--M生)的圖象，其中M>0,<y>0,如圖2所示.

（1）若a=5,b=13,a=45°,求y=/（x）的解析式；

（2）己知函數(shù)y=/（x）的圖象與x軸圍成區(qū)域的面積可由公式5=至"計(jì)算，若制作該種

CD

類彎管的一節(jié)圓管所用材料面積（即斜截圓柱的側(cè)面積）等于與之底面相同且高為aa”的圓

柱的面積，求a的值（結(jié)果精確到0.01°）.

2c

20.在平面直角坐標(biāo)系x。)，中，已知橢圓￡與雙曲線C:經(jīng)-*=1有共同的中心和準(zhǔn)線,

且雙曲線C的一條漸近線被橢圓E截得的弦長為4垃.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)若過點(diǎn)P(0,㈤存在兩條互相垂直的直線都與橢圓E有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

21.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為N的有窮實(shí)數(shù)列&MN..3)稱為“人數(shù)列”，若其滿足下列三

個(gè)條件：①a,<a2,aN_,>aN；②當(dāng)?shù)笽NT時(shí)，akaM；③當(dāng)?shù)笽NT時(shí)，

+M+2,4<—

4+i—qc.

lak-皿-I，4>aM

(l)若存在4使得數(shù)列1、X、2為“心數(shù)列”，求x的值；

(2)已知存在有窮等比數(shù)列為數(shù)列”，求實(shí)數(shù)2的取值范圍；

(3)設(shè)｛4｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的2"+1項(xiàng)數(shù)列，q=7,4”=9,且當(dāng)砥/10時(shí)，以

4=4”為通項(xiàng)的數(shù)列｛鳥｝(0W211-*,/eN)都是“4數(shù)列”,求數(shù)列《最大項(xiàng)的值.

答案詳解

一.填空題(共12小題)

374

1.三階行列式|1561的值為44.

200

【分析】利用行列式展開式的對(duì)角線法則直接求解.

374

【解答】解：|1561=3x5x0+1x0x4+6x7x2-2x5x4-6x0x3-7x1x0=44.

200

故答案為：44.

2.己知集合A=(-oo,2),則A「|N=_{0

【分析】利用交集定義直接求解.

【解答】解：集合A=(YO,2),

則4「|/7={0,1}.

故答案為：{0，1}.

3.與角身乃終邊相同的最小正角的大小是-.

6一6一

【分析】根據(jù)終邊相同角的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.,和U4終邊相同的角為x=+2匕r,ZwZ,

66

二.當(dāng)人=—1時(shí)，x=—f

6

??.與U乃終邊相同的最小正角是-,

66

故答案為：￡.

6

4,若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(4,0)、8(4,4)、C(2,6),則直線AC與03交點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(3,3)_.

【分析】分別求出直線宜線AC和立線03的方程，聯(lián)》:方程組，戢出直線AC與OB交點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：???。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(4,0)、5(4,4)、C(2,6),

.??直線AC的方程為：二―=9二°,整理得：3x+y-12=0,

x-42-4

直線。8的方程為：-=-.解得x-y=0.

x4

第7頁(共21頁)

|3x+y-12=0

聯(lián)立《八，解得x=3,y=3,

[x-y=0

直線AC與OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).

故答案為：(3,3).

5.某次體檢測得6位同學(xué)的身高分別為172、178、175、180、169、177(單位：厘米)，

則他們身高的中位數(shù)是176(厘米).

【分析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，計(jì)算該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可.

【解答】解：把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為169、172、175、177、178、180,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是gx(175+177)=176.

故答案為：176.

6.在AABC中，已知C=60。，b=瓜,c=3,則3=45度.

【分析】利用正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角，容易求出5.

【解答】解：因?yàn)镃=60°,b=V6,c=3,

由正弦定理得一J=—2—,即_』_=巫，

sinCsinBsin60°sinB

:.sinB力,又因?yàn)閎<c,所以3為銳角，

2

故8=45度.

故答案為：45.

7.從3個(gè)函數(shù)：y=J,y=d和y=x中任取2個(gè)，其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(ro,0)內(nèi)

單調(diào)遞增的概率是--

一3一

【分析】基本事件總數(shù)〃=仁=3,利用列舉法求出其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(ro,0)內(nèi)單

調(diào)遞增包含的基本事件有2個(gè)，由此能求出其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(ro,0)內(nèi)單調(diào)遞增

的概率.

【解答】解：從3個(gè)函數(shù)：y=,y=V和y=x中任取2個(gè)，

基本事件總數(shù)〃=C；=3,

其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)間(-oo,0)內(nèi)單調(diào)遞增包含的基本事件有2個(gè)，分別為：

1I

y=x3,y=x2^Qy=x3,y=x,

第8頁(共21頁)

7

故其函數(shù)相乘所得函數(shù)在區(qū)向(ro,0)內(nèi)單調(diào)遞增的概率是P=4.

3

故答案為：

3

8.已知耳(-2,0)、g(2,0),設(shè)P是橢圓Y+2y2=8與雙曲線f-y2=2的交點(diǎn)之一，則

|P"||PKI=6.

【分析】求出橢圓與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用距離公式，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：由題意可得卜；+2「=8,x=±2)±72,不妨P(2,a),

%2-y=2

所以IP4|?|可|=7(2+2)2+(V2)2.J(2-2y+(揚(yáng)2=6.

故答案為：6.

9.(x+y-zF的展開式中，孫2z3的系數(shù)是_一60_.

【分析】由題意利用乘方的意義，組合數(shù)公式，得出結(jié)論.

【解答】解：(x+y-z)6表示6個(gè)因式(x+y-z)的乘積，故其中有一個(gè)因式取x,

其中2個(gè)因式取y,其余的因式都取-z,

即可得到展開式中孫的項(xiàng)，故該項(xiàng)的系數(shù)為C：-(-1)3=-60,

故答案為：-60.

10.已知ZeR,過定點(diǎn)4的動(dòng)直線丘+y-l=0和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線x-b，-2+3=0交于

點(diǎn)P,則以2+尸產(chǎn)的值為13.

【分析】由兩直線方程可得定點(diǎn)A(0,l),B(-3-1),再由兩直線垂直，求出進(jìn)而可以

求解.

【解答】解：由已知可得A(0,l),B(-3,-l),

因?yàn)橹本€fcv+y-1=0與直線x-a+3=0互相垂直，

所以PH+PB2=AB2=32+(1+1)2=13,

故答案為：13.

V*....

11.已知實(shí)數(shù)。＞0,函數(shù)/(幻=---7，g(x)=x+a,若對(duì)任意大￡[-2々，2〃],總存在

\+ax~

元2W[-勿，2a],使得/(&),,g(x)，則。的最大值為_43_.

第9頁(共21頁)

【分析】由題意可得/(x).,,g(x).,由一次函數(shù)的單調(diào)性可得g(x)的最小值，討論當(dāng)

1

噫lk為時(shí)，不等式不成立；當(dāng)-%，元＜0時(shí)，f(x)=———再討論-2〃與-的大小關(guān)

\[a

ax+-

x

系，結(jié)合單調(diào)性求得最值，可得。的不等式，解不等式可得最大值.

【解答】解：對(duì)任意勿,2a],總存在占w[—2a,2a],使得/(工2)，，g(X)，

等價(jià)為f(x)min99g(x)加〃,

由g(x)=x+。在[-2a,2a]遞增，可得g(x)的最小值為g(-2a)=-a?

所以一匚?”一。在x￡[-2a,2a]成立，

1+“

當(dāng)照/為時(shí)，不等式不成立；

當(dāng)-2④x<0時(shí)，/(%)=——-

ax+—

x

當(dāng)-2a<--^=r

即時(shí),y=依+—在[-2a,0)遞減，可得

x

1時(shí)取得最大值-26

而

1.1

即有-a..」廣，可得043,綜上可得々￡0；

-24a

1-1

當(dāng)一2a..—亍，即0<%43時(shí),)，=奴+1在[-2a,0)遞減，uj■得x=-2a時(shí)取得最大值

X

2a

即有-“…一^―,解得0＜即行.

-4a-1

綜上可得，a的取值范圍是(0,4一”.

即有。的最大值為43.

故答案為：4-L

12.已知邊長為2的正方形ABCD邊上有兩點(diǎn)P、Q,滿足IPQI..1,設(shè)O是正方形的中心,

則OP-OQ的取值范圍是_[-2_1]

【分析】本題可采用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解，具體過程詳見解析.

第10頁(共21頁)

【解答】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)NPOQ=e,則有

OPOQ^OP\\OQ\cosd,

又由余弦定理可得，PQ1=OP-+0Q2-2OPOQ-cos0,

所以O(shè)POQcos6=5（Op2+O。-PQ?）

所以麗?麗=；（而2+麗2迎2）

①當(dāng)點(diǎn)P,。為正方形對(duì)角頂點(diǎn)時(shí)，0=180°,此時(shí)|9|=|。區(qū)=也，

此時(shí)，I而1=2近，則有麗?詼=；（2+2—8）=-2,即為的最小值.

②當(dāng)點(diǎn)P,Q在同一條邊上時(shí)，

若P,Q分別為該邊的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，OP，。。，且。尸=0Q=&,PQ=2,此時(shí)OPOQ=0,

即為該情況下的最小值；

若點(diǎn)尸為邊的中點(diǎn)，。為邊的端點(diǎn)時(shí)，假設(shè)OP=1,0。=3，PQ=\，此時(shí)

麗.麗=白（1+2-1）=1,即為該情況下的最大值.

③當(dāng)P,。在相鄰邊上時(shí)，只有當(dāng)OP=OQ時(shí)，麗?而取得極值，此時(shí)

綜上可得，。小0。的取值范圍為[-2,1].

故答案為：[-2,1].

二.選擇題（共4小題）

13.已知復(fù)數(shù)2=片-3〃+（/-1?,awR,則“a=0”是“z為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

第11頁（共21頁）

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】利用純虛數(shù)的定義求出。，再利用充要條件的定義判定即可.

【解答】解:若復(fù)數(shù)z=.2—3a+(Y-1),?為純虛數(shù),

則卜2一3“一°，0或口=3，

[a2-1*0

則。=0是z為純虛數(shù)的充分不必要條件，

故選：A.

14.已知/*)=19-4/,xe。有反函數(shù)/7(x)=-gj9-4有，xwA,則/(x)的定義域。

可能是()

A.[-1,|]B.[-1,0]C.[0,1]D.[-3,3]

【分析】直接利用原函數(shù)的定義域和反函數(shù)的值域的關(guān)系，不等式的解法，集合間的關(guān)系的

應(yīng)用判斷A、B、C、。的結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系，

原函數(shù)的定義域?yàn)榉春瘮?shù)的值域，原函數(shù)的值域?yàn)榉春瘮?shù)的定義域；

故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?-4/.0,整理得：-|領(lǐng)k|,

反函數(shù)廣'(*)=-99-4犬,的值域?yàn)椋?|期-'(X)0,

一白3領(lǐng)k-3

故函數(shù)的定義域?yàn)椋篔2,故函數(shù)的定義域?yàn)椋簒w[_3,0],

-|^-'(x)02

i3

由于c[--,0],

故選：B.

15.若無窮等比數(shù)列他“｝各項(xiàng)的和為4,則外的取值范圍是()

A.(0,8)B.(0,4)0(4,8)

C.(-8,0)5。，1)D.(-8,0)0(0,1]

a2

【分析】由題意可得：---=4,qe(—1,0)0(011),可得：a,=4g-4夕°=-4(4—■!)?+1,

\-q2

利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

第12頁(共21頁)

【解答】解：由題意可得："=4,qe(—1.0)kJ(0.1).

i-q

2

可得：a2=4q-4g2=—4(q—^)+1,

qe(-l,0)時(shí)，a,e(-8,0).

qe(0,1)時(shí)，a2G(0,1].

:.a2e(-8,0)50,1].

故選：D.

16.設(shè)。是(0,+oo)的一個(gè)子集，稱函數(shù)y=eD)為“機(jī)智”的，若存在奇函數(shù)y=g(x),

使得/(x)=10"頌,有兩個(gè)命題:

①若對(duì)任意都成立工€。，f(3=—,則y=「(x)是“機(jī)智”的；

xx/(x)

②若對(duì)任意x,-eD,都成立f(3=」-,則y=/-(x)是“機(jī)智”的.

XX/(X)

則下列判斷正確的是()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是假命題D.①、②都是真命題

【分析】由題設(shè)可推導(dǎo)出/(3=—L，分析其定義域即可.

X/(X)

【解答】解：由題可知g(x)為奇函數(shù),則有g(shù)(-x)=-g(x),

函數(shù)f(X)="闞的定義域?yàn)閧x|x>0},

/(-)=10*"6=1()-*?)=_L_=_L,

X10*<頌/(X)

即/d)=—L,當(dāng)且僅當(dāng)X,」都是。中的元素，

XfMX

而。是(0,+00)的-個(gè)子集，故①是真命題，②是假命題，

故選：A.

三.解答題(共5小題)

17.如圖，三棱柱4BC-ABC的底面是等腰直角三角形，ZACB=ZBCCt=90°,四邊形

4CGA是菱形，ZACC,=120°.

第13頁(共21頁)

(1)證明：4C±AB,；

(2)若AC=2,求點(diǎn)G到平面484A的距離?

(分析】(1)連接AG,證明AC,JLAC.結(jié)合BC1AC,3C_LCC；,推出8CJ_平面AC^A,，

即可證明AC_LBC.推出AC，MG，然后證明ACJ■平面ABC，進(jìn)一步得到4。，4月.

(2)作AOLAC于點(diǎn)O,則AOJ?平面A8C，求出三棱錐A-A與C的體積，取A3上靠

近A的四等分點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)G到平面叱A的距離為人根據(jù)等體積變換，求解點(diǎn)&到平面

A34A的距離.

【解答】解：(1)證明：連接AG，

因?yàn)樗倪呅蜛ACG為菱形，所以4G，AC.

因?yàn)锽C_LAC,BC1CC,,ACp\CCt=C,

所以8C_L平面ACC|A，旦ACu平面ACC|A，所以AC8C.

因?yàn)?C//BC，所以AC_L4G，

又因?yàn)锳Grpc=C1,所以4。1,平面486，

又A耳U平面A8￡,所以AC_LAB].

(2)由(1)知8CJ■平面AACC1,

所以平面AACCJL平面A8C，

作AO~LAC于點(diǎn)O,則A。1平面ABC,

因?yàn)樗倪呅蜛AC0為菱形，幺AC=60。，

所以^AAC為等邊三角形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).

第14頁(共21頁)

三棱錐A_44cl的體積M=g?IASG.A。=竿.

取AB上靠近A的四等分點(diǎn)。，則ODL/W,且。。=在，

2

連接AQ,則由AB_LA。，AB±ODR00^0=0f

所以平面A。。，從而AO_LAB,則4。二卷一,

從而sAAo=—x2V2xYi己=幣,

設(shè)點(diǎn)G到平面ABB^的距離為/?,

根據(jù)等體積變換，則有％“林二匕一物口，則方=當(dāng)，

所以點(diǎn)G到平面A880的距離為2手.

18.已知，(x)=log1，-6x+10).

2

(1)解不等式:f(x\,-1；

(2)若y=f(x)在區(qū)間［a,a+1］上的最小值為-2,求實(shí)數(shù)a的值.

【分析】(I)根據(jù)1陽，-6》+10),,-1,可得X2-6X+10..2,然后求出不等式的解集即可;

2

(2)利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，分a.3,a<2和2,a<3三種情況，結(jié)合條件求出a的值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，f(x)的定義域?yàn)镽.

由log,(x2-6x+10)?-1,得log〕，_6x+10)?log12,

222

所以V-6X+10..2,則W-6X+8..0,解得X..4或％,2.

所以不等式f(x)?-1的解集為(-8,2］|Jr4,+00).

(2)4-r=x2-6x+10=(x-3)2+l,

因?yàn)閥=/(x)在區(qū)間［a,a+1］上的最小值-2,

所以f=(x-3)2+1,在a+1］上的最大值為4,

又當(dāng)a..3時(shí)，/=(x—3)2+1,則4,皿=(a+1—3尸+1=4="=2+6；

22

當(dāng)a+I<3,即a<2時(shí)，/=(x-3)+1,WlJtinax=(a-3)+1=4=>?=3-.

當(dāng)a<3,a+l,即Z,a<3時(shí)，顯然f的最大值不能取4.

綜上，a=2+6或3-6.

第15頁(共21頁)

19.某工廠承接制作各種彎管的業(yè)務(wù)，其中一類彎管由兩節(jié)圓管組成，且兩節(jié)圓管是形狀、

大小均相同的斜截圓柱，其尺寸如圖1所示（單位：cm）,將其中一個(gè)斜截園柱的側(cè)面沿例

剪開并攤平，可以證明由截口展開而成的曲線A.BCDA,是函數(shù)

生）的圖象，其中M>0,（y>0,如圖2所示.

（1）若〃=5,6=13,a=45°,求y=/（x）的解析式；

（2）己知函數(shù)y=/（x）的圖象與x軸圍成區(qū)域的面積可由公式5=至"計(jì)算，若制作該種

CD

類彎管的一節(jié)圓管所用材料面積（即斜截圓柱的側(cè)面積）等于與之底面相同且高為ac機(jī)的圓

柱的面積，求a的值（結(jié)果精確到0.01°）.

【分析】（1）利用題中的條件，列出等式，解出參數(shù)”，。，即可解出;

（2）將截面畫出來,找出等量關(guān)系,即可解出.

【解答】解：（1）過點(diǎn)A-C且垂直于底面的平面去截斜截圓柱，截面如圖所示:

作AFJ.CE于點(diǎn)F,

依題意兩節(jié)圓管是形狀、大小均相同的斜截圓柱,

.?.例=。=5,CE=b=l3,CF=b-a=S,ZCA,D=45°,ZCA.F=45°,

Q

/.AF=------=8

tan45°

底面直徑為8,

.??展開后A4=8萬，OC=CF=8,

/.A（T乃，°），4，（4肛0）,

第16頁（共21頁）

71,

-二4萬

,??函數(shù)/(x)=Mcos(3x)+Af(-C皴!k-)?CD

coco71,

一=—44

CD

jrjr

把點(diǎn)C(0,8)代入f(x)=Mcos(◎r)+M(-一M—)得：A/cosO+M=8,r.M=4,

COco

Y

/(x)=4cos—+4(T通!k4萬).

(2)由(1)可知女即為底面周長，底面直徑為三，CF=b-a,

cotana

f(O)=M+M=b-a；

一b-a24h-a

：.M=----，——=----71，

2cotancr

斜截圓柱側(cè)面積”區(qū)獷+(上幺)2布，

tana22tan?

圓柱的面積2萬(上工-尸+小￡兀a,

2tanatana

h-ah-a八/b-a

------x4x-------=24x(--------1x2，

tan222tancr

tana=1,:.a=45.00°.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E與雙曲線C:會(huì)-紜=1有共同的中心和準(zhǔn)線，

且雙曲線C的一條漸近線被橢圓E截得的弦長為4夜.

（I）求橢圓￡的方程；

（2）若過點(diǎn)P（0,m）存在兩條互相垂直的直線都與橢圓E有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【分析】（1）求得雙曲線的準(zhǔn)線方程和漸近線方程，設(shè)橢圓的方程］+《=1（。>方>0），

運(yùn)用準(zhǔn)線方程和弦長公式，解方程可得a,。，進(jìn)而得到橢圓方程：

22

（2）當(dāng)橢圓的方程為匕+三=1,討論當(dāng)-3滋M3時(shí)，直線和橢圓恒有交點(diǎn)；當(dāng)m>3或

96

m<-3時(shí)，設(shè)直線方程為丁=依+機(jī)，聯(lián)立橢圓方程，由判別式大于等于0,可得〃？，A的

第17頁（共21頁）

不等式；再將攵換為-，，可得〃2,女的不等式，結(jié)合不等式有解的條件，可得加的范圍;

k

同理可得當(dāng)橢圓的方程為匕+土=1,可得機(jī)的范圍.

248

【解答】解：（1）雙曲線C：t—￡=1的準(zhǔn)線為尸±笑，即丫=±36，

3612V48

漸近線的方程為：y=+^x,

由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的方程￡+二=1（。＞6＞0）,

arh~

所以可得￡=，二一=36,可得從=空上①，

C27

將一可代入橢圓中，可得e+於』，所以I層;

所以弦長為+3|Xj—x21=2x2J③送——r=4\/2,

整理可得乎2=2②,

3/r+a

由①②可得/=24,從=曰，或a?=9,A，=6,

3

所以橢圓的方程為上+工=1或工+上=1;

96248

22

（2）當(dāng)橢圓的方程為二+二=1,

96

當(dāng)-3強(qiáng)弧3時(shí)，過點(diǎn)P（O,m）存在兩條互相垂直的直線都與橢圓E有公共點(diǎn);

當(dāng)機(jī)＞3或相＜-3時(shí)，由題意可得直線的斜率存在且不為0,設(shè)為大,

聯(lián)立八':可得（3+242）『+4初1r+2加一18=0,

[3xz+2y=18

由△..0可得（4初2）2-4（3+2k2）（2加-18）..0,

化為優(yōu),9+6公，

即入亡

6

將Z換為—_L,可得病,,9+3

kk2

即」…止2②

k26

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首先心T>o,所以滿足①②的女存在等價(jià)為

66

即3<|相|”V15,

綜上可得m的范圍是［-715,V15］；

當(dāng)橢圓的方程為(+*=1,同理可得，”的范圍是［-半，半］.

21.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為N的有窮實(shí)數(shù)列｛%｝(M.3)稱為“人數(shù)列”，若其滿足下列三

個(gè)條件：①a,<a2,即一>aN；②當(dāng)啜kN-1時(shí)，a*%”;③當(dāng)啜kN-1時(shí)，