2020-2021學(xué)年浙江省重點(diǎn)高中提前招生考試數(shù)學(xué)模擬卷解析版

彭彭-比物蒙耳箭注堵,或育中提甯抬士考鍬出等模枇宗

一.選擇題（共8小題）

1.（2020?沙坪壩區(qū)自主招生）把有理數(shù)a代入|a+4|-10得到稱為第一次操作，再將

切作為。的值代入得到。2,稱為第二次操作，…，若。=23,經(jīng)過第2020次操作后得到

的是（）

A.-7B.-1C.5D.11

【分析】先確定第1次操作，。|=|23+4|-10=17：第2次操作，。2=|17+4|-10=11；第

3次操作,的=|11+4|-10=5；第4次操作,04=|5+4|-10=-1；第5次操作，的=1-

1+4|-10=-7；第6次操作，的=L7+4|-10=-7；…，后面的計(jì)算結(jié)果沒有變化，據(jù)

此解答即可.

【解答】解：第1次操作,ai=|23+4|-10=17：

第2次操作，02=117+41-10=11；

第3次操作，a3=|ll+4|-10=5；

第4次操作，a4=|5+4|-10=-1；

第5次操作，。5=1-1+4|-10=-7；

第6次操作，06=1-7+4卜10=-7；

第7次操作，劭=1-7+4|-10=-7；

第2020次操作，“2020=1-7+4|-10=-7.

故選：A.

2.（2020?浙江自主招生）將I,2,3,4,…，12,13這13個(gè)整數(shù)分為兩組，使得一組中

所有數(shù)的和比另一組中所有數(shù)的和大10,這樣的分組方法（）

A.只有一種B.恰有兩種C.多于三種D.不存在

【分析】先求得這組數(shù)的和，再根據(jù)一組的和比另一組的和多10,分別求得這兩組數(shù)的

和，確定分組方法.

【解答】解：1+2+…+13=91,分為兩組，一組的和為x,另一組的和為尤-10,x+x-10

=91,x=,

為整數(shù)，.?.沒法分,

故選：D.

3.(2020?浙江自主招生)若"("W0)是關(guān)于x的方程x，/nr+2〃=0的根，則，J+J-

的值為()

A.-2B.8C.-6D.-8

【分析】先根據(jù)〃(n^O)是關(guān)于尤的方程x2+nvc+2n=0的根，得到關(guān)于m和〃的一個(gè)

方程，再根據(jù)“W0,得出〃，和〃的數(shù)量關(guān)系，然后將所給的整式利用因式分解和配方法

進(jìn)行變形，最后將〃，與〃的數(shù)量關(guān)系代入，即可求得答案.

【解答】解：("#0)是關(guān)于x的方程/+加￥+2/=0的根

2

:?n+m〃+2〃=0

0WO

工方程兩邊同時(shí)除以〃得：〃+m+2=0

^.m+n=-2

.33

/.m'+/r-6mn

22

=(m+n)(/〃-mn+n)-6mn

2

=-2[(/%+〃)-3mn]-6〃?n

2

=-2(m+n)+6mn-6mn

--2X(-2)2

=-8

故選：D.

4.(2020?浙江自主招生)已知方程|x|=ax+l有一個(gè)負(fù)根而且沒有正根，那么。的取值范圍

是()

A.a>-IB.a=\C.D.非上述答案

【分析】令尸田和尸“x+1.作出圖象即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：如圖，

令y=|x|和y=ax+l,

而函數(shù)y=or+l必過點(diǎn)（0,1）.

:方程國(guó)=如+1有一個(gè)負(fù)根而且沒有正根，

，直線y=or+l與函數(shù)y=|x|在第二象限只有交點(diǎn),

1,

故選：C

5.（2020?浙江自主招生）己知：二次函數(shù)），=，+2x+a（a為大于0的常數(shù)），當(dāng)》=根時(shí)的

函數(shù)值力<0;則當(dāng)x=，計(jì)2時(shí)的函數(shù)值”與0的大小關(guān)系為（）

A.”>0B.y2VoC.y2=OD.不能確定

【分析】設(shè)二次函數(shù)y=，+2x+a的圖象與x軸交于點(diǎn)（x“0）,（x2,0）（xi<x2）,結(jié)合

已知可得出-2Wxi〈m<X2W0,進(jìn)而可得出0<〃?+2<2,觀察函數(shù)圖象即可得出當(dāng)x=

m+2時(shí)函數(shù)值y>0,此題得解.

【解答】解：設(shè)二次函數(shù)y=/+2x+〃的圖象與大軸交于點(diǎn)（用，0）、（&，0）（xi<X2）,

當(dāng)x=0時(shí)，丫=/+2]+〃=心0,且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=----=-1,

2X1

/.-2^X]</77<X2^O,

???0V加+2V2,

，當(dāng)x=〃z+2時(shí)，函數(shù)值y>0.

故選：A.

6.（2020?浙江自主招生）已知C點(diǎn)在圓O的直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓。于A點(diǎn)，Z

4cB的平分線分別交AE、4B于點(diǎn)尸、D.則N4O尸的度數(shù)為（）

【分析】由AC為圓。的切線，可得N8=NEAC,結(jié)合8是/AC8的平分線可知/ACO

=ZDCB,nJilEZADF=ZAFD,由已知可得NBAE=90°,則NAOF=45°.

【解答】解：：CA切圓。于A點(diǎn)，

由弦切角定理，

可得/C4E=ZB

又：CD為/AC8的角平分線，

ZACD=ZBCD

：.ZACD+ZCAE^ZB+ZBCD

即NADF=ZAFD

又：BE為圓。的直徑

：.ZDAF=90o

.?.NA￡>F=45°

故選：B.

7.（2020?浙江自主招生）如圖，稱有一條公共邊的兩個(gè)三角形為一對(duì)共邊三角形，則圖中

的共邊三角形有（）對(duì).

A.8B.16C.24D.32

【分析】根據(jù)有一條公共邊的兩個(gè)三角形為一對(duì)共邊三角形，首先確定三角形的邊，然

后確定三角形即可.

【解答】解：以AB為公共邊的三角形有：和△ABC；

以AC為公共邊的三角形有：aACE和△ACB；

以AC為公共邊的三角形有：△ADE和△A8Q；

以AE為公共邊的三角形有：△4￡￡）和△AEC；

以BC為公共邊的三角形有：△BCO和△8CA和△BC。和△8CE,4個(gè)三角形中任何兩

個(gè)都是共邊三角形，有6對(duì)；

以8。為公共邊的三角形有：△BQC,ABDE,8D4任何兩個(gè)都是3對(duì)共邊三角形；

以8E為公共邊的三角形有：△BE。，ABED,aBEC任何兩個(gè)都是3對(duì)共邊三角形.

以0B為公共邊的三角形有：△O8E和△08C；

以C￡＞為公共邊的三角形有：△CD。和△CDB和任何兩個(gè)都是3時(shí)共邊三角形.

以CE為公共邊的三角形有：△CED,ACEA,△CEB任何兩個(gè)都是3對(duì)共邊三角形；

以CO為公共邊的三角形有：△C。。和△COB；

以DE為公共邊的三角形有：△AE。和△0E。和△BED和三角CED,4個(gè)三角形中任何

兩個(gè)都是共邊三角形，有6對(duì)；

以。。為公共邊的三角形有：△OOC和△ODE；

以O(shè)E為公共邊的三角形有：△OBE和△OO區(qū)

共32對(duì).

故選：D.

8.（2015?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，等腰梯形紙片ABC。，AD//BC,AD=3,BC=7,

折疊紙片，使點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，折痕為EF,若。FLBC,則下列結(jié)論：①E/〃AC；@DE

LAC；③△4ED?△D4C：④￡尸=3企;⑤梯形ABCD的面積為25,其中正確的是（）

A.①③④B.①②⑤C.③④D.①⑤

【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH_LBC于H,由AAS可證△ABH絲△￡）（；凡可得8H=CF,

可求BF=5=CH,可求/￡FB=N4CB=45°,可證EF//AC,由梯形面積公式可求梯

形A8C。的面積為25,由相似三角形的判定和性質(zhì)可依次判斷②③④，即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作于“，

:四邊形48co是等腰梯形，

：.AB^=CD,NB=NDCB,且NO尸C=90°,

:.△ABH9l\DCF(A4S)

:.BH=CF,

■:AH工BC,DFLBC,

J.AH//DF,S.AD//BC,

四邊形AHFD是平行四邊形，

.\AH=DF,AD=HF=3,

:.BH=CF=L(BC-HF)=2,

2

：.BF=5=CH,

???折疊紙片，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，

:.DF=BF=5,NBFE=NDFE=45°,

：.AH=5,

：.AH=CH=5,

；.NACB=45°,

:.NEFB=NACB=45°,

：.AC//EF,故①正確；

梯形ABCD的面積=(AD+BC)DF：_(：讓DX5_=25,

22

.?.⑤正確，

?.?折疊紙片，使點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，

:.NBEF=NDEF手90”,

，￡）￡；不垂直EF,

與AC也不垂直，故②錯(cuò)誤：

若△4E。?△DAC,則/a4C=NAEC=45°,

:.NDEF=NBEF=675",

：.ZABC=ZBAC=6J.5°,

：.BC=AC=1,

；AH=S=5,

:.AC=5近盧1,

與△D4C不相似，故③錯(cuò)誤；

如圖，過點(diǎn)E作ENL8C于N,

■:ENLBC,AHVBC,

.,.AH//EN,

:.叢BENS&BAH,

?EN_BN

"AH'BH

?ENBN

.,.設(shè)BN=2x,BN=5x,

VZEFB=45°,EN±BC,

...△ENF是等腰直角三角形，

：.EN=NF=5x,EF=J^￡N=5后,

：.BF=BN+NF=lx=5,

?.?Ar-—-5-,

7

.3=25返,故④錯(cuò)誤，

7

故選：D.

填空題（共8小題）

9.(2020?浙江自主招生)從三邊長(zhǎng)均為整數(shù)且周長(zhǎng)為24的三角形中任取一個(gè)，它是直角三

角形的概率為.

-12一

【分析】不妨設(shè)三角形三邊為。、b、c,且aWbWc,由三角形三邊關(guān)系定理及題設(shè)條件

可確定c,的取值范圍，以此確定c的值，再確定a、b的值.從而得出所有等可能的結(jié)果

數(shù)，再找到符合條件的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式求解可得.

【解答】解：設(shè)三角形三邊為〃、b、c,且〃

a+b+c=24,a+b>c,

：.a+b+c>2c,即2cV24,

3c2a+0+c=24,

???c28,

???8WcV12,

又??N為整數(shù)，

???c為8,9,10,11.

?①當(dāng)c為8時(shí)，有1個(gè)三角形，8,8,8；

②當(dāng)c為9時(shí)，有2個(gè)三角形，分別是：9,8,7或9,9,6；

③當(dāng)c為1。時(shí)，有4個(gè)三角形，分別是：10,9,5；10,8,6；10,10,4；10,7,7；

④當(dāng)c為11時(shí)，有5個(gè)三角形，分別是：11,11,2；11,10,3；11,9,4；11,8,5；

11,7,6.

都是整數(shù)的三角形共有12個(gè).

其中是直角三角形的有10,8,6；

所以它是直角三角形的概率為工，

12

故答案為：」一

12

10.(2020?浙江自主招生)方程(x-1)2+(y-1)2=孫+7的所有正整數(shù)解有3組.

【分析】根據(jù)x、y的對(duì)稱性，可以分別給出x的正整數(shù)值，求得y的值，即可判斷.

【解答】A？：V(x-1)2+(y-1)2=xy+7,

(x-I)~+(j-1)~-xy-7=0,

V0=(x-1)~+(_y-1)2-xy-722(x-1)(_y-I)-xy-1,

.*.2(x-1)(y-1)-xy-7<0,

即(x-2)(y-2)W9.

當(dāng)x=l時(shí)，代入(x-1)2+(y-1)2—xy+~l得：(y-1)2—y+1,此時(shí)y不是整數(shù).

同理，當(dāng)y=l時(shí)，x不是整數(shù)；

當(dāng)x=2時(shí)，把x=2代入(x-1)2+(y-1)2=冊(cè)7得，1+(y-1)2=2y+7,解得：y

=5或-1(舍去)，

則方程有正整數(shù)解：fx=2,

ly=5

同理，有正整數(shù)解['=5；

[y=2

當(dāng)x=3時(shí)，代入(x-1)2+(;?-1)2=xy+7得：4+(y-1)2=3y+7,解得：了=①，11

2

(舍去)；

同理，當(dāng)y=3時(shí)，也沒有正整數(shù)解；

22

當(dāng)尤=4時(shí)，代入(x-1)+(y-1)2=%)計(jì)7得：9+(y-1)=4y+7f解得：y=3±V^,

同理，當(dāng)y=4時(shí)，也沒有正整數(shù)解；

當(dāng)x=5時(shí),代入(x-1)2+(y-1)2=xy+7得：16+(y-1)2=5y+7,解得：y=5或2.

則方程有正整數(shù)解[x=5,fx=5.

Iy=51y=2

同理，當(dāng)y=5時(shí)，有整數(shù)解：,'=5和(x=2；

Iy=5y=5

當(dāng)x26時(shí)，y一定有y26,則(%-2)(y-2)W9不成立，此時(shí)方程無解.

則方程的正整數(shù)解是：(X=2,fx=5,fx=5,共有3組.

Iy=5[y=2Iy=5

故答案為：3.

11.(2020?浙江自主招生)2011年3月11日13時(shí)46分日本發(fā)生了9.0級(jí)大地震，伴隨著

就是海嘯.山坡上有一顆與水平面垂直的大樹，海嘯過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山

坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面(如圖所示).已知山坡的坡角N4EF=23°,測(cè)得樹干

的傾斜角為/8AC=38°,大樹被折斷部分和坡面的角N4OC=60°,A￡>=4米.則這

棵大樹折斷前高是10米.(注：結(jié)果精確到個(gè)位)(參考數(shù)據(jù)：加叼.4,愿以1.7,

巡弋2.4)

【分析】過A作A”垂直與C￡）,求出NE4G的度數(shù)，確定出NCAQ的度數(shù)，進(jìn)而求出

/C的度數(shù)，在直角三角形4OH中，由的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出DH與A”

的長(zhǎng)，在直角三角形ACH中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC,以及CH的長(zhǎng)，由

AC+CH+HD即可求出大樹高.

【解答】解：過A作A”,CO,

VZBAC=38°,ZEAG=61°,

：.ZCAD=15°,

在△ACO中，NCAO=75°,N4DC=60°,

：.ZC=45°,

在RtZXAQ”中，AO=4米，ZADC=60°,

：.AH=ADsin60°=2愿米，，。=2米，

在中，/C=45°,

:.AH=CH=2^^,AC=2V^K，

則這棵大樹折斷前高是AC+CH+HO=2后2心2F0（米）.

故答案為：10

12.（2020?浙江自主招生）如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC,設(shè)BC=ab（ab表示一個(gè)

兩位數(shù)），EF=c,三角形中高線已知a,b,c,"恰好是從小到大的四個(gè)連續(xù)正

整數(shù)，則AABC的面積為24或224.

A

【分析】由題意可知：。、b、c、d為連續(xù)四個(gè)整數(shù)故可設(shè)為ma+\,a+2,a+3,其中

BC=\\a+\,（1WaW8的正整數(shù)），易證△AEFSA4BC,可得：a+2解得“=1或“

Ua+1

=5,可求得△ABC的面積為24或224.

【解答】解：小b、c、”為連續(xù)四個(gè)整數(shù)故可設(shè)為a,a+1,a+2,a+3,

?:BC=ab，

：.BC=\\a+\,

:四邊形EFGH是正方形,

J.EF//BC,

:.2AEFsMBC,

?EF-AD-EH

"BCAD

即a+2=J^,

lla+1a+3

解關(guān)于。的方程，得

4]=1,。2=5>

經(jīng)檢驗(yàn)1和5是原分式方程的解，

???SAABC=LCX44=24，或SZVIBC=LCX40=224,

22

故答案為：24或224.

13.（2020?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，矩形0ABe的頂點(diǎn)4、C分別在x軸、y軸的正半軸

上，點(diǎn)。在邊OC上，且BD=OC,以8。為邊向下作矩形BQEF,使得點(diǎn)E在邊OA上，

反比例函數(shù)〉=區(qū)（止0）的圖象經(jīng)過邊EF與AB的交點(diǎn)G.若AG=&,DE=2,則k

x2

的值為24.

一5一

【分析】如圖，連接。RBE,由“HL”可證絲RlZ\8AE,可得4E=O￡=2,

由勾股定理可求EG,通過證明△DEOs△EGA,可得迪上色，可求OE的長(zhǎng)，即可求

OEDE

點(diǎn)G坐標(biāo)，代入解析式可求人的值.

【解答】解：如圖，連接。尸，BE,

?：四邊形OABC是矩形，四邊形BDEF是矩形,

：.OC=AB,BE=DF,NBAO=NBDE=NDEF=9O°,

'：BD=OC,

：.BD=AB,

又；BE=BE,

：.Rt/\BDE^Rt/\BAE(HL)

：.AE=DE=2,

'EG=｛研2+/=

:NDEO+NAEG=90°,ZEDO+ZDEO=90Q,

NAEG=NEDO,

又?.?NEOO=/EAG=90°,

:.△DEOs/\EGA,

AGEG

O3ED5E

--

22

2

OE

.*.0￡=A,

5

.,Q=2+g=W,

55

.?.點(diǎn)G（至，3）,

52

:反比例函數(shù)y=K（ZWO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)G,

X

?-16v324

525

故答案為：24

5

14.（2017?金牛區(qū)校級(jí)自主招生）若關(guān)于x的分式方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，則

x+3x+3

實(shí)數(shù)a=1.

【分析】按照一般步驟解方程，用含。的代數(shù)式表示x,既然無解，所以x應(yīng)該是能令最

簡(jiǎn)公分母為0的值，代入即可解答

【解答】解：原方程化為整式方程得：l-x-3=a,

整理得x=-2-。，

因?yàn)闊o解，所以x+3=0,

即X--3,

所以a—-2+3=1.

15.（2012?南充自主招生）關(guān)于x的方程［*2-24々乂+11=%有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則上的

取值范圍是0<A<2.

【分析】分兩種情況：4=0與%>0.根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值可化為一個(gè)或兩個(gè)

方程，原方程有四個(gè)不同的解，則得到的兩個(gè)一元二次方程都有兩個(gè)不同的解，根據(jù)△

=6-4ac》0,建立關(guān)于人的不等式，求出女的取值范圍.

【解答】解：?.?方程|x2-2百x+1尸七

當(dāng)仁0時(shí)，方程|X2-26X+1J』為Ix2-2?x+ll=°，即X2-2eX+1=0，

,.,△=12-4=8>0,

二方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

這與關(guān)于x的方程上2-2百x+d=&有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，不相符，應(yīng)舍去：

當(dāng)上>0時(shí)，方程|x2-2ax+lli可化為：*2-2禽x+l=k或x2-2ax+l=-k，

即*2-2^^+1-1:=0或*2-2e*+1+卜=0，

?.?△1=12-4+4k=8+4k>0,A2=12-4+4Z=8-4&,

方程.2/x+l-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為：X/2巨莘巫，

若42=8-必>0,即A<2,故0V2時(shí)，方程*2-2百乂+1+15=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根為2我

2_____

3^^—*\/8+^k、2'^*^—"這4個(gè)實(shí)數(shù)互不相等，

22

.??當(dāng)0<人<2時(shí)，關(guān)于x的方程|*2-2ax+1尸上有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；

綜上，當(dāng)0<k<2時(shí)，關(guān)于x的方程|*2_2百x+ll=k有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

故答案為：0<k<2.

16.（2017?楊浦區(qū)校級(jí)自主招生）在反比例函數(shù)y=K上存在點(diǎn)C,以點(diǎn)C為圓心，1為半

X

徑畫圓，圓上存在兩點(diǎn)到。點(diǎn)距離為2,則k的取值范圍l.<k<l.

~22~

【分析】當(dāng)OC與半徑為2的。。相切時(shí)，且圓心在直線y=x上時(shí)，可得OC=l,OC

=3,推出C（返，返），C（2返，三亞），求出兩個(gè)特殊位置的k的值即可解決

2222

問題；

【解答】解：當(dāng)。C與半徑為2的。。相切時(shí)，且圓心在直線y=x上時(shí)，

OC=1,OC=3,

：.c(返,亞)，C(2^,)

2222

當(dāng)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，k=l,

2

當(dāng)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過C'時(shí)，k'=1,

2

觀察圖象可知：滿足條件的人的值為：

22

故答案為：l<k<l.

22

三.解答題(共5小題)

17.(2020?浙江自主招生)令/?(〃)=-------------

1+2+3+---tn

(1)求證：f(n)=-------：

n(n+l)

(2)求：<(1)+f(2)+f(3)+???+/,(2012)+f(2013)的值;

(3)求證：—<???+——1--<2.

2I2223220132

【分析】(1)先將/(“)=------1-----的分母求和，再變形即可;

1+2+3+--+n

(2)利用(1)中的結(jié)論及裂項(xiàng)法展開計(jì)算即可；

(3)“不等放縮"先證上限；再證下限，然后綜合得結(jié)論.

【解答】解：(I)證明：???/(")=------------.

1+2+3+--tn

?"—n(n+l)「忑期F

2

(2)/(1)+f(2)+f(3)+-+/?(2012)+f(2013)

=2(1-1+1-1+1-l+-+^_-^_)

12233420132014

=2(1--L_)

2014

=2013.

1007,

(3)證明：“不等放縮"先證上限：

1+1+1+.??+1v]-k1-I-1+.?.+_____1_____

p-p"p"201321X22X32012X2013

<2.

再證下限:

1+1+14-?>>-I-1>|4-1-1-1J-14-…+_____1_____

FP"F20132不3X44X52013X2014

=1+1+1-_J_

432014

=19_1

122014

12

=_3

~2

：.3V-L.+-L.+-1-+…+-1—<2.

2l2223220132

18.（2018?即墨區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)B,與y

軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y=%的圖象在第二象限交于點(diǎn)C,CE±x軸于E,且sinZ

x

A80=返，OA=OE=2.

5

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）若點(diǎn)。是反比例函數(shù)圖象在第四象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)。作。尸_Ly軸于尸，F(xiàn)BA.AB,

連接?！辏?BF交于點(diǎn)G,求SZWFG.

【分析】（1）利用正弦的定義計(jì)算出48=2收，則利用勾股定理計(jì)算出08=4,再利用

平分線分線段成比例定理求出CE得到點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函

數(shù)解析式；

（2）先證明凡利用相似比求出A尸=10,再確定。（3,-8）,再利用利

4

用平分線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)得理?=§，接著根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意

0D19

義得到SAOD"=3,然后根據(jù)三角形面積公式得到SAD/-G.

【解答】解：（I）在RtZXOBA中，?.飛法/48。=空=返，

AB5

."8=￡x2=2旄，

V5

0B=yj(2V5)2-22=4,

,.?CE_LX軸，

C.OA//CE,

pB即2=_E,解得CE=3,

CEBECE2+4

：.C(-2,3),

?.?點(diǎn)C(-2,3)在反比例函數(shù))，=典的圖象山，

X

：.m=-2X3=-6,

...反比例函數(shù)解析式為y=一2；

x

(2)'：BF±AB,

：.ZABF=90°,

:NBAO=NFAB,

AAOB^AABF,

：.OA：AB=AB：AF,即2：2旄=2依：AF,

：.AF=10,

尸=8,

當(dāng)y=-8時(shí)，-2=-8,解得x=3,則0(3,-8),

x44

,JDF//OB,

.0G=0B=±=26

"DGDF3V

4

.DG_=J_

"ODIT

；SW=N-6|=3,

2

SADFG=3=-.

1919

19.（2020?浙江自主招生）如圖，已知雙曲線Ci：y=工、拋物線C2：y=x2-12,直線/：

X

y=kx+nt.

（I）若直線/與拋物線C2有公共點(diǎn)，求―+機(jī)的最小值；

4

（II）設(shè)直線/與雙曲線Ci的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,與拋物線C2的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D.是

否存在直線I,使得A、B為線段C。的三等分點(diǎn)？若存在，求出直線/的解析式，若不

【分析】（I）根據(jù)直線/與拋物線C2有公共點(diǎn)，可得12=0,根據(jù)根的判

,2

別式即可得到工一+，〃的最小值；

4

y=kx+in

（II）設(shè)A（xp力）、B（犯，丸）、C（%3,力）、D（必，"），顯然LKO聯(lián)立，1,

,，得m72=0；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，A>

得kx'-irmx-1=0；聯(lián)立,9

ly=x2-12

2

8為線段。。的三等分點(diǎn)，得至iJk2+4m+48=9?匹歲，解方程得到女的值，進(jìn)一步得到

k2

m的值，從而得到直線/的解析式.

【解答】解：（I）I?直線/與拋物線C2有公共點(diǎn),

y=kxtm

，聯(lián)立得/-kx-m-12=0,

y=x2-12

.?.△=/+4團(tuán)+4820,

■k2

12

??.K_+1n的最小值為-⑵

4

（II）設(shè)4（x\,）”）、B（無2，丫2）、C（%3，為）、D（X4?丁4）,顯然kWO,

y=kx+m

聯(lián)立4],得kx^+nix-1=0,

y=-

x

則X1+Xc=——,x1Xo='-，

X1x2kx1k

聯(lián)立,'kx",得了一心一"?一]2=0,

y=x2-12

則工3+式4=&,X3%4="m-12,

若A、8為線段CO的三等分點(diǎn)，則線段48與C。的中點(diǎn)重合，且|C￡>|=3|A四,

則』=k，即m=-F,

k

2

且出-X4|=3M-初，即k2+4m+48=9*m

kz

將"?=-P代入上式并化簡(jiǎn)得F-44+3=0,

解得Q1或一1土丁石,對(duì)應(yīng)的，=-1或T土后,經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.

22

1或"蜉「產(chǎn)或"卜尸

故直線/的解析式為y=x

20.（2020?浙江自主招生）如圖甲，分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形0A8C與CDE尸的邊0C、

OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（。、C、尸三點(diǎn)在x軸正半軸上）.若OP

過A、B、E三點(diǎn)（圓心在x軸上），拋物線>=12+法+0經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一

4

交點(diǎn)為G,M是FG的中點(diǎn)，正方形CQEF的面積為1.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ME是0P的切線；

（3）設(shè)N（x,y）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、G重合）.當(dāng)NCNG<30°時(shí)，請(qǐng)求

出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.

【分析】（1）如圖甲，連接尸E、PB,設(shè)PC=”，由正方形CCE尸的面積為1,可得CQ

=CF=1,根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知：OP=PC=",由PB=PE,根據(jù)勾股定理即可求

得〃的值，繼而求得3的坐標(biāo)，可得點(diǎn)4點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求解；

（2）由正方形CDE尸的面積為1,可得CF=1,可求然后求得尸例的長(zhǎng)，則可得△?￡■「

S/XEMF,則可證得NPEM=90°,即ME是0P的切線；

（3）以CG為邊在x軸上方作等邊三角形/CG,以/為圓心，/C為半徑作圓，分點(diǎn)N在

點(diǎn)C左側(cè)或點(diǎn)G右側(cè)兩種情況討論，利用數(shù)形結(jié)合思想可求解.

【解答】解：（1）解：如圖甲，連接PE、PB,

設(shè)PC—n,

?.?正方形CDEF的面積為1,

：.CD=CF=\,

根據(jù)圓和正方形的軸對(duì)稱性知：OP=PC=n,

.,.8C=2PC=2〃,

;而PB=PE,

：.PB2=BC^+PC2=4n2+n2=5n2,PEL=PF1+EF2^(n+1)2+l,

：.5n=(n+1)2+l,

解得：〃=1或"=-工(舍去)，

2

.,.BC=0C=2,

點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)；

AA(0.2),C(2,0),

VA,C在拋物線上，

'c=2

??<1,

04X4+2b+c

4

fb=J-

解得：?02，

,c=2

二拋物線的解析式為：產(chǎn)工？-工+2；

42

(2)；正方形CDE尸的面積為1,

：.CF=\,

?..拋物線的解析式為：丫=工2_且什2與X軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)G,

42

***xi=2>12=4,

1點(diǎn)G(4,0)

:拋物線的解析式為：-&什2=上(x-3)2-A,

4244

拋物線的對(duì)稱軸為x=3,即EF所在直線，

與G關(guān)于直線x=3對(duì)稱，

；.CF=FG=1,

.-.MF=AFG=A,

22

在RtAPEF與RtA￡MF中，

工

..里旦=工皿」

*EF=T~2PF至

AFM=EFi且NEFM=NEFP,

EFPF

:APEFS/XEMF,

，ZEPF=ZFEM,

：.ZPEM=/PEF+NFEM=NPEF+NEPF=90°,

是OP的切線

(3)如圖，以CG為邊在x軸上方作等邊三角形/CG,以/為圓心，/C為半徑