微積分 第七版 課件 1.3 極限的概念與基本運(yùn)算法則

第三節(jié)

極限的概念與基本運(yùn)算法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練判斷分段函數(shù)分界點處的極限熟練掌握極限的基本運(yùn)算法則理解極限的思想和概念案例1.劉徽---割圓術(shù)

古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”.其體現(xiàn)了樸素的極限思想，是最早用極限思想解決實際問題的。所謂割圓術(shù)，就是從圓內(nèi)接正六多邊形開始，不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓周率的方法。即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，邊數(shù)越多，正多邊形的周長越接近圓的周長，正多邊形的面積越接近圓的面積，進(jìn)而來求得較為精確的圓周率。劉徽(約225年-約295年)，漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一。在中國數(shù)學(xué)史上作出了極大的貢獻(xiàn)，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人。戰(zhàn)國時期哲學(xué)家:莊周“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”《莊子天下篇》一尺即“一根長為一尺的棒頭，每天截去一半，千秋萬代也截不完.”說明了物質(zhì)無限可分，人們對事物的認(rèn)識是沒有止境的道理。未看到量變到一定程度會引起質(zhì)變。實際上，每天截后剩下的棒的長度是（單位為尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；（約公元前369—前286年）案例2.莊周---截杖問題第天剩下；……；這樣，我們就得到一列數(shù)……；……這一列數(shù)就是一個數(shù)列.

隨著時間的推移，剩下的棒的長度越來越短.顯然,當(dāng)天數(shù)無限增大時,剩下的棒的長度將無限縮短,即剩下的棒的長度接近于數(shù)0.

這時我們就稱由剩下的棒的長度構(gòu)成的數(shù)列以常數(shù)0為極限.并記作一、極限的概念考慮函數(shù)y=f(x),自變量x在變化過程中的取值一定屬于函數(shù)定義域,分下列兩種基本情況討論函數(shù)y=f(x)的變化趨勢.1.第一種基本情況自變量x取值無限遠(yuǎn)離原點,這意味著自變量x的絕對值|x|無限增大,記作x→∞6x→∞包括兩個方向:一個是沿著x軸的負(fù)向遠(yuǎn)離原點,這時自變量x取值為負(fù)且|x|無限增大,記作x→-∞另一個則是沿著x軸的正向遠(yuǎn)離原點,這時自變量x取值為正且|x|無限增大,記作x→+∞因而x→∞意味著同時考慮x→-∞與x→+∞7例1

8定義1.8已知函數(shù)f(x)在自變量x取值無限遠(yuǎn)離原點的情況下有定義,當(dāng)x→∞時,若函數(shù)f(x)無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→∞時函數(shù)f(x)的極限為A,記作

注意到x→∞意味著同時考慮x→-∞與x→+∞.于是有下面的定理.9定理1.1

同時成立.10

根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例1中極限

11例2

解:觀察函數(shù)y=sinx的圖形,如圖12容易看出:無論當(dāng)x?-∞時還是當(dāng)x?+∞時,對應(yīng)的函數(shù)y值在區(qū)間[-1,1]上振蕩,不能無限接近于任何常數(shù),所以極限

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定理1.2142.第二種基本情況自變量x取值無限接近于有限點x0,記作x→x0應(yīng)注意的是:在x→x0的過程中,點x始終不到達(dá)點x0,即恒有x≠x0.x→x0包括兩個方向:

15例3

考慮函數(shù)y=2x+1,在點x=5左右,自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)數(shù)值情況列表如表x4.94.994.999…5.0015.015.1y10.810.9810.998…11.00211.0211.2容易看出:當(dāng)x→5時,對應(yīng)的函數(shù)y值無限接近于常數(shù)1116定義1.9

已知函數(shù)f(x)在點x0左右有定義,當(dāng)x→x0時,若函數(shù)f(x)無限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)x→x0時函數(shù)f(x)的極限為A,記作

17定理1.3

同時成立.18極限的概念這個定理說明:函數(shù)在有限點處極限存在的充分必要條件是左極限與右極限都存在且相等.

19極限的概念

由于在x→x0的過程中,恒有x≠x0,因而在一般情況下,函數(shù)f(x)在點x0處有無定義都不影響它在點x0處的極限情況.根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例3中極限

20極限的概念數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量,它們的極限統(tǒng)稱為變量極限.如果變量極限存在,則其極限是唯一的,其在極限過程中某時刻后有界.若變量y的極限為A,則記作limy=A以后只在討論對于數(shù)列極限與函數(shù)極限皆適用的一般性結(jié)論時,才能使用通用記號limy若已經(jīng)給出變量y的函數(shù)表達(dá)式,則不能使用通用記號,必須在極限記號下面標(biāo)明自變量的變化趨勢.顯然,常數(shù)c的極限等于c,即limc=c

(c為常數(shù))21二、極限的基本運(yùn)算法則法則1如果極限limu與limv都存在,則極限lim(u±v)=limu±limv法則2如果極限limu與limv都存在,則極限limuv=limulimv法則3如果極限limu與limv都存在,且極限limv≠0,則極限

22法則4如果極限limu(x)存在,且函數(shù)值f(limu(x))有意義,則極限limf(u(x))=f(limu(x))法則5如果函數(shù)f(x)是定義域為D的初等函數(shù),且有限點x0∈D,則極限

23極限的基本運(yùn)算法則推論1如果有限個變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推論2如果有限個變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限limu1u2…um=limu1limu2…limum推論3如果極限limv存在,k為常數(shù),則極限limkv=klimv24例4

=lg(2+0)=lg225本來在一般情況下,函數(shù)在屬于定義域的有限點處的極限值與它在該點處的函數(shù)值沒有必然聯(lián)系,但法則5說明:

初等函數(shù)在屬于定義域的有限點處的極限值卻等于它在該點處的函數(shù)值,因此法則5解決了初等函數(shù)的基本極限計算

26繼續(xù)討論分段函數(shù)在分界點處的極限.

若分段函數(shù)在分界點左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,則直接計算其極限;若分段函數(shù)在分界點左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式不一樣