微積分 第七版 課件 1.3 極限的概念與基本運(yùn)算法則

第三節(jié)

極限的概念與基本運(yùn)算法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203能熟練判斷分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限熟練掌握極限的基本運(yùn)算法則理解極限的思想和概念案例1.劉徽---割圓術(shù)

古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”.其體現(xiàn)了樸素的極限思想，是最早用極限思想解決實(shí)際問(wèn)題的。所謂割圓術(shù)，就是從圓內(nèi)接正六多邊形開(kāi)始，不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓周率的方法。即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，邊數(shù)越多，正多邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形的面積越接近圓的面積，進(jìn)而來(lái)求得較為精確的圓周率。劉徽(約225年-約295年)，漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一。在中國(guó)數(shù)學(xué)史上作出了極大的貢獻(xiàn)，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。他是中國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期哲學(xué)家:莊周“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”《莊子天下篇》一尺即“一根長(zhǎng)為一尺的棒頭，每天截去一半，千秋萬(wàn)代也截不完.”說(shuō)明了物質(zhì)無(wú)限可分，人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)是沒(méi)有止境的道理。未看到量變到一定程度會(huì)引起質(zhì)變。實(shí)際上，每天截后剩下的棒的長(zhǎng)度是（單位為尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；（約公元前369—前286年）案例2.莊周---截杖問(wèn)題第天剩下；……；這樣，我們就得到一列數(shù)……；……這一列數(shù)就是一個(gè)數(shù)列.

隨著時(shí)間的推移，剩下的棒的長(zhǎng)度越來(lái)越短.顯然,當(dāng)天數(shù)無(wú)限增大時(shí),剩下的棒的長(zhǎng)度將無(wú)限縮短,即剩下的棒的長(zhǎng)度接近于數(shù)0.

這時(shí)我們就稱(chēng)由剩下的棒的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列以常數(shù)0為極限.并記作一、極限的概念考慮函數(shù)y=f(x),自變量x在變化過(guò)程中的取值一定屬于函數(shù)定義域,分下列兩種基本情況討論函數(shù)y=f(x)的變化趨勢(shì).1.第一種基本情況自變量x取值無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn),這意味著自變量x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大,記作x→∞6x→∞包括兩個(gè)方向:一個(gè)是沿著x軸的負(fù)向遠(yuǎn)離原點(diǎn),這時(shí)自變量x取值為負(fù)且|x|無(wú)限增大,記作x→-∞另一個(gè)則是沿著x軸的正向遠(yuǎn)離原點(diǎn),這時(shí)自變量x取值為正且|x|無(wú)限增大,記作x→+∞因而x→∞意味著同時(shí)考慮x→-∞與x→+∞7例1

8定義1.8已知函數(shù)f(x)在自變量x取值無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)的情況下有定義,當(dāng)x→∞時(shí),若函數(shù)f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A,記作

注意到x→∞意味著同時(shí)考慮x→-∞與x→+∞.于是有下面的定理.9定理1.1

同時(shí)成立.10

根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例1中極限

11例2

解:觀察函數(shù)y=sinx的圖形,如圖12容易看出:無(wú)論當(dāng)x?-∞時(shí)還是當(dāng)x?+∞時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)y值在區(qū)間[-1,1]上振蕩,不能無(wú)限接近于任何常數(shù),所以極限

13

定理1.2142.第二種基本情況自變量x取值無(wú)限接近于有限點(diǎn)x0,記作x→x0應(yīng)注意的是:在x→x0的過(guò)程中,點(diǎn)x始終不到達(dá)點(diǎn)x0,即恒有x≠x0.x→x0包括兩個(gè)方向:

15例3

考慮函數(shù)y=2x+1,在點(diǎn)x=5左右,自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)數(shù)值情況列表如表x4.94.994.999…5.0015.015.1y10.810.9810.998…11.00211.0211.2容易看出:當(dāng)x→5時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)y值無(wú)限接近于常數(shù)1116定義1.9

已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0左右有定義,當(dāng)x→x0時(shí),若函數(shù)f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限為A,記作

17定理1.3

同時(shí)成立.18極限的概念這個(gè)定理說(shuō)明:函數(shù)在有限點(diǎn)處極限存在的充分必要條件是左極限與右極限都存在且相等.

19極限的概念

由于在x→x0的過(guò)程中,恒有x≠x0,因而在一般情況下,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有無(wú)定義都不影響它在點(diǎn)x0處的極限情況.根據(jù)函數(shù)極限的定義,在例3中極限

20極限的概念數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為變量,它們的極限統(tǒng)稱(chēng)為變量極限.如果變量極限存在,則其極限是唯一的,其在極限過(guò)程中某時(shí)刻后有界.若變量y的極限為A,則記作limy=A以后只在討論對(duì)于數(shù)列極限與函數(shù)極限皆適用的一般性結(jié)論時(shí),才能使用通用記號(hào)limy若已經(jīng)給出變量y的函數(shù)表達(dá)式,則不能使用通用記號(hào),必須在極限記號(hào)下面標(biāo)明自變量的變化趨勢(shì).顯然,常數(shù)c的極限等于c,即limc=c

(c為常數(shù))21二、極限的基本運(yùn)算法則法則1如果極限limu與limv都存在,則極限lim(u±v)=limu±limv法則2如果極限limu與limv都存在,則極限limuv=limulimv法則3如果極限limu與limv都存在,且極限limv≠0,則極限

22法則4如果極限limu(x)存在,且函數(shù)值f(limu(x))有意義,則極限limf(u(x))=f(limu(x))法則5如果函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镈的初等函數(shù),且有限點(diǎn)x0∈D,則極限

23極限的基本運(yùn)算法則推論1如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推論2如果有限個(gè)變量u1,u2,…,um的極限都存在,則極限limu1u2…um=limu1limu2…limum推論3如果極限limv存在,k為常數(shù),則極限limkv=klimv24例4

=lg(2+0)=lg225本來(lái)在一般情況下,函數(shù)在屬于定義域的有限點(diǎn)處的極限值與它在該點(diǎn)處的函數(shù)值沒(méi)有必然聯(lián)系,但法則5說(shuō)明:

初等函數(shù)在屬于定義域的有限點(diǎn)處的極限值卻等于它在該點(diǎn)處的函數(shù)值,因此法則5解決了初等函數(shù)的基本極限計(jì)算

26繼續(xù)討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限.

若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣,則直接計(jì)算其極限;若分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式不一樣