備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第六章平面向量復(fù)數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.5.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的應(yīng)用.平面向量的數(shù)量積運(yùn)算2023全國(guó)卷乙T6；2022全國(guó)卷乙T3；2022全國(guó)卷甲T13；2021新高考卷ⅡT15；2020北京T13；2019全國(guó)卷ⅡT3本講每年必考，主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、模長(zhǎng)、垂直問題，一般以客觀題形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)備考的同時(shí)要關(guān)注向量與三角、解析幾何等的綜合以及坐標(biāo)法在解題中的應(yīng)用.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用2023新高考卷ⅠT3；2023新高考卷ⅡT13；2023全國(guó)卷甲T4；2022全國(guó)卷乙T3；2022新高考卷ⅡT4；2022天津T14；2021新高考卷ⅠT10；2021全國(guó)卷甲T14；2021全國(guó)卷甲T14；2021全國(guó)卷乙T14；2020全國(guó)卷ⅠT14；2020全國(guó)卷ⅡT13；2020新高考卷ⅠT7；2019全國(guó)卷ⅠT7平面向量的應(yīng)用2023全國(guó)卷乙T12；2020天津T151.向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn).作OA＝a，OB＝b，則①∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作＜a，b＞.設(shè)θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是②[0，π].θ＝0或π?③a∥b，④θ＝π2?a⊥b注意確定向量的夾角時(shí)應(yīng)注意“共起點(diǎn)”.思維拓展1.兩個(gè)向量夾角的范圍為[0，π]，兩條直線夾角的范圍為[0，π2]2.（1）兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且向量a，b不共線；（2）兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且向量a，b不共線.2.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，我們把數(shù)量⑤｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作⑥a·b.注意零向量與任一向量的數(shù)量積為0.3.投影與投影向量如圖，過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作向量CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b⑦投影，A1B1叫做向量a設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則A1B1＝｜a｜c(diǎn)os4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有（1）a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.注意（1）向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即（a·b）·c不一定等于a·（b·c），這是由于（a·b）·c表示一個(gè)與c共線的向量，a·（b·c）表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線.（2）a·b＝a·c（a≠0）b＝c，等式兩邊不能約去同一個(gè)向量.（3）平方差公式、完全平方公式仍適用.5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ.a·b＝⑨x1x2＋y1y2.模｜a｜＝a·｜a｜＝⑩x12夾角cosθ＝?a·bcosθ＝x1a⊥b的充要條件a·b＝0.?x1x2＋y1y2＝0.a∥b的充要條件a＝λb（λ∈R）.?x1y2－x2y1＝0.｜a·b｜與｜a｜｜b｜的關(guān)系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）.｜x1x2＋y1y2｜≤（x1.以下說(shuō)法正確的是（A）A.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0C.（a·b）·c＝a·（b·c）D.已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，若a·b＞0，則θ為銳角2.[教材改編]已知向量a＝（1＋x，x－3），b＝（1－x，2），a·b＝－4，則a＋2b與b的夾角為（B）A.π3 B.π4 C.2π3解析因?yàn)閍·b＝－4，所以（1＋x）（1－x）＋2（x－3）＝－4，得x＝1.所以a＝（2，－2），b＝（0，2），所以a＋2b＝（2，2），｜a＋2b｜＝22＋22＝22，｜b｜＝2，所以cos＜a＋2b，b＞＝（a+2b）·b｜a+2b||b｜＝422×2＝22.又＜a＋23.[2022全國(guó)卷甲]已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1）.若a⊥b，則m＝－34解析∵a⊥b，∴a·b＝m＋3（m＋1）＝4m＋3＝0，解得m＝－344.已知點(diǎn)A（－1，1），B（1，2），C（－2，－1），D（3，4），則AB在CD方向上的投影向量為（32，32解析依題意，得CD＝（5，5），則與CD同向的單位向量e＝CD｜CD｜＝（22，22），AB＝（2，1），則AB在CD方向上的投影向量為AB·CD｜CD｜·e＝10+552（22，22）5.[易錯(cuò)題]已知平面內(nèi)三個(gè)向量a，b，c兩兩夾角相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝3，則｜a＋b＋c｜＝2或5.解析當(dāng)a，b，c共線時(shí)，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c(diǎn)｜＝5；當(dāng)a，b，c兩兩夾角為2π3時(shí)，a·b＝－12，a·c＝b·c＝－32.｜a＋b＋c｜＝｜研透高考明確方向命題點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積運(yùn)算例1（1）[2023全國(guó)卷乙]正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則EC·ED＝（B）A.5 B.3 C.25 D.5解析解法一由題意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AB｜＝2，所以EC·ED＝4－1＝3，故選B.解法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則E（1，0），C（2，2），D（0，2），則EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故選B.（2）[2022全國(guó)卷甲]設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，則（2a＋b）·b＝11解析（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11方法技巧求非零向量a，b的數(shù)量積的方法1.定義法：a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ.2.基底法：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解.3.坐標(biāo)法：已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，利用a·b＝x1x2＋y1y2求解.訓(xùn)練1（1）[2022全國(guó)卷乙]已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，則a·b＝（C）A.－2 B.－1 C.1 D.2解析由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故選C.（2）[全國(guó)卷Ⅱ]已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，則AB·BC＝（C）A.－3 B.－2 C.2 D.3解析因?yàn)锽C＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝1+（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×1＋3命題點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用角度1向量的模問題例2（1）[2022全國(guó)卷乙]已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），則｜a－b｜＝（D）A.2 B.3 C.4 D.5解析由題意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝42＋（－3（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知向量a，b滿足｜a－b｜＝3，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，則｜b｜＝3.解析由｜a－b｜＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3①.由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2＝2a·b，結(jié)合①，得a2＝a2＋b2－3，整理得，b2＝3，所以｜b｜＝3.方法技巧求平面向量模的兩種方法公式法利用如下公式轉(zhuǎn)化求解.①a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝a·②｜a±b｜＝（a±b③若a＝（x，y），則｜a｜＝x2幾何法利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等求解.角度2向量的夾角問題例3（1）[2023全國(guó)卷甲]已知向量a，b，c滿足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝2，且a＋b＋c＝0，則cos＜a－c，b－c＞＝（D）A.－45 B.－25 C.25 解析∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式兩邊同時(shí)平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.解法一∵a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝∴cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）解法二如圖，令OA＝a，OB＝b，則OC＝c，∴CA＝a－c，CB＝b－c，而｜AB｜＝2，｜AC｜＝｜BC｜＝5，在△ABC中，由余弦定理得cos＜a－c，b－c＞＝cos＜CA，CB＞＝cos∠ACB＝5+5－225×解法三如圖，令向量a，b的起點(diǎn)均為O，終點(diǎn)分別為A，B，以O(shè)A，OB的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝（－1，－1），所以a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），則cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝（C）A.－6 B.－5 C.5 D.6解析解法一由題意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因?yàn)椋糰，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||解法二因?yàn)椋糰，c＞＝＜b，c＞，且c＝a＋tb，所以由向量加法的平行四邊形法則得｜a｜＝t｜b｜，易知｜a｜＝5，｜b｜＝1，所以t＝5.方法技巧求平面向量夾角問題的三種方法定義法當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，由cosθ＝a·b坐標(biāo)法若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則cos＜a，b＞＝x1x2＋y1y2x12＋y解三角形法可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解.注意向量夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系.角度3向量的垂直問題例4（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），則（D）A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1解析因?yàn)閍＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因?yàn)椋╝＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故選D.（2）[全國(guó)卷Ⅱ]已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是（D）A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b解析解法一由題意，得a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os60°＝12.對(duì)于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合題意；對(duì)于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對(duì)于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合題意；對(duì)于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥解法二根據(jù)條件，分別作出向量b與A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的向量的位置關(guān)系，如圖所示. A B C D由圖易知，只有選項(xiàng)D滿足題意.故選D.解法三不妨設(shè)a＝（12，32），b＝（1，0），則a＋2b＝（52，32），2a＋b＝（2，3），a－2b＝（－32，32），2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，即（2a－b方法技巧1.證明兩個(gè)向量垂直的解題策略先計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)或表示出兩個(gè)向量，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.2.已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù).訓(xùn)練2（1）[2023廣州市二檢]已知兩個(gè)非零向量a，b滿足｜a｜＝3｜b｜，（a＋b）⊥b，則cos〈a，b〉＝（D）A.12 B.－12 C.13 解析因?yàn)椋╝＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，即a·b＝－b2，所以｜a｜·｜b｜·cos〈a，b〉＝－｜b｜2，即3｜b｜·｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝－｜b｜2，則cos〈a，b〉＝－13.故選（2）[2021全國(guó)卷甲]若向量a，b滿足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，則｜b｜＝32.解析由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，結(jié)合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝32.命題點(diǎn)3平面向量的應(yīng)用例5在日常生活中，我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情況（如圖）.假設(shè)行李包所受重力為G，所受的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2.若｜F1｜＝｜F2｜，F(xiàn)1與F2的夾角為θ，則下列結(jié)論不正確的是（D）A.｜F1｜的最小值為12｜GB.當(dāng)θ＝2π3時(shí)，｜F1｜＝｜C.當(dāng)θ＝π2時(shí)，｜F1｜＝22｜D.當(dāng)θ＝2π3時(shí)，F(xiàn)1在F2解析由題意知，｜G｜＝｜F1＋F2｜，且｜G｜為定值，因?yàn)椋麱1｜＝｜F2｜，所以｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜｜F2｜·cosθ＝2｜F1｜2（1＋cosθ），所以｜F1｜2＝｜G當(dāng)θ∈