備考2024屆高考數(shù)學一輪復習講義第六章平面向量復數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積及應用

第3講平面向量的數(shù)量積及應用課標要求命題點五年考情命題分析預測1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.4.能用坐標表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個平面向量的夾角.5.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學和實際問題中的應用.平面向量的數(shù)量積運算2023全國卷乙T6；2022全國卷乙T3；2022全國卷甲T13；2021新高考卷ⅡT15；2020北京T13；2019全國卷ⅡT3本講每年必考，主要考查向量的數(shù)量積運算、向量的夾角、模長、垂直問題，一般以客觀題形式出現(xiàn)，難度不大.預計2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)備考的同時要關注向量與三角、解析幾何等的綜合以及坐標法在解題中的應用.平面向量數(shù)量積的應用2023新高考卷ⅠT3；2023新高考卷ⅡT13；2023全國卷甲T4；2022全國卷乙T3；2022新高考卷ⅡT4；2022天津T14；2021新高考卷ⅠT10；2021全國卷甲T14；2021全國卷甲T14；2021全國卷乙T14；2020全國卷ⅠT14；2020全國卷ⅡT13；2020新高考卷ⅠT7；2019全國卷ⅠT7平面向量的應用2023全國卷乙T12；2020天津T151.向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點.作OA＝a，OB＝b，則①∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作＜a，b＞.設θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是②[0，π].θ＝0或π?③a∥b，④θ＝π2?a⊥b注意確定向量的夾角時應注意“共起點”.思維拓展1.兩個向量夾角的范圍為[0，π]，兩條直線夾角的范圍為[0，π2]2.（1）兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且向量a，b不共線；（2）兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且向量a，b不共線.2.平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b的夾角為θ，我們把數(shù)量⑤｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作⑥a·b.注意零向量與任一向量的數(shù)量積為0.3.投影與投影向量如圖，過AB的起點A和終點B，分別作向量CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b⑦投影，A1B1叫做向量a設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則A1B1＝｜a｜cos4.向量數(shù)量積的運算律對于向量a，b，c和實數(shù)λ，有（1）a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.注意（1）向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即（a·b）·c不一定等于a·（b·c），這是由于（a·b）·c表示一個與c共線的向量，a·（b·c）表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線.（2）a·b＝a·c（a≠0）b＝c，等式兩邊不能約去同一個向量.（3）平方差公式、完全平方公式仍適用.5.平面向量數(shù)量積的有關結(jié)論已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數(shù)量積a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.a·b＝⑨x1x2＋y1y2.模｜a｜＝a·｜a｜＝⑩x12夾角cosθ＝?a·bcosθ＝x1a⊥b的充要條件a·b＝0.?x1x2＋y1y2＝0.a∥b的充要條件a＝λb（λ∈R）.?x1y2－x2y1＝0.｜a·b｜與｜a｜｜b｜的關系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當且僅當a∥b時等號成立）.｜x1x2＋y1y2｜≤（x1.以下說法正確的是（A）A.兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加法、減法、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0C.（a·b）·c＝a·（b·c）D.已知兩個非零向量a與b的夾角為θ，若a·b＞0，則θ為銳角2.[教材改編]已知向量a＝（1＋x，x－3），b＝（1－x，2），a·b＝－4，則a＋2b與b的夾角為（B）A.π3 B.π4 C.2π3解析因為a·b＝－4，所以（1＋x）（1－x）＋2（x－3）＝－4，得x＝1.所以a＝（2，－2），b＝（0，2），所以a＋2b＝（2，2），｜a＋2b｜＝22＋22＝22，｜b｜＝2，所以cos＜a＋2b，b＞＝（a+2b）·b｜a+2b||b｜＝422×2＝22.又＜a＋23.[2022全國卷甲]已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1）.若a⊥b，則m＝－34解析∵a⊥b，∴a·b＝m＋3（m＋1）＝4m＋3＝0，解得m＝－344.已知點A（－1，1），B（1，2），C（－2，－1），D（3，4），則AB在CD方向上的投影向量為（32，32解析依題意，得CD＝（5，5），則與CD同向的單位向量e＝CD｜CD｜＝（22，22），AB＝（2，1），則AB在CD方向上的投影向量為AB·CD｜CD｜·e＝10+552（22，22）5.[易錯題]已知平面內(nèi)三個向量a，b，c兩兩夾角相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝3，則｜a＋b＋c｜＝2或5.解析當a，b，c共線時，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝5；當a，b，c兩兩夾角為2π3時，a·b＝－12，a·c＝b·c＝－32.｜a＋b＋c｜＝｜研透高考明確方向命題點1平面向量的數(shù)量積運算例1（1）[2023全國卷乙]正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC·ED＝（B）A.5 B.3 C.25 D.5解析解法一由題意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AB｜＝2，所以EC·ED＝4－1＝3，故選B.解法二以點A為坐標原點，AB，AD的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則E（1，0），C（2，2），D（0，2），則EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故選B.（2）[2022全國卷甲]設向量a，b的夾角的余弦值為13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，則（2a＋b）·b＝11解析（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11方法技巧求非零向量a，b的數(shù)量積的方法1.定義法：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.2.基底法：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別表示出來，進而根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義求解.3.坐標法：已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，利用a·b＝x1x2＋y1y2求解.訓練1（1）[2022全國卷乙]已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，則a·b＝（C）A.－2 B.－1 C.1 D.2解析由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故選C.（2）[全國卷Ⅱ]已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，則AB·BC＝（C）A.－3 B.－2 C.2 D.3解析因為BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝1+（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×1＋3命題點2平面向量數(shù)量積的應用角度1向量的模問題例2（1）[2022全國卷乙]已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），則｜a－b｜＝（D）A.2 B.3 C.4 D.5解析由題意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝42＋（－3（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知向量a，b滿足｜a－b｜＝3，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，則｜b｜＝3.解析由｜a－b｜＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3①.由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2＝2a·b，結(jié)合①，得a2＝a2＋b2－3，整理得，b2＝3，所以｜b｜＝3.方法技巧求平面向量模的兩種方法公式法利用如下公式轉(zhuǎn)化求解.①a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝a·②｜a±b｜＝（a±b③若a＝（x，y），則｜a｜＝x2幾何法利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等求解.角度2向量的夾角問題例3（1）[2023全國卷甲]已知向量a，b，c滿足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，則cos＜a－c，b－c＞＝（D）A.－45 B.－25 C.25 解析∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式兩邊同時平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.解法一∵a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝∴cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）解法二如圖，令OA＝a，OB＝b，則OC＝c，∴CA＝a－c，CB＝b－c，而｜AB｜＝2，｜AC｜＝｜BC｜＝5，在△ABC中，由余弦定理得cos＜a－c，b－c＞＝cos＜CA，CB＞＝cos∠ACB＝5+5－225×解法三如圖，令向量a，b的起點均為O，終點分別為A，B，以OA，OB的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝（－1，－1），所以a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），則cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝（C）A.－6 B.－5 C.5 D.6解析解法一由題意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因為＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||解法二因為＜a，c＞＝＜b，c＞，且c＝a＋tb，所以由向量加法的平行四邊形法則得｜a｜＝t｜b｜，易知｜a｜＝5，｜b｜＝1，所以t＝5.方法技巧求平面向量夾角問題的三種方法定義法當a，b是非坐標形式時，由cosθ＝a·b坐標法若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則cos＜a，b＞＝x1x2＋y1y2x12＋y解三角形法可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解.注意向量夾角與三角形內(nèi)角的關系.角度3向量的垂直問題例4（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），則（D）A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1解析因為a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因為（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故選D.（2）[全國卷Ⅱ]已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是（D）A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b解析解法一由題意，得a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝12.對于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合題意；對于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合題意；對于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥解法二根據(jù)條件，分別作出向量b與A，B，C，D四個選項對應的向量的位置關系，如圖所示. A B C D由圖易知，只有選項D滿足題意.故選D.解法三不妨設a＝（12，32），b＝（1，0），則a＋2b＝（52，32），2a＋b＝（2，3），a－2b＝（－32，32），2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，即（2a－b方法技巧1.證明兩個向量垂直的解題策略先計算出這兩個向量的坐標或表示出兩個向量，然后根據(jù)數(shù)量積的運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.2.已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù).訓練2（1）[2023廣州市二檢]已知兩個非零向量a，b滿足｜a｜＝3｜b｜，（a＋b）⊥b，則cos〈a，b〉＝（D）A.12 B.－12 C.13 解析因為（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，即a·b＝－b2，所以｜a｜·｜b｜·cos〈a，b〉＝－｜b｜2，即3｜b｜·｜b｜cos〈a，b〉＝－｜b｜2，則cos〈a，b〉＝－13.故選（2）[2021全國卷甲]若向量a，b滿足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，則｜b｜＝32.解析由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，結(jié)合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝32.命題點3平面向量的應用例5在日常生活中，我們會看到兩人共提一個行李包的情況（如圖）.假設行李包所受重力為G，所受的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2.若｜F1｜＝｜F2｜，F(xiàn)1與F2的夾角為θ，則下列結(jié)論不正確的是（D）A.｜F1｜的最小值為12｜GB.當θ＝2π3時，｜F1｜＝｜C.當θ＝π2時，｜F1｜＝22｜D.當θ＝2π3時，F(xiàn)1在F2解析由題意知，｜G｜＝｜F1＋F2｜，且｜G｜為定值，因為｜F1｜＝｜F2｜，所以｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜｜F2｜·cosθ＝2｜F1｜2（1＋cosθ），所以｜F1｜2＝｜G當θ∈