新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章概率3.2離散型隨機(jī)變量及其分布列3.2.4離散型隨機(jī)變量的方差課件湘教版選擇性必修第二冊(cè)

3.2.4離散型隨機(jī)變量的方差新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(x1－E(x))2p1＋(x2－E(x))2p2＋…＋(xn－E(x))2pn

要點(diǎn)二幾個(gè)特殊分布的期望與方差要點(diǎn)三幾個(gè)常用公式若Y＝aX＋b，a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝________，其中k為常數(shù)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(X＋b)＝D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)?分布數(shù)學(xué)期望(均值)方差兩點(diǎn)分布X～B(1，p)E(X)＝pD(X)＝________二項(xiàng)分布X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝________p(1－p)np(1－p)0批注?離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變；若離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)a，其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．(

)(2)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．(

)(3)離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的單位是相同的．(

)×××2．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則D(ξ)＝(

)A.0.95B．3.2C.0.7D．3.56ξ135P0.40.10.5答案：D解析：由題意，得E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.3．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率P＝0.5，則E(X)和D(X)分別為(

)A.0.25；0.5

B．0.5；0.75C.0.5；0.25

D．1；0.75

答案：C解析：E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.

題型探究·課堂解透題型1方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及性質(zhì)例1已知X的分布列如表：(1)計(jì)算X的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．X－101Pa

方法歸納對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過(guò)程中應(yīng)注意性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁雜的計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．鞏固訓(xùn)練1

已知η的分布列為：(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y)．

η010205060P

題型2幾類特殊的分布例2已知某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率P＝0.6.(1)求一次投籃中命中次數(shù)X的期望與方差；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)Y的期望與方差．解析：(1)方法一投籃一次命中次數(shù)X的分布列為則E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.方法二X服從兩點(diǎn)分布，∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.24.(2)由題意可知，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B(5，0.6)．故由二項(xiàng)分布期望與方差的計(jì)算公式有E(Y)＝5×0.6＝3，D(Y)＝5×0.6×0.4＝1.2.X01P0.40.6方法歸納求幾類特殊分布的方差的步驟鞏固訓(xùn)練2

甲、乙、丙3人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，每人譯出此密碼的概率均為0.25.設(shè)隨機(jī)變量X表示譯出密碼的人數(shù)，求期望，方差和標(biāo)準(zhǔn)差．

題型3方差的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例3為選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手，對(duì)甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測(cè)試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人．

解析：(1)依據(jù)題意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.因?yàn)橐疑渲?0，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中ξ，η的分布列，可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.因?yàn)镋(ξ)>E(η)，說(shuō)明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高．又因?yàn)镈(ξ)<D(η)，說(shuō)明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定，所以甲的射擊技術(shù)好，故應(yīng)選甲．方法歸納利用期望與方差的意義分析解決實(shí)際問(wèn)題的策略鞏固訓(xùn)練3

有甲、乙兩名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí)，各自的成績(jī)?cè)?0分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：乙：試分析兩名學(xué)生的成績(jī)水平．分?jǐn)?shù)X8090100概率P0.20.60.2分?jǐn)?shù)Y8090100概率P0.40.20.4解析：因?yàn)镋(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90