《7.5 正態(tài)分布》考點(diǎn)講解與專(zhuān)題訓(xùn)練

《7.5正態(tài)分布》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】【常見(jiàn)考點(diǎn)】考點(diǎn)一正態(tài)分布的特征【例1】（1）若隨機(jī)變量，且，則等于（）A．B．C．D．（2）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)等于（）A．B．C．D．【一隅三反】1．某校一次高三年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)，經(jīng)抽樣分析，成績(jī)占近似服從正態(tài)分布，且．若該校有700人參加此次檢測(cè)，估計(jì)該校此次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于99分的人數(shù)為（）A．100B．125C．150D．1752．某種芯片的良品率服從正態(tài)分布，公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若芯片的良品率不超過(guò)，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若芯片的良品率超過(guò)但不超過(guò)，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)元；若芯片的良品率超過(guò)，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)元.則每張芯片獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望為（）元附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.A．B．C．D．3．某市為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，組織全市10萬(wàn)中小學(xué)生參加網(wǎng)絡(luò)古詩(shī)詞知識(shí)答題比賽，總分100分，經(jīng)過(guò)分析比賽成績(jī)，發(fā)現(xiàn)成績(jī)服從正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)比賽成績(jī)不小于90分的學(xué)生人數(shù)約為（）〖參考數(shù)據(jù)〗：，，A．2300B．3170C．3415D．460考點(diǎn)二正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例2】根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)濾率是生產(chǎn)醫(yī)用口罩的重要參考標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于直徑小于5微米的顆粒的過(guò)濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取10個(gè)醫(yī)用口置，檢測(cè)其過(guò)濾率，依據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過(guò)濾率服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，生產(chǎn)出的每個(gè)口罩彼此獨(dú)立.記表示一天內(nèi)抽取10個(gè)口罩中過(guò)濾率小于或等于的數(shù)量.（1）求的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）一天內(nèi)抽檢的口罩中，如果出現(xiàn)了過(guò)濾率小于的口罩，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查維修，試問(wèn)這種監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法合理嗎？附：若隨機(jī)變量，則，，，.【一隅三反】1．為了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高度(單位：)，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）假設(shè)該植物的高度服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布求.附：.若，則.2．某工廠生產(chǎn)某種零件，檢驗(yàn)員每天從該零件的生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；（2）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：10.129.9710.019.9510.029.989.2110.0310.049.999.989.9710.019.9710.0310.11經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.9974，0．997416≈0.9592，3．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場(chǎng)，均養(yǎng)有1萬(wàn)頭豬．根據(jù)豬的體重，將其分為三個(gè)成長(zhǎng)階段，如下表：階段幼年期成長(zhǎng)期成年期體重根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布．由于我國(guó)有關(guān)部門(mén)加強(qiáng)對(duì)大型養(yǎng)豬場(chǎng)即將投放市場(chǎng)的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年期的豬，甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式．已知甲，乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)內(nèi)一頭成年期的豬能通過(guò)質(zhì)檢合格的概率分別為．（1）試估算各養(yǎng)豬場(chǎng)三個(gè)階段的豬的數(shù)量；（2）已知甲養(yǎng)豬場(chǎng)出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合格的豬，則虧損200元；乙養(yǎng)豬場(chǎng)出售--頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損100元記為甲，乙養(yǎng)豬場(chǎng)各出售一頭成年期的豬所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列，假設(shè)兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)均能把成年期的豬售完，求兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)的總利潤(rùn)的期望值．（參考數(shù)據(jù)：若，則）考點(diǎn)三正態(tài)分布與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例3】某校組織了健康防護(hù)的知識(shí)測(cè)試（百分制）活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，并計(jì)算得知這個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?，其中個(gè)低分成績(jī)分別是、、、、；而產(chǎn)生的個(gè)高分成績(jī)分別是、、、、、、、、、．（1）為了評(píng)估該校的防控是否有效，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，若該校學(xué)生的測(cè)試得分近似滿(mǎn)足正態(tài)分布（和分別為樣本平均數(shù)和方差），則認(rèn)為防控有效，否則視為效果不佳．經(jīng)過(guò)計(jì)算得知樣本方差為，請(qǐng)判斷該校的疫情防控是否有效，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）規(guī)定：若，，則稱(chēng)變量“近似滿(mǎn)足正態(tài)分布的概率分布”．（2）學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)疫情防控的配合，決定對(duì)分及以上的同學(xué)通過(guò)抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，得分低于分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，不低于分的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．每次抽獎(jiǎng)獲得元獎(jiǎng)金的概率是，獲得元的概率是．現(xiàn)在從這個(gè)高分學(xué)生中隨機(jī)選一名，記其獲獎(jiǎng)金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【一隅三反】1．某學(xué)校工會(huì)積極組織學(xué)校教職工參與“日行萬(wàn)步”健身活動(dòng)，規(guī)定每日行走不足8千步的人為“不健康生活方式者”，不少于14千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般健康生活方式者”.某日，學(xué)校工會(huì)隨機(jī)抽取了該校300名教職工的“日行萬(wàn)步”健身活動(dòng)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)出他們的日行步數(shù)(單位：千步，且均在內(nèi))，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）求被抽取的300名教職工日行步數(shù)的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（2）由直方圖可以認(rèn)為該校教職工的日行步數(shù)服從正態(tài)分布，其中，為（1）中求得的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為2，求該校被抽取的300名教職工中日行步數(shù)的人數(shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.若工會(huì)從該校教職工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬(wàn)步”活動(dòng)的慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)金額每人0元；“一般健康生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人100元；“超健康生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人200元，求工會(huì)慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.2．國(guó)家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類(lèi)制度實(shí)施方案》，規(guī)定某46個(gè)大中城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類(lèi)，并且垃圾回收、利用率要達(dá)標(biāo)．某市在實(shí)施垃圾分類(lèi)的過(guò)程中，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的類(lèi)社區(qū)（全市共320個(gè)）中隨機(jī)抽取了50個(gè)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過(guò)28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類(lèi)社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個(gè)樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個(gè)社區(qū)中，這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個(gè)跟蹤調(diào)查其垃圾來(lái)源．設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若服從正態(tài)分布，則；；．答案解析考點(diǎn)一正態(tài)分布的特征【例1】（1）若隨機(jī)變量，且，則等于（）A．B．C．D．（2）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】（1）A(2）B【解析】（1）由于隨機(jī)變量，則，因此，.故選：A.（2）∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5與x=a+1關(guān)于x=4對(duì)稱(chēng)，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選:B．【一隅三反】1．某校一次高三年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)，經(jīng)抽樣分析，成績(jī)占近似服從正態(tài)分布，且．若該校有700人參加此次檢測(cè)，估計(jì)該校此次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于99分的人數(shù)為（）A．100B．125C．150D．175【答案】D【解析】由題意，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，又由，根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得，所以該市某校有700人中，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于99分的人數(shù)為人，故選：D.2．某種芯片的良品率服從正態(tài)分布，公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若芯片的良品率不超過(guò)，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若芯片的良品率超過(guò)但不超過(guò)，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)元；若芯片的良品率超過(guò)，每張芯片獎(jiǎng)勵(lì)元.則每張芯片獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望為（）元附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，得出，，所以，；，所以（元）故選：B3．某市為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，組織全市10萬(wàn)中小學(xué)生參加網(wǎng)絡(luò)古詩(shī)詞知識(shí)答題比賽，總分100分，經(jīng)過(guò)分析比賽成績(jī)，發(fā)現(xiàn)成績(jī)服從正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)比賽成績(jī)不小于90分的學(xué)生人數(shù)約為（）〖參考數(shù)據(jù)〗：，，A．2300B．3170C．3415D．460【答案】A【解析】依題意知，所以則，所以比賽成績(jī)不小于90分的學(xué)生人數(shù)約為故選：A考點(diǎn)二正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例2】根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)濾率是生產(chǎn)醫(yī)用口罩的重要參考標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于直徑小于5微米的顆粒的過(guò)濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取10個(gè)醫(yī)用口置，檢測(cè)其過(guò)濾率，依據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過(guò)濾率服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，生產(chǎn)出的每個(gè)口罩彼此獨(dú)立.記表示一天內(nèi)抽取10個(gè)口罩中過(guò)濾率小于或等于的數(shù)量.（1）求的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）一天內(nèi)抽檢的口罩中，如果出現(xiàn)了過(guò)濾率小于的口罩，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查維修，試問(wèn)這種監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法合理嗎？附：若隨機(jī)變量，則，，，.【答案】（1）；（2）；（3）這種監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中過(guò)濾率在內(nèi)的概率，所以，所以，故（2）由題意可知，所以.（3）如果按照正常狀態(tài)生產(chǎn)，由（1）中計(jì)算可知，一只口罩過(guò)濾率小于或等于的概率，一天內(nèi)抽取的10只口覃中，出現(xiàn)過(guò)濾率小于或等于的概率，發(fā)生的概率非常小，屬于小概率事件.所以一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查維修.可見(jiàn)這種監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法合理.【一隅三反】1．為了解一種植物的生長(zhǎng)情況，抽取一批該植物樣本測(cè)量高度(單位：)，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）假設(shè)該植物的高度服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布求.附：.若，則.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由題意可得平均數(shù)，（2）由（1）知，，從而所以.2．某工廠生產(chǎn)某種零件，檢驗(yàn)員每天從該零件的生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；（2）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：10.129.9710.019.9510.029.989.2110.0310.049.999.989.9710.019.9710.0310.11經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.9974，0．997416≈0.9592，【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查；10.01；0.05.【解析】(1)∵抽取的一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率為0.9974，∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16,0.0026)．P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408；X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)，s≈0.20，得，.∵樣本數(shù)據(jù)可以看到有一個(gè)零件的尺寸在之外，∴需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)9.21之后，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得μ的估計(jì)值為10.01.∵，剔除之外的數(shù)據(jù)9.21之后，剩下數(shù)據(jù)的方差為，∴σ的估計(jì)值為.3．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場(chǎng)，均養(yǎng)有1萬(wàn)頭豬．根據(jù)豬的體重，將其分為三個(gè)成長(zhǎng)階段，如下表：階段幼年期成長(zhǎng)期成年期體重根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布．由于我國(guó)有關(guān)部門(mén)加強(qiáng)對(duì)大型養(yǎng)豬場(chǎng)即將投放市場(chǎng)的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年期的豬，甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式．已知甲，乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)內(nèi)一頭成年期的豬能通過(guò)質(zhì)檢合格的概率分別為．（1）試估算各養(yǎng)豬場(chǎng)三個(gè)階段的豬的數(shù)量；（2）已知甲養(yǎng)豬場(chǎng)出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合格的豬，則虧損200元；乙養(yǎng)豬場(chǎng)出售--頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損100元記為甲，乙養(yǎng)豬場(chǎng)各出售一頭成年期的豬所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列，假設(shè)兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)均能把成年期的豬售完，求兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)的總利潤(rùn)的期望值．（參考數(shù)據(jù)：若，則）【答案】（1）幼年期的豬215頭，成長(zhǎng)期的豬9540頭，成年期的豬215頭；（2）135450元.【解析】（1）設(shè)各階段豬的數(shù)量分別為，∵豬的體重近似服從正態(tài)分布，，（頭）；（頭）；，（頭）∴甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)各有幼年期的豬215頭，成長(zhǎng)期的豬9540頭，成年期的豬215頭．（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為900，300，．，的分布列為900300（元），由于兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)均有215頭成年期的豬，且兩個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)各出售一頭成年期的豬所得的總利潤(rùn)的期望為630元，則總利潤(rùn)的期望為（元）．考點(diǎn)三正態(tài)分布與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【例3】某校組織了健康防護(hù)的知識(shí)測(cè)試（百分制）活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，并計(jì)算得知這個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?，其中個(gè)低分成績(jī)分別是、、、、；而產(chǎn)生的個(gè)高分成績(jī)分別是、、、、、、、、、．（1）為了評(píng)估該校的防控是否有效，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，若該校學(xué)生的測(cè)試得分近似滿(mǎn)足正態(tài)分布（和分別為樣本平均數(shù)和方差），則認(rèn)為防控有效，否則視為效果不佳．經(jīng)過(guò)計(jì)算得知樣本方差為，請(qǐng)判斷該校的疫情防控是否有效，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）規(guī)定：若，，則稱(chēng)變量“近似滿(mǎn)足正態(tài)分布的概率分布”．（2）學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)疫情防控的配合，決定對(duì)分及以上的同學(xué)通過(guò)抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，得分低于分的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，不低于分的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．每次抽獎(jiǎng)獲得元獎(jiǎng)金的概率是，獲得元的概率是．現(xiàn)在從這個(gè)高分學(xué)生中隨機(jī)選一名，記其獲獎(jiǎng)金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）該校的疫情防控是有效的，理由見(jiàn)解析；（2）分布列見(jiàn)解析，87.5.【解析】（1）據(jù)該校的疫情防控是有效的，理由如下：，，，，，得分小于分的學(xué)生有個(gè)，得分大于分的有個(gè)，，學(xué)生的得分都在間，．學(xué)生得分近似滿(mǎn)足正態(tài)分布的概率分布，因此該校的疫情防控是有效的；（2）設(shè)這名同學(xué)獲得的獎(jiǎng)金為，則的可能值為、、、，，，，，故的分布列為：．【一隅三反】1．某學(xué)校工會(huì)積極組織學(xué)校教職工參與“日行萬(wàn)步”健身活動(dòng)，規(guī)定每日行走不足8千步的人為“不健康生活方式者”，不少于14千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般健康生活方式者”.某日，學(xué)校工會(huì)隨機(jī)抽取了該校300名教職工的“日行萬(wàn)步”健身活動(dòng)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)出他們的日行步數(shù)(單位：千步，且均在內(nèi))，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）求被抽取的300名教職工日行步數(shù)的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（2）由直方圖可以認(rèn)為該校教職工的日行步數(shù)服從正態(tài)分布，其中，為（1）中求得的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為2，求該校被抽取的300名教職工中日行步數(shù)的人數(shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.若工會(huì)從該校教職工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬(wàn)步”活動(dòng)的慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)對(duì)象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)金額每人0元；“一般健康生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人100元；“超健康生活方式者”獎(jiǎng)勵(lì)金額每人200元，求工會(huì)慰問(wèn)獎(jiǎng)勵(lì)金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】（1）依題意得.（2）因?yàn)椋?，所以走路步?shù)的總?cè)藬?shù)為.（3）由頻率分布直方圖知每人獲得獎(jiǎng)勵(lì)為0元的概率為0.02，獎(jiǎng)勵(lì)金額為100元的概率為0.88，獎(jiǎng)勵(lì)金額為200元的概率為0.1.由題意知X的可能取值為0，100，200，300，400.；；；；.所以X的分布列為X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01.2．國(guó)家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類(lèi)制度實(shí)施方案》，規(guī)定某46個(gè)大中城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類(lèi)，并且垃圾回收、利用率要達(dá)標(biāo)．某市在實(shí)施垃圾分類(lèi)的過(guò)程中，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的類(lèi)社區(qū)（全市共320個(gè)）中隨機(jī)抽取了50個(gè)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過(guò)28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類(lèi)社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個(gè)樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個(gè)社區(qū)中，這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個(gè)跟蹤調(diào)查其垃圾來(lái)源．設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若服從正態(tài)分布，則；；．【答案】（1）22.76噸；（2）51個(gè)；（3）分布列見(jiàn)解析，.【解析】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點(diǎn)值分別為14，17，20，23，26，29，32，則.估計(jì)該市類(lèi)社區(qū)這一天垃圾量的平均值約為22.76噸.（2）據(jù)題意，，，即，則.因?yàn)?，估?jì)該市類(lèi)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)約51個(gè).（3）由頻數(shù)分布表知，8個(gè)社區(qū)中這一天的垃圾量不小于30.5噸的“超標(biāo)”社區(qū)有4個(gè)，則垃圾量在內(nèi)的“超標(biāo)”社區(qū)也有4個(gè)，則的可能取值為1，2，3，4.，，，.則的分布列為：1234所以.《7.5正態(tài)分布》考點(diǎn)訓(xùn)練【題組一正態(tài)分布的特征】1．設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，則（）附：若，則，.A．B．C．D．2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則（）A．0.26B．0.24C．0.48D．0.523．設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，那么從正方形中隨機(jī)取個(gè)點(diǎn)，則取自陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（）（注：若，則）A．7539B．6038C．7028D．65874.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知P(X≤1.88)＝0.97，則P(|X|≤1.88)＝（）A．0.94B．0.97C．0.06D．0.035．已知隨機(jī)變量，若，則（）A．0.2B．0.3C．0.5D．0.76．據(jù)統(tǒng)計(jì)，奉節(jié)臍橙的果實(shí)橫徑(單位：)服從正態(tài)分布，則果實(shí)橫徑在的概率為（）附：若，則；.A．0.6827B．0.8413C．0.8186D．0.95457．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其期望，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．B．C．D．8．趙先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．趙先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘．公交車(chē)多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，，下車(chē)后從公交站步行到單位要12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線(xiàn)長(zhǎng)且乘客多，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘．給出下列說(shuō)法：從統(tǒng)計(jì)的角度認(rèn)為所有合理的說(shuō)法的序號(hào)是（）（1）若出門(mén)，則乘坐公交上班不會(huì)遲到；（2）若出門(mén)，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；（3）若出門(mén)，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；（4）若出門(mén)．則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到．參考數(shù)據(jù)：，則，，A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（4）9．（多選）4月23日為世界讀書(shū)日，已知某高校學(xué)生每周閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布，則（）（附：，，，.）A．該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9小時(shí)；B．該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4；C．該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)的人數(shù)占0.3%；D．若該校有10000名學(xué)生，則每周閱讀時(shí)間在3-5小時(shí)的人數(shù)約為210.10．（多選）甲、乙兩類(lèi)水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB．甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量小D．乙類(lèi)水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)δ2=1.9911．（多選）“雜交水稻之父”袁隆平致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出杰出貢獻(xiàn)．某水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．該地水稻的平均株高為B．該地水稻株高的方差為10C．該地水稻株高在以上的數(shù)量和株高在以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在和在（單位：）的概率一樣大12．（多選）下列關(guān)于正態(tài)分布的命題正確的是（）A．正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B．當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線(xiàn)越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線(xiàn)越“瘦高”C．設(shè)隨機(jī)變量，則等于2D．當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的位置由確定，隨著的變化曲線(xiàn)沿軸平移【題組二正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】1．某質(zhì)量檢測(cè)部門(mén)為評(píng)估工廠某自動(dòng)化設(shè)備生產(chǎn)零件的性能情況，從該自動(dòng)化設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件零件為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑（單位：）78798182838485件數(shù)113561933直徑（單位：）86878889909193件數(shù)18443111經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，用頻率值作為概率的估計(jì)值.（1）從該自動(dòng)化設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，根據(jù)下列不等式評(píng)估該自動(dòng)化設(shè)備的性能：①；②；（表示相應(yīng)事件的概率）.等級(jí)評(píng)估方法為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)式子，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為；若僅滿(mǎn)足其中兩個(gè)，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為；若僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為；若全部都不滿(mǎn)足，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為.試評(píng)估該自動(dòng)化設(shè)備性能的等級(jí)情況；（2）從樣本中直徑尺寸在之外的零件中隨機(jī)抽取2件，求至少有1件直徑尺寸在之外的概率.2．標(biāo)準(zhǔn)的醫(yī)用外科口罩分三層，外層有防水作用，可防止飛來(lái)進(jìn)入口罩里面，中間層有過(guò)濾作用，對(duì)于直徑小于5微米的顆粒阻隔率必須大于，近口鼻的內(nèi)層可以吸濕，根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)濾率是重要的參考標(biāo)準(zhǔn)，為了監(jiān)控某條口罩生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取個(gè)口罩，并檢驗(yàn)過(guò)濾率.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的口罩的過(guò)濾率服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)口罩中過(guò)濾率小于的數(shù)量，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的10個(gè)口罩的過(guò)濾率：123456789100.93760.91210.94240.95720.95180.90580.92160.91710.96350.9268經(jīng)計(jì)算得：，（其中為抽取的第個(gè)口罩的過(guò)濾率）用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用該正態(tài)分布，求（精確到）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則①；②；③；另：）3．從某市的一次高三模擬考試中，抽取3000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），并按，，，，，分成7組，制成頻率分布直方圖，如圖所示．（Ⅰ）估計(jì)這3000名考生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可認(rèn)為該市考生數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，分別為（Ⅰ）估中的和方差，據(jù)此估計(jì)該市10000名考生中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于122分的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）．附：．若，則．4．大型電子廠為了解每位工人每天制造某種電子產(chǎn)品的件數(shù)，記錄了某天所有工人每人的制造件數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：制造電子產(chǎn)品的件數(shù)工人數(shù)131141（1）若去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)，則件數(shù)的平均數(shù)減少2到3（即大于等于2，且小于3），試求樣本中制造電子產(chǎn)品的件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用該組區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表）（2）若電子廠共有工人1500人，且每位工人制造電子產(chǎn)品的件數(shù)，試估計(jì)制造電子產(chǎn)品件數(shù)小于等于48件的工人的人數(shù)．附：若，則，．【題組三正態(tài)分布與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用】1．2021年國(guó)慶節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握國(guó)慶節(jié)期間車(chē)輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了3日上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車(chē)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段9:20~9:40記作、9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.（Ⅰ）估計(jì)這600輛車(chē)在9:20~10:40時(shí)間內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（Ⅱ）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車(chē)中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車(chē)隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車(chē)中，在9:20~10:00之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅲ）根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車(chē)輛在每天通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車(chē)在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.假如4日全天共有1000輛車(chē)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.附：若隨機(jī)變量T服從正態(tài)分布，則，，.2．2020年8月，體育總局和教育部聯(lián)合提出了《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見(jiàn)》.某地區(qū)為落實(shí)該意見(jiàn)，初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)?擲實(shí)心球?1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿(mǎn)分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖(如圖所示)，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差.已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)中考正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：①全年級(jí)有1000名學(xué)生，預(yù)估正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若，則.3．隨著如今人們生活水平的不斷提高，旅游成了一種生活時(shí)尚，尤其是老年人的旅游市場(chǎng)在不斷擴(kuò)大.為了了解老年人每年旅游消費(fèi)支出（單位：元）的情況，相關(guān)部門(mén)抽取了某地區(qū)名老年人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)（1）求所得樣本平均數(shù)（精確到元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為老年人的旅游費(fèi)用支出X服從正態(tài)分布，若該地區(qū)共有老年人人，試估計(jì)有多少位老年人旅游費(fèi)用支出在元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在范圍內(nèi)的名老人中有名女性，名男性.現(xiàn)想選其中名老人回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列.附：若，，，.4．某單位招考工作人員，須參加初試和復(fù)試，初試通過(guò)后組織考生參加復(fù)試，共5000人參加復(fù)試，復(fù)試共三道題，第一題考生答對(duì)得3分，答錯(cuò)得0分，后兩題考生每答對(duì)一道題得5分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績(jī).（1）通過(guò)分析可以認(rèn)為考生初試成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，，試估計(jì)初試成績(jī)不低于90分的人數(shù)；（2）已知某考生已通過(guò)初試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試試成績(jī)?yōu)椋蟮姆植剂屑皵?shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．5．為了了解某類(lèi)工程的工期，某公司隨機(jī)選取了10個(gè)這類(lèi)工程，得到如下數(shù)據(jù)（單位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．（1）若該類(lèi)工程的工期服從正態(tài)分布，用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值．（ⅰ）求和的值；（ⅱ）由于疫情需要，要求在22天之內(nèi)完成一項(xiàng)此類(lèi)工程，估計(jì)能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成該工程的概率（精確到0.01）．（2）在上述10個(gè)這類(lèi)工程的工期中任取2個(gè)工期，設(shè)這2個(gè)工期的差的絕對(duì)值為，求的分布列和數(shù)字期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．6．第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊(duì)伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ(單位:g)服從正態(tài)分布N(270，).比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規(guī)則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.已知第10輪中國(guó)隊(duì)對(duì)抗塞爾維亞隊(duì)，設(shè)每局比賽中國(guó)隊(duì)取勝的概率為p(0<p<1).（1）如果比賽準(zhǔn)備了1000個(gè)排球，估計(jì)質(zhì)量指標(biāo)在(260，265]內(nèi)的排球個(gè)數(shù)(計(jì)算結(jié)果取整數(shù)).（2）第10輪比賽中，記中國(guó)隊(duì)3:1取勝的概率為.（i）求出f(p)的最大值點(diǎn);（ii）若以作為p的值記第10輪比賽中，中國(guó)隊(duì)所得積分為X，求X的分布列.參考數(shù)據(jù):ζ~N(u，)，則p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9644.7．網(wǎng)上訂外賣(mài)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?M外賣(mài)平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)M外賣(mài)）為了解其在全國(guó)各城市的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，隨機(jī)抽取了100個(gè)城市，調(diào)查了M外賣(mài)在今年2月份的訂單情況，并制成如下頻率分布表.訂單：（單位：萬(wàn)件）頻率0.040.060.100.10訂單：（單位：萬(wàn)件）頻率0.300.200.100.080.02（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，今年2月份M外賣(mài)在全國(guó)各城市的訂單數(shù)（單位：萬(wàn)件）近似地服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，它的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問(wèn)題：①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記今年2月份M外賣(mài)訂單數(shù)Z在區(qū)間內(nèi)的城市數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望（取整數(shù)）；②M外賣(mài)決定在該月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣(mài)，搶紅包”的營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣(mài)訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平，現(xiàn)從全國(guó)2月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)，若每接一件外賣(mài)訂單平均可獲純利潤(rùn)5元，但每件外賣(mài)訂單平均需送出紅包2元，則M外賣(mài)在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元？（2）現(xiàn)從全國(guó)開(kāi)展M外賣(mài)業(yè)務(wù)的所有城市中隨機(jī)抽取100個(gè)城市，若抽到K個(gè)城市的M外賣(mài)訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的可能性最大，試求整數(shù)k的值.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.8．為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取個(gè)零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計(jì)個(gè)數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本直徑的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.（1）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）：①；②；③.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；若僅滿(mǎn)足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部都不滿(mǎn)足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備的性能等級(jí).（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.①?gòu)脑O(shè)備的生產(chǎn)流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；②從樣本中隨機(jī)抽取件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.答案解析【題組一正態(tài)分布的特征】1．設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，則（）附：若，則，.A．B．C．D．【答案】B【解析】函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，二次方程無(wú)實(shí)根，，，又沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，，由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知：，，，，，，，故選：B.2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則（）A．0.26B．0.24C．0.48D．0.52【答案】B【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，即正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)的示意圖如下，所以，并且，則.故選：B.3．設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示，那么從正方形中隨機(jī)取個(gè)點(diǎn)，則取自陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（）（注：若，則）A．7539B．6038C．7028D．6587【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，所以陰影部分的面積為，所以從正方形中隨機(jī)取個(gè)點(diǎn)，則取自陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是，故選：D.4.設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知P(X≤1.88)＝0.97，則P(|X|≤1.88)＝（）A．0.94B．0.97C．0.06D．0.03【答案】A【解析】∵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x＝0對(duì)稱(chēng)，∴P(X>1.88)＋P(X<－1.88)＝0.03＋0.03＝0.06，∴P(|X|≤1.88)＝1－0.06＝0.94，故選：A.5．已知隨機(jī)變量，若，則（）A．0.2B．0.3C．0.5D．0.7【答案】A【解析】∵隨機(jī)變量，，又，，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得，故選：A．6．據(jù)統(tǒng)計(jì)，奉節(jié)臍橙的果實(shí)橫徑(單位：)服從正態(tài)分布，則果實(shí)橫徑在的概率為（）附：若，則；.A．0.6827B．0.8413C．0.8186D．0.9545【答案】C【解析】由題得，，所以，，所以，所以，所以果實(shí)橫徑在的概率為.故選：C.7．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其期望，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，則，則，則，故選：D.8．趙先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．趙先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘．公交車(chē)多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，，下車(chē)后從公交站步行到單位要12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路線(xiàn)長(zhǎng)且乘客多，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘．給出下列說(shuō)法：從統(tǒng)計(jì)的角度認(rèn)為所有合理的說(shuō)法的序號(hào)是（）（1）若出門(mén)，則乘坐公交上班不會(huì)遲到；（2）若出門(mén)，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大；（3）若出門(mén)，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大；（4）若出門(mén)．則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到．參考數(shù)據(jù)：，則，，A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（4）【答案】C【解析】對(duì)于（1）趙先生乘坐公交車(chē)的時(shí)間不大于43分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)榍?，所以，所以趙先生上班遲到還是有可能發(fā)生的，（1）不合理；（2）趙先生乘坐地鐵上班，則其乘坐地鐵的時(shí)間不大于48分鐘，才不會(huì)遲到，因?yàn)?，所以，所以若出門(mén)，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性為0.9773，若乘坐公交，則乘坐時(shí)間不大于41分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)?，所以，故二者的可能性一樣，?）不合理；（3）趙先生乘坐公交車(chē)的時(shí)間不大于37分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)?，所以，趙先生乘坐地鐵的時(shí)間不大于44分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)?，?）的說(shuō)法合理；（4）趙先生乘坐地鐵的時(shí)間不大于38分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)?，所以，即可能性非常小，?）的說(shuō)法合理．故選：．9．（多選）4月23日為世界讀書(shū)日，已知某高校學(xué)生每周閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布，則（）（附：，，，.）A．該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9小時(shí)；B．該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4；C．該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)的人數(shù)占0.3%；D．若該校有10000名學(xué)生，則每周閱讀時(shí)間在3-5小時(shí)的人數(shù)約為210.【答案】AD【解析】因?yàn)椋?，所以平均?shù)是9，標(biāo)準(zhǔn)差為2，A正確，B不正確；因?yàn)椋?結(jié)合正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間不超過(guò)3小時(shí)的人數(shù)占，C不正確；每周閱讀時(shí)間在3-5小時(shí)的人數(shù)占，，所以D正確；故選：AD.10．（多選）甲、乙兩類(lèi)水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正態(tài)分布的密度曲線(xiàn)如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB．甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量小D．乙類(lèi)水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)δ2=1.99【答案】ABC【解析】由圖像可知，甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kg，乙類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ2=0.8kg，故A，C正確；甲圖像比乙圖像更高瘦，所以甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；乙類(lèi)水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的最大值為1.99，即=1.99，δ2≠1.99，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．（多選）“雜交水稻之父”袁隆平致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出杰出貢獻(xiàn)．某水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．該地水稻的平均株高為B．該地水稻株高的方差為10C．該地水稻株高在以上的數(shù)量和株高在以下的數(shù)量一樣多D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在和在（單位：）的概率一樣大【答案】AC【解析】因?yàn)槊芏群瘮?shù)為，所以，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的特征可知C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．12．（多選）下列關(guān)于正態(tài)分布的命題正確的是（）A．正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B．當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線(xiàn)越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線(xiàn)越“瘦高”C．設(shè)隨機(jī)變量，則等于2D．當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的位置由確定，隨著的變化曲線(xiàn)沿軸平移【答案】BD【解析】正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故A不正確；當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線(xiàn)越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線(xiàn)越“瘦高”，故B正確；隨機(jī)變量，則的值等于1，故C不正確；當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)的位置由確定，隨著的變化曲線(xiàn)沿軸平移，D正確．故選：BD．【題組二正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】1．某質(zhì)量檢測(cè)部門(mén)為評(píng)估工廠某自動(dòng)化設(shè)備生產(chǎn)零件的性能情況，從該自動(dòng)化設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件零件為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑（單位：）78798182838485件數(shù)113561933直徑（單位：）86878889909193件數(shù)18443111經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，用頻率值作為概率的估計(jì)值.（1）從該自動(dòng)化設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，根據(jù)下列不等式評(píng)估該自動(dòng)化設(shè)備的性能：①；②；（表示相應(yīng)事件的概率）.等級(jí)評(píng)估方法為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)式子，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為；若僅滿(mǎn)足其中兩個(gè)，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為；若僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為；若全部都不滿(mǎn)足，則自動(dòng)化設(shè)備等級(jí)為.試評(píng)估該自動(dòng)化設(shè)備性能的等級(jí)情況；（2）從樣本中直徑尺寸在之外的零件中隨機(jī)抽取2件，求至少有1件直徑尺寸在之外的概率.【答案】（1）該自動(dòng)化設(shè)備的等級(jí)為；（2）.【解析】（1），，，，，，由圖表知，，，，所以該自動(dòng)化設(shè)備的等級(jí)為.（2）直徑尺寸在之外的零件共5件，分別記為，，，，，其中，為直徑尺寸在之外的零件，從5件零件中隨意抽取2件，所有情況：，，，，，，，，，，共10種，至少有一個(gè)在之外的所有情況：，，，，，，，共7種，記至少有1件直徑尺寸在之外為事件，則.2．標(biāo)準(zhǔn)的醫(yī)用外科口罩分三層，外層有防水作用，可防止飛來(lái)進(jìn)入口罩里面，中間層有過(guò)濾作用，對(duì)于直徑小于5微米的顆粒阻隔率必須大于，近口鼻的內(nèi)層可以吸濕，根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)濾率是重要的參考標(biāo)準(zhǔn)，為了監(jiān)控某條口罩生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取個(gè)口罩，并檢驗(yàn)過(guò)濾率.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的口罩的過(guò)濾率服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)口罩中過(guò)濾率小于的數(shù)量，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的10個(gè)口罩的過(guò)濾率：123456789100.93760.91210.94240.95720.95180.90580.92160.91710.96350.9268經(jīng)計(jì)算得：，（其中為抽取的第個(gè)口罩的過(guò)濾率）用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用該正態(tài)分布，求（精確到）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則①；②；③；另：）【答案】（1），；（2）.【解析】（1）已知檢驗(yàn)率服從正態(tài)分布，則事件當(dāng)生產(chǎn)狀態(tài)正常時(shí)，重復(fù)不放回的取個(gè)口罩屬于獨(dú)立重復(fù)事件，，，故有：，而.（2）由題意知：由平均數(shù)近似估計(jì)，則有.3．從某市的一次高三模擬考試中，抽取3000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），并按，，，，，分成7組，制成頻率分布直方圖，如圖所示．（Ⅰ）估計(jì)這3000名考生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可認(rèn)為該市考生數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，分別為（Ⅰ）估中的和方差，據(jù)此估計(jì)該市10000名考生中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于122分的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）．附：．若，則．【答案】（Ⅰ）110，150；（Ⅱ）1587.【解析】（Ⅰ）由題意知：，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，所以，而，所以，因此估計(jì)該市10000名考生中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于122分的人數(shù)為．4．大型電子廠為了解每位工人每天制造某種電子產(chǎn)品的件數(shù)，記錄了某天所有工人每人的制造件數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：制造電子產(chǎn)品的件數(shù)工人數(shù)131141（1）若去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)，則件數(shù)的平均數(shù)減少2到3（即大于等于2，且小于3），試求樣本中制造電子產(chǎn)品的件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用該組區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表）（2）若電子廠共有工人1500人，且每位工人制造電子產(chǎn)品的件數(shù)，試估計(jì)制造電子產(chǎn)品件數(shù)小于等于48件的工人的人數(shù)．附：若，則，．【答案】（1），；（2）30．【解析】（1）設(shè)樣本中所有制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，設(shè)樣本中去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)后制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，依題可得，即，解得，，所以件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍為，；（2）因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)?，所以所以，所以估?jì)1500人中每天制造產(chǎn)品件數(shù)小于等于50的人數(shù)為．【題組三正態(tài)分布與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用】1．2021年國(guó)慶節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握國(guó)慶節(jié)期間車(chē)輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了3日上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車(chē)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，它們通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時(shí)間段9:20~9:40記作、9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.（Ⅰ）估計(jì)這600輛車(chē)在9:20~10:40時(shí)間內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（Ⅱ）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車(chē)中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車(chē)隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車(chē)中，在9:20~10:00之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅲ）根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車(chē)輛在每天通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車(chē)在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.假如4日全天共有1000輛車(chē)通過(guò)該收費(fèi)站點(diǎn)，估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.附：若隨機(jī)變量T服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（Ⅰ）10:04；（Ⅱ）答案見(jiàn)解析；（Ⅲ）819.【解析】（Ⅰ）這600輛車(chē)在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為：，即10∶04（Ⅱ）由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車(chē)中，在10:00前通過(guò)的車(chē)輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在20，60這一區(qū)間內(nèi)的車(chē)輛數(shù)，即，所以X的可能的取值為0，1，2，3，4.所以，，，，.所以X的分布列為：X01234P（Ⅲ）由（1）得，所以，估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)也就是在46，100通過(guò)的車(chē)輛數(shù)，由，得，所以估計(jì)在在9:46~10:40之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)為.2．2020年8月，體育總局和教育部聯(lián)合提出了《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見(jiàn)》.某地區(qū)為落實(shí)該意見(jiàn)，初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)?擲實(shí)心球?1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿(mǎn)分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖(如圖所示)，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（2）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差.已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)中考正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：①全年級(jí)有1000名學(xué)生，預(yù)估正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若，則.【答案】（1）；（2）①人；②分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】（1）由頻率分步直方圖得，得分為17，18的人數(shù)分別為6人，12人，所以?xún)扇说梅种筒淮笥?5分為兩人得分均為17分，或兩人中1人17分1人18分，所以.（2）又，所以正式測(cè)試時(shí)，，所以，①所以，所以人；②由正態(tài)分布模型，任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為，即，所以，所以，所以的分布列為0123所以.答：（1）兩人得分之和不大于35分的概率為；（2）①每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)為841；②隨機(jī)變量的期望.3．隨著如今人們生活水平的不斷提高，旅游成了一種生活時(shí)尚，尤其是老年人的旅游市場(chǎng)在不斷擴(kuò)大.為了了解老年人每年旅游消費(fèi)支出（單位：元）的情況，相關(guān)部門(mén)抽取了某地區(qū)名老年人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)（1）求所得樣本平均數(shù)（精確到元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為老年人的旅游費(fèi)用支出X服從正態(tài)分布，若該地區(qū)共有老年人人，試估計(jì)有多少位老年人旅游費(fèi)用支出在元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在范圍內(nèi)的名老人中有名女性，名男性.現(xiàn)想選其中名老人回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列.附：若，，，.【答案】（1）元；（2）位；（3）分布列見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)樣本平均數(shù)為，則有：（元）；（2），，，所以旅游費(fèi)用在元以上的概率為，，所以估計(jì)有位老人旅游費(fèi)用支出在元以上；（3）由題意可知，的取值為、、、，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為4．某單位招考工作人員，須參加初試和復(fù)試，初試通過(guò)后組織考生參加復(fù)試，共5000人參加復(fù)試，復(fù)試共三道題，第一題考生答對(duì)得3分，答錯(cuò)得0分，后兩題考生每答對(duì)一道題得5分，答錯(cuò)得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績(jī).（1）通過(guò)分析可以認(rèn)為考生初試成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，，試估計(jì)初試成績(jī)不低于90分的人數(shù)；（2）已知某考生已通過(guò)初試，他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試試成績(jī)?yōu)?，求的分布列及?shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）114人；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】（1）∵學(xué)生筆試成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，，∴∴估計(jì)筆試成績(jī)不低于90分的人數(shù)為人（2）的取值分別為0，3，5，8，10，13，則的分布為故的分布列為：035810135．為了了解某類(lèi)工程的工期，某公司隨機(jī)選取了10個(gè)這類(lèi)工程，得到如下數(shù)據(jù)（單位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．（1）若該類(lèi)工程的工期服從正態(tài)分布，用樣本的平均