《7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征》同步練習

《7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征》同步練習一、單選題1．若一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為2，方差為3，則，，，…，的平均數(shù)和方差分別是（）A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，172．若隨機變量的分布列如下表，則（）012345P2x3x7x2x3xxA． B． C． D．3．已知隨機變量的取值為.若，，則（）A． B． C． D．4．隨機變量的分布列如下表所示，則（）A． B． C． D．5．隨機變量X的取值范圍為0，1，2，若，則D（X）＝（）A． B． C． D．6．設(shè)，隨機變量的分布如下表所示，則當在內(nèi)增大時，（）012A．先減少后增大 B．先增大后減少C．先減小后增大 D．先增大后減小7．設(shè)，則隨機變量的分布列是：則當在內(nèi)增大時（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大8．盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)記為，則（）A．，B．，C．，D．，二、多選題9．若隨機變量X服從兩點分布，其中，E（X）、D（X）分別為隨機變量X均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．10．小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間（分鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時間（分鐘）30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說法正確的是（）A．任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件B．從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間C．如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D．若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.0411．設(shè)離散型隨機變量的分布列為012450.30.20.20.1若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（）A． B． C． D．12．（多選）設(shè)，隨機變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（）012A．隨著的增大而增大 B．隨著的增大而減小C． D．的值最大三、填空題13．已知隨機變量的分布列為012若，則______．14．數(shù)據(jù)，，…，的均值為，方差為2，現(xiàn)增加一個數(shù)據(jù)后方差不變，則的可能取值為______．15．甲、乙兩人同時參加當?shù)匾粋€勞動實踐活動，該活動有任務(wù)需要完成，甲、乙完成任務(wù)的概率分別為0.7，0.8，且甲、乙是否完成任務(wù)相互獨立互不影響.設(shè)這兩人中完成任務(wù)的總?cè)藬?shù)為，則______.16．已知，，隨機變量的分布列是：若，則________，________.四、解答題17．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η,且ξ,η的分布列為(1)求a,b的值.(2)計算ξ,η的均值與方差,并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.18．某人投彈擊中目標的概率為.（1）求投彈一次，擊中次數(shù)的均值和方差；（2）求重復投彈次，擊中次數(shù)的均值和方差.19．某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：89100．40．40．2現(xiàn)進行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為．（1）求該運動員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；（2）求的分布列和數(shù)學期望．20．甲、乙兩個同學同時報名參加某重點高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序為審核材料和文化測試，只有審核過關(guān)后才能參加文化測試，文化測試合格者即可獲得自主招生入選資格．已知甲，乙兩人審核過關(guān)的概率分別為，審核過關(guān)后，甲、乙兩人文化測試合格的概率分別為（1）求甲，乙兩人至少有一人通過審核的概率；（2）設(shè)表示甲，乙兩人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)，求的數(shù)學期望.21.在某次投籃測試中，有兩種投籃方案：方案甲：先在A點投籃一次，以后都在B點投籃；方案乙：始終在B點投籃.每次投籃之間相互獨立.某選手在A點命中的概率為，命中一次記3分，沒有命中得0分；在B點命中的概率為，命中一次記2分，沒有命中得0分，用隨機變量表示該選手一次投籃測試的累計得分，如果的值不低于3分，則認為其通過測試并停止投籃，否則繼續(xù)投籃，但一次測試最多投籃3次.（1）若該選手選擇方案甲，求測試結(jié)束后所得分的分布列和數(shù)學期望.（2）試問該選手選擇哪種方案通過測試的可能性較大？請說明理由.22．袋中有同樣的球個，其中個紅色，個黃色，現(xiàn)從中隨機且不返回地摸球，每次摸個，當兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機變量為此時已摸球的次數(shù)，求：.(1)隨機變量的概率分布列；(2)隨機變量的數(shù)學期望與方差.答案解析一、單選題1．若一組數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為2，方差為3，則，，，…，的平均數(shù)和方差分別是（）A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，17【答案】C【解析】由題，則，.故選：C2．若隨機變量的分布列如下表，則（）012345P2x3x7x2x3xxA． B． C． D．【答案】D【解析】3．已知隨機變量的取值為.若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，設(shè)，則，又，解得，所以，，則，所以.故選：C.4．隨機變量的分布列如下表所示，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由隨機變量的分布列的性質(zhì)，可得，解得，則，所以.故選：D.5．隨機變量X的取值范圍為0，1，2，若，則D（X）＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，由題意，，且，解得，，，故選：C．6．設(shè)，隨機變量的分布如下表所示，則當在內(nèi)增大時，（）012A．先減少后增大 B．先增大后減少C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】D【解析】由期望公式，得，在內(nèi)一直增大.由方差公式，得.為開口向下，對稱軸的拋物線,在內(nèi)，先增大后減少,故當在內(nèi)增大時先增大后減少.故選:D.7．設(shè)，則隨機變量的分布列是：則當在內(nèi)增大時（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，則，則當在內(nèi)增大時，先減小后增大.方法2：則故選D.8．盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)記為，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】，，∵，∴.∵，，，∴，故選：C.二、多選題9．若隨機變量X服從兩點分布，其中，E（X）、D（X）分別為隨機變量X均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．【答案】AB【解析】隨機變量X服從兩點分布，其中，∴P（X＝1），E（X），D（X）＝（0）2（1）2，在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正確；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正確；在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C錯誤；在D中，D（X），故D錯誤.故選：AB.10．小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時間（分鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時間（分鐘）30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說法正確的是（）A．任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是對立事件B．從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間C．如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D．若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04【答案】BD【解析】對于選項，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥而不對立事件，所以選項A錯誤；對于選項，線路一所需的平均時間為分鐘，線路二所需的平均時間為分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時間，所以選項B正確；對于選項，線路一所需時間小于45分鐘的概率為0.7，線路二所需時間小于45分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，所以選項C錯誤；對于選項，所需時間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時間可以為，和三種情況，概率為，所以選項D正確．故選：BD.11．設(shè)離散型隨機變量的分布列為012450.30.20.20.1若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)得：，則，，即，因為離散型隨機變量滿足，.故結(jié)果正確的有AC.故選：AC.12．（多選）設(shè)，隨機變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（）012A．隨著的增大而增大 B．隨著的增大而減小C． D．的值最大【答案】BC【解析】由題意，由于，所以隨著的增大而減小，A錯，B正確；又，所以C正確；時，，而，D錯．故選：BC．三、填空題13．已知隨機變量的分布列為012若，則______．【答案】【解析】由概率分布列知．．公式：．14．數(shù)據(jù)，，…，的均值為，方差為2，現(xiàn)增加一個數(shù)據(jù)后方差不變，則的可能取值為______．【答案】或【解析】由題意，故，由，得：，解得：，故答案為：或．15.甲、乙兩人同時參加當?shù)匾粋€勞動實踐活動，該活動有任務(wù)需要完成，甲、乙完成任務(wù)的概率分別為0.7，0.8，且甲、乙是否完成任務(wù)相互獨立互不影響.設(shè)這兩人中完成任務(wù)的總?cè)藬?shù)為，則______.【答案】1.5（或）【解析】的可能取值為0，1，2，且，，，故.故答案為：1.5（或）.16．已知，，隨機變量的分布列是：若，則________，________.【答案】【解析】由題意可得，解得，因此，.故答案為：；.、四、解答題17．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η,且ξ,η的分布列為(1)求a,b的值.(2)計算ξ,η的均值與方差,并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.【答案】（1）；（2）見解析【解析】(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.(2)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,Eη=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,Dξ=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,Dη=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.由于Eξ>Eη,說明在一次射擊中,甲的平均得分比乙高,但Dξ>Dη,說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙,因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面,各有優(yōu)勢與劣勢.18．某人投彈擊中目標的概率為.（1）求投彈一次，擊中次數(shù)的均值和方差；（2）求重復投彈次，擊中次數(shù)的均值和方差.【答案】（1）；（2），【解析】（1）由題意可知服從兩點分布因為，，所以，.所以，（2）由題意可知擊中次數(shù)服從二項分布，即所以，，.19．某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：89100．40．40．2現(xiàn)進行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為．（1）求該運動員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；（2）求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）0.36；（2）見解析，9.2【解析】（1）兩次都命中8環(huán)的概率為兩次都命中9環(huán)的概率為兩次都命中10環(huán)的概率為設(shè)該運動員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率為（2）的可能取值為8，9，10，，，的分布列為89100．160．480．3620．甲、乙兩個同學同時報名參加某重點高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序為審核材料和文化測試，只有審核過關(guān)后才能參加文化測試，文化測試合格者即可獲得自主招生入選資格．已知甲，乙兩人審核過關(guān)的概率分別為，審核過關(guān)后，甲、乙兩人文化測試合格的概率分別為（1）求甲，乙兩人至少有一人通過審核的概率；（2）設(shè)表示甲，乙兩人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)，求的數(shù)學期望.【答案】(1)甲，乙兩人至少有一人通過審核的概率為；(2)的數(shù)學期望為.【解析】(1)設(shè)“甲，乙兩人至少有一人通過審核”，則………………6分(2)…………12分答：(1)甲，乙兩人至少有一人通過審核的概率為；(2)的數(shù)學期望為.21.在某次投籃測試中，有兩種投籃方案：方案甲：先在A點投籃一次，以后都在B點投籃；方案乙：始終在B點投籃.每次投籃之間相互獨立.某選手在A點命中的概率為，命中一次記3分，沒有命中得0分；在B點命中的概率為，命中一次記2分，沒有命中得0分，用隨機變量表示該選手一次投籃測試的累計得分，如果的值不低于3分，則認為其通過測試并停止投籃，否則繼續(xù)投籃，但一次測試最多投籃3次.（1）若該選手選擇方案甲，求測試結(jié)束后所得分的分布列和數(shù)學期望.（2）試問該選手選擇哪種方案通過測試的可能性較大？請說明理由.【答案】（1）數(shù)學期望為3.05，分布列見解析（2）選擇方案甲【解析】（1）在A點投籃命中記作,不中記作；在B點投籃命中記作,不中記作，其