第39講 上界定理的概念

張貴杰Tel-Mail：zhguijie@河北聯(lián)合大學(xué)金屬材料及加工工程系金屬塑性變形理論

第39講3/2/20241第十五章上界定理及其應(yīng)用主要內(nèi)容MainContent虛功原理及最大塑性功原理上界定理的概念上界定理的應(yīng)用——間斷速度場(chǎng)3/2/2024215.2上界定理的概念15.2.1邊界條件可動(dòng)工具Fv固定工具Fvv=v0，p=?v=0，p=?自由邊界Fp已知外力邊界Fpp=0，v=?p=p0，v=?p0速度不連續(xù)線Fd3/2/2024315.2.2下界定理設(shè)剛—塑性物體的體積是V，總表面積是F，表面力pi（外載荷）在一部分表面Fp上是已知的，在其余部分表面Fv上位移速度vi也是已知的。真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)是sij，應(yīng)變速度場(chǎng)是eij

，邊界位移速度是vi

。對(duì)于真實(shí)的情況，令外功等于內(nèi)功，有

3/2/20244再設(shè)s*ij是靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)，它在每點(diǎn)滿(mǎn)足平衡方程和屈服條件。令這個(gè)虛設(shè)應(yīng)力場(chǎng)s*ij在真實(shí)的應(yīng)變速度場(chǎng)上作虛功，根據(jù)虛功方程有3/2/20245兩式相減并按最大塑性功原理有

即該式為下界定理。即任何靜力可能的應(yīng)力分布所對(duì)應(yīng)的外力必不大于真實(shí)外力。3/2/2024615.2.3上界定理用表示真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)、塑性應(yīng)變速度場(chǎng)和邊界位移速度。此外，再設(shè)定一個(gè)虛的位移速度場(chǎng)。在給定了邊界速度的那一部分表面Fv上，滿(mǎn)足邊界速度條件，即，并且在每一點(diǎn)滿(mǎn)足體積不可壓縮條件。由設(shè)定的位移速度場(chǎng)，可以導(dǎo)出應(yīng)變速度場(chǎng)

3/2/20247設(shè)定的位移速度場(chǎng)還可能包含有速度間斷，假定速度沿曲面發(fā)生間斷。由于不能肯定是真實(shí)的速度間斷面，所以沿的切向剪應(yīng)力只能用表示。3/2/20248真實(shí)的外力和內(nèi)力場(chǎng)在虛設(shè)的位移速度場(chǎng)上作功，則由虛功率方程得出式中是沿的切向速度不連續(xù)量。從物理上判斷，在不連續(xù)面上所消耗的功一定為正值，其極限是。3/2/20249按最大塑性功原理有或則該式即為上界定理。即表示力在給定的邊界位移速度上付出的功率，以在真實(shí)的位移速度場(chǎng)情況下為最小?；蛘哒f(shuō)，由虛設(shè)位移速度場(chǎng)（位移場(chǎng)、應(yīng)變速度場(chǎng)）算得的載荷大于或等于真實(shí)載荷。3/2/202410上界定理簡(jiǎn)化表達(dá)式不等式左邊J表示真實(shí)外力功率不等式右邊J*表示虛構(gòu)速度場(chǎng)下的外力功率等式右邊表示虛構(gòu)速度場(chǎng)下的各項(xiàng)功率3/2/202411其中為內(nèi)部塑性變形功率為不連續(xù)面上的剪切功率為附加外力功率3/2/202412如果把接觸面上的摩擦功率也單獨(dú)表達(dá)出來(lái)，則有在上界定理表達(dá)式中把摩擦功率也移到不等式右邊或3/2/202413為摩擦剪切功率慣性功率、孔隙擴(kuò)張功率、表面變化功率等根據(jù)實(shí)際問(wèn)題