第一章高等數(shù)學(xué)（二十六）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁第11章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一節(jié)隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算1．隨機(jī)事件（1）隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：具有以下3個(gè)特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)稱為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)1）實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能明確知道所有可能實(shí)現(xiàn)的結(jié)果。2）舉行實(shí)驗(yàn)前不能決定那一個(gè)結(jié)果會浮上。3）在相同條件下可重復(fù)舉行。（2）樣本空間：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)可能浮上的每一個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn)（基本領(lǐng)件），樣本點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合稱為該實(shí)驗(yàn)的樣本空間，通常記為。（3）隨機(jī)事件：樣本空間的任一子集稱為隨機(jī)事件，常用字母A，B，…表示。只含單個(gè)樣本點(diǎn)的集合稱為基本領(lǐng)件，空集為不可能事件，為必然事件。2．隨機(jī)事件間的關(guān)系和運(yùn)算（1）事件的包含:若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記作或.（2）事件相等:若事件A和事件B互相包含，即,，則稱這兩個(gè)事件相等，記作.（3)事件的和（并）：稱“兩個(gè)事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件C為事件A與事件B的和（或并），記作.（4)事件的積（交）：稱“兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生”這一事件D為事件A和事件B的積（交），記作.（5)事件的差：稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件E為事件A和事件B的差，記作。注：（6）互不相容（或互斥）事件：若事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,即滿意，則稱事件A與B互不相容（或互斥）.（7)對立事件：“事件不發(fā)生”的事件稱為事件的對立事件（或逆事件），記為.且有1）2）.（8）對偶原理（德摩根定律）：【例題11-8】重復(fù)舉行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，事件表示“第一次失敗且第二次勝利”，則事件表示（A）兩次均失?。˙）第一次勝利且第二次失?。–）第一次勝利或第二次失?。―）兩次均勝利解：用表示第次勝利，則，利用德摩根定律，，即事件表示事件表示，故應(yīng)選（C）。第二節(jié)隨機(jī)事件的概率1．概率的統(tǒng)計(jì)定義（1）頻率：在相同的條件下，舉行了次實(shí)驗(yàn)，倘若事件在這次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中浮上了次，則稱比值為事件發(fā)生的頻率，記為，即=（2）頻率具有隨機(jī)波動性和穩(wěn)定性，頻率的穩(wěn)定值稱為概率。2．概率的基本性質(zhì)（1）若是兩兩互不相容事件，則.（2).（3）若，則.（4).3．古典概型（等可能概型）（1)古典概型的定義：若隨機(jī)實(shí)驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：1）實(shí)驗(yàn)的樣本空間惟獨(dú)有限個(gè)元素；2）實(shí)驗(yàn)中每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同。則稱實(shí)驗(yàn)為等可能概型，也稱為古典概型。（2)計(jì)算公式:若是實(shí)驗(yàn)的樣本空間，為的事件，且包含個(gè)基本領(lǐng)件，則事件的概率為包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)）/（基本領(lǐng)件的總數(shù)）【例題11-9】將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，則杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的概率是：（A）（B）（C）（D）解：將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，各種不同的放法有種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的不同放法有種，則杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的概率是，故應(yīng)選（C）?！纠}11-10】則等于：(A)(B)(C)(D)解：，，應(yīng)選(B).4.條件概率（1）條件概率定義：設(shè)為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E的兩個(gè)事件，，則稱為事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率。普通計(jì)算條件概率可以有兩種主意：一是將看成樣本空間，在縮減后的樣本空間中計(jì)算，二是在原樣本空間中由條件概率定義計(jì)算。（2）乘法定理：設(shè)，則有，或。乘法定理通常用于求積事件的概率?！纠}11-11】設(shè)與是互不相容的事件，，則下列式子一定成立的是：(A)(B)(C)(D)解：因與互不相容，，所以，應(yīng)選B。其它三個(gè)選項(xiàng)都不一定成立。答案：B5．事件的自立性設(shè)是實(shí)驗(yàn)的二事件，，普通有，但當(dāng)時(shí)，說明事件的發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，這時(shí)稱事件與事件自立。由，可得，于是有如下定義：（1）定義：設(shè)的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)事件，倘若成立，則稱事件與事件互相自立。普通地設(shè)是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的個(gè)事件，倘若滿意等式則稱互相自立。（2）性質(zhì)1）若事件與事件互相自立，則與，與，與也分離互相自立。2）倘若個(gè)事件互相自立，則有【例題11-12】設(shè)有事件和，已知且，則下列結(jié)論中準(zhǔn)確的是：A．與自立 B.與互斥C． D.解：由，知和互相自立，答案：A【例題11-13】三個(gè)人自立地去破譯一份密碼，每人能自立譯出這份密碼的概率