2023年甘肅省金昌市高考數學二模試卷（文科）

2023年甘肅省金昌市高考數學二模試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若復數Z滿足Z=巖，其中i為虛數單位，則5=()

AA.--4-3-I.BD.--4+-3I.C.-4+3?.ipD?.-4--3I.

????????

2.已知集合4={x∣y=lg(x+2)},B={x?x2<9},則4CB=()

A.(-2,0)B.(-2,3]C.[0,+∞)D.[3,+∞)

3.已知圓臺的上底面半徑為2,下底面半徑為4,若該圓臺的體積為56兀，則其母線長為()

A.2√-IθB.2√^6C.4D.√^13

4.已知向量方,3的夾角為30。，I?=IBI=3,則|2五+bI=()

A.√-5B.√-6C,√^39D.7

5.已知αe(O,τr),且3cos2α+7cosα=0,則Sina的值為()

6.在等比數列{an}中，a?=2,a6=8a3,Srj是數列{a?}的前n項和.若Sm=127,則m=()

A.5B.6C.7D.8

7.在正AABC中，連接三角形三邊的中點，將它分成4個小三角形，并A

將中間的那個小三角形涂成白色后，對其余3個小三角形重復上述過程

得到如圖所示的圖形.在△4BC內隨機取一點，則此點取自白色部分的概

率是（）

B??C??D4

8.某程序框圖如圖所示，若輸出的k=3,則判斷框內的條件

可以是（）

S=OeA=8

A.S=2?

B.S=3?

C.S=4?

D.S=5?

9.已知％o是函數f(%)=(尸一%+4的一個零點，若%ι∈(2,%o),x2∈(x0∕+∞),則()

A.&∈(2,4)B./(x1)>/(x2)

C./(x1)<0,/(x2)<0D./(%ι)>0，/(x2)>θ

10.已知雙曲線捻一'=l(α>0,b>0)的右焦點為F,以尸為圓心，α為半徑的圓與雙曲線

的一條漸近線的兩個交點為4,B.若乙4FB=60。，則該雙曲線的離心率為()

A口B.??C.D.C

2232

11.已知函數f(x)=x3-αx2+3x在R上單調遞增，且g(x)=x+六在區(qū)間(1,2]上既有最大

值又有最小值，則實數α的取值范圍是()

A.[3,4)B.(2,3]C.(3,4]D.[2,3)

12.已知直線I過拋物線y2=4%的焦點F,且與拋物線相交于4B兩點，點B關于X軸的對稱

點為當(異于A點)，直線AB1與X軸相交于C點，若直線AC的斜率為?，則AABC的面積為()

AwB.9C.D.4<3

333

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.函數f(x)=/e*的極大值為.

14.我國古代數學著作《九章算術》有如下問題，”今有金維，長五尺.斬本一尺，重四斤.斬

末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是“現有一根金杖，長五尺，一頭粗，一頭細.在

粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據

上題的已知條件，若金杖由粗到細是均勻變化的，估計此金杖總重量約為斤

15.若函數f(x)=2sin(3x+飄3>0),又4(a,2),B(QO)是函數/⑸的圖象上的兩點，

且MBl的最小值為J4+,，則f(?E)的值為.

16.已知三棱錐4-BCn內接于球。，點M,N分別為4B,Co的中點，且MN1AB,MN1CD.

若AB=2CD=2MN=12,則球。的體積為.

三、解答題(本大題共7小題，共70.()分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△4BC中，內角4B,C的對邊分別為α,h,c,且S=3￡十等.

becb

(1)求B；

(2)若哥M=與“，求人

V?b-↑-cL

18.(本小題10.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PABI平面4BCD,PB1PD.

(I)證明：PB，平面P4D；

(2)若PA=PB,BE=IEC,且AB=2,BC=3,求點E到平面PCO的距離.

19.(本小題10.0分)

中學階段是學生身體發(fā)育最重要的階段，長時間熬夜學習嚴重影響學生的身體健康.某校為了

解甲、乙兩班學生每周自我熬夜學習的總時長(單位：小時)，分別從這兩個班中隨機抽取5名

同學進行調查，得到他們最近一周自我熬夜學習的總時長的樣本數據：

如果學生平均每周自我熬夜學習的總時長超過26小時，則稱為“過度熬夜”.

(1)請根據樣本數據，分別估計甲、乙兩班的學生平均每周自我熬夜學習時長的平均值；

(2)從樣本甲、乙兩班所有“過度熬夜”的學生中任取2人，求這2人都來自甲班的概率.

20.(本小題10.0分)

己知桶圓C的中心為坐標原點，對稱軸為X軸，y軸，且過(2,0),(C,?)兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線，，使得直線/與圓M+y2=1相切，與橢圓C交于力，B兩點，且滿足成.OB=

0(。為坐標原點)？若存在，請求出直線，的方程，若不存在，請說明理由.

21.(本小題10.0分)

已知函數f(x)=Inx-?(ɑ∈R).

(1)若α=-2,求函數/(x)的圖像在CLJ(I))處的切線方程；

(2)若與，*2是函數f(x)的兩個極值點，求α的取值范圍，并證明：/(x1)+/(X2)=2/(1).

22.(本小題10.0分)

fx=-2+?t,

在直角坐標系Xoy中，直線，的參數方程為《L(t為參數)，以坐標原點O為極點,

(y=-2-?t

X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為psi/e一4cosθ=0.

(1)求曲線C的直角坐標方程和1的普通方程；

(2)求曲線C上的點到直線［距離的最小值.

23.(本小題10.0分)

已知函數f(%)=?2x-1∣+?2x+1|.

(1)求不等式/(x)<4的解集；

(2)若不等式/(無)<4的解集為M,α,b∈M,求證：1??<1.

答案和解析

I.【答案】A

Z

【解析】解：由復數Z=段,得Z=震=君福=r=Y+1〃

所以Z=—?—?i.

故選：A.

根據復數除法運算化簡復數z,然后可得W.

本題主要考查共筑復數的定義，以及復數的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：由A={x?y=lg(x+2)}={x?x+2>0}={x∣x>-2},B={x∣x2≤9}={x∣-3≤

X<3},

所以AnB=(-2,3],

故選：B.

分別計算出集合4和B,再由交集的運算計算出4CB,即可得出答案.

本題考查集合的運算，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：設圓臺的高為九，

則圓臺的體積V=∣τr(22+42+2×4)×∕ι=56π,

解得h=6,

故圓臺母線長(=√62+(4-2)2=2√Tθ.

故選：A.

根據圓臺體積公式求出圓臺高，再由高及底面半徑求圓臺母線.

本題主要考查了圓臺的結構特征，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：由題意可知，∣2五+BE=4∣α∣2+∣K∣2+4α?K=12+9+4×√3×3×^=39.

解得|21+另I=√^9?

故選：C.

根據向量的數量積的定義及運算性質求解.

本題主要考查平面向量的數量積運算，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：由3cos2α+7cosa=0得3(2cos?a—1)+Icosa=0,^6cos2a+7cosa-3=0,

所以(2COSa+3)(3cosa-1)=0,又α∈(O,ττ),則CoSa∈(—1,1),

所以CoSa=

所以SilIa=√1-cos2α=?-?-

故選：D.

先用余弦的二倍角公式解出COSa,再用平方關系即可求出Sinα.

本題主要考查了同角基本關系的應用，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解:設｛Qn｝的公比為q,

則的勺？=8α3,解得q=2,

由=oq，解得Ql=1,

所以Sm=??=2m-l=127，

1—2

解得Jn=7.

故選：C.

根據等比數列的通項公式及求和公式列方程求解.

本題主要考查了等比數列的通項公式及求和公式的應用，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：將中間白色三角形依規(guī)律分成4個小白色三角形，如圖所示，

則△4BC共可分為16個相同的小三角形，白色部分有7個小三角形，黑色部分有9個小三角形，

A

B念c

故在△4BC內隨機取一點，則此點取自白色部分的概率是：??

Io

故選:B.

將中間白色三角形依規(guī)律分成4個小白色三角形，根據幾何概型分析計算即可.

本題主要考查幾何概型，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：S=0,k=8；S=8,k=7；S=1,k=6；S=5,k=5；S=0,k=4；S=4,

k=3,

輸出Zc=3,則判斷框內應填入"S=4?".

故選：C.

根據流程圖逐步代入數據檢驗即可判斷.

本題主要考查程序框圖的應用，屬于基礎題.

9.【答案】B

【解析】解：函數y=《尸在區(qū)間(2,+8)上單調遞減，函數y=-X+4在區(qū)間(2,+8)上單調遞減，

故函數f(x)=G)X—X+4在區(qū)間(2,+8)上單調遞減，

又/(2)>0,f(3)>0,f(4)>0,/(5)<0,

所以和∈(4,5),

e

因為f(&)=。?i∈(2,x0)>×2(Xo.+∞)-

由單調性知/(Xi)>0,/(X2)<0,即/01)>/(x2).

故選：B.

根據指數函數及一次函數的單調性確定函數遞減，再由零點存在性確定零點范圍，結合單調性判

斷/01)，人犯)大小?

本題主要考查了函數性質在函數零點判斷中的應用，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】解：因為44FB=60o,FB=FA=a,所以三角形力FB

為正三角形，

因為α2+b2=",所以b=竽,所以C?=濟，所以

故選：D.

結合圓的垂徑定理及點到直線距離公式求出焦點到準線的距離，求出離心率即可.

本題主要考查雙曲線的性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.

IL【答案】B

【解析】解:H?∕(x)=X3—ax2+3x,則/'(X)=3/一2αx+3,

若/(x)在R上單調遞增，則f'(x)≥0在R上恒成立，

即3χ2-2ax+3≥。恒成立，則4=4a2-36≤0,

解得一3≤α≤3,

當α<0時，因為函數y=X和y=會在(1,2］上均單調遞增,

所以函數g(x)=x+六在區(qū)間(1,2］上單調遞增，無最小值，不符合題意,

當α=0時，g(x)=X在區(qū)間(1,2］上單調遞增，無最小值，不符合題意，

當α>0時，g(χ)=χ+9,

由對勾函數的性質可知，函數g(x)在(0,「)上單調遞減，在(Jl,+8)上單調遞增,

因為g(x)=X+六在區(qū)間(1,2］上既有最大值又有最小值，

所以卜<Jl<2,解得2<a≤4,

(9(2)≥g(l)

所以實數ɑ的取值范圍是(2,3］.

故選：B.

根據函數/(x)在R上單調遞增，利用函數導數性質求出ɑ的取值范圍，在由g(x)在區(qū)間(1,2］上既有

最大值又有最小值求出ɑ的取值范圍，然后求交集即可.

本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，考查了對勾函數的性質，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：設拋物線的準線與X軸的交點為C],過點48分別作準線的垂線，垂足分別為M,N,

因為4M〃FCJ/BN,并結合拋物線定義可得舞i=霹=煞，

/VCrf1DIDli

又因為N4MCι=NBNCl=90°,

所以AAMCISABNG,所以ZJlMCl=ZjVBC「即2。/=NBC∕,

因為點B關于X軸的對稱點為當,所以點G與點C重合，

設直線48的方程為X=ky+1,A(x1,y1'),B(x2,y2)>則BI(X2,-丫2)，

聯立方程F=4x;1得y2_My_4=0,

Ix=fcy+1

所以為+丫2=4k,y1y2=-4,

又因為直線AC的斜率為?，

所以也=母牛=?,即曠1一乃=4「，

3

XI-X2k(.y1-y2)Jl,2V

所以AABC的面積為2XICFlX∣yi-y2∣=I×2×4√3=4√3.

故選：D.

根據題意可證明C,Ci重合，聯立直線與拋物線方程，根據根與系數的關系及直線斜率求出yι-%，

再由三角形面積公式得解.

本題主要考查了拋物線的定義和性質，考查了直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.

13.【答案】4e-2

【解析】解：:/(%)的定義域為(-8,+8),

且f'(x)=x(x+2)ex,

X變化時，/Q)與f'Q)的情況如下：

X(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)

f'(χ)+O—0+

f(%)T極大I極小T

故當X=-2時，f(x)取得極大值為/(-2)=4e~2.

故答案為：4e~2.

先求出函數的導數，得到單調區(qū)間，求出極值點，從而求出函數的極值.

本題考察了利用導數研究函數的單調性，函數的極值問題，是一道基礎題.

14.【答案】15

【解析】解：由題意知每節(jié)的重量構成等差數列，

設首項為2,則第5項為4,

所以總重量為等X5=15斤.

故答案為：15.

根據題意，每節(jié)重量構成等差數列，由等差數列求和公式得解.

本題主要考查了等差數列的求和公式的應用，屬于基礎題.

15.【答案】-1

【解析】解：因為A(α,2),B(β,O),所以MBl=√(a-￡)2+4,則J7a—0尹4≥J4+4

所以∣a-3min=*此時點力、B為函數上相鄰的最高點和對稱中心，

所以J=：所以白=M解得3=1,所以f(x)=2sin(x+g),

所以/(當—2si"d+J)=2sin(π+?)=一2以ng=-1.

OD?OO

故答案為：-1.

先根據最大值點和對稱中心的最小距離求出周期，再求出函數解析式，代入解析式結合誘導公式

及特殊角的函數值求解即可.

本題主要考查正弦函數的圖象，屬于中檔題.

16.【答案】585f^π

ID

【解析】解：依題意知，MN既是4B的垂直平分線，又是CD的垂直

平分線，

所以球心。在線段MN上，如圖，

設No=X,球的半徑為R,

在RtA40N中，R2=X2+62,

在RtZkOOM中，R2=(6-x)2+32,

貝!∣R2=%2+36=(6—x)2+9=>X=-

所以R=到亙W=2ΓR3=咨?

43716

故答案為：585孑.

根據題意知球心。在線段MN上，由直角三角中勾股定理列出方程求出半徑即可得解.

本題考查球的相關計算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(I)由已知及正弦定理得SirL4=SinBcosC+SinCsinB,

因為S譏A=SiIl(B+C)=SinBcosC+SinCcosB,

所以SinCS譏B=SinCcosB,

因為SiTIC≠0,所以SinB=COSB,

因為Be(O,兀)，所以B=a

(2)因為=月C,由正弦定理化簡得CSinB+SinC=￡?2s譏4

√2b+c22

又SiTlC=sin(x4+8)=SinAcosB+CoSASinB,

所以VI.早-V^sinA+^cosA=%CSM4

所以1=sinA-cosA=?Γ2(^-sinA一:CoSA)=√~2sin(√l-?),

LLLLO

所以Sin(A-?)=?，

OL

因為4∈(0,?,所以A—∈(―

4oOlZ

所以aYJa=含

【解析】(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得解；

(2)由正弦定理化簡后再由兩角和正弦公式及輔助角公式化簡得解.

本題主要考查正弦定理在解三角形中的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：因為四邊形ABC。是矩形，所以AD?L4B,

又平面PaBJL平面ABCD,平面PABC平面ABCD=AB,ADU平面ABCD,

所以力DI平面P4B,因為PBU平面PAB,所以PBIA0.

因為PBJ.PD,PDf]AD=D,PD,ADU平面P40,所以PB_L平面P4D.

(2)如圖，取AB中點為0,連接PO,由(1)知PBl平面PAD,所以241.PB,

又PA=PB,AB=2,

所以Po=1且POjLaB,

由平面P4B_1_平面48C0,平面PABn平面ABC。=AB,POU平面4BC0,

則P。，平面ABCO,即點P到平面ABC。的距離為1,

因為PB1PD1PB=√^2,BD=√^13-所以PD=>∏L1.

又PBLAD,AD//BC,所以PBIBC,

所以PC=J(C)2+32=T

所以SAPCD=TX2XJ(√Il)2-12=√10>

設點E到平面PC。的距離為九，則/_PCD=VP.DCE,

∣×^×1×2×1=∣××h,解得

即點E到平面PCD的距離為音.

【解析】(1)根據面面垂直可得線面垂直，再得線線垂直，由線面垂直的判定定理得證;

(2)根據等體積法求出點到面的距離即可.

本題考查線面垂直判斷以及點到平面的距離，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)甲班樣本數據的平均值為2(8+13+28+32+39)=24,

由此估計甲班學生每周平均熬夜時間24小時；

乙班樣本數據的平均值為看(12+25+26+28+31)=24.4,

由此估計乙班學生每周平均熬夜時間24.4小時.

(2)由題知，甲班“過度熬夜”的有3人，記為α,b,c,乙班“過度熬夜”的有2人，記為d,

從中任取2人，有Qb,ac,ad,ae,be,bdfbe,cd,ce,de,共10種可能，

其中都來自甲班的有M,Qc,be,共3種可能，

所以所求概率P=去

【解析】(1)根據平均數計算公式直接計算可得；

(2)列舉出所有可能情況，然后由古典概型概率公式可得.

本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎題.

2

20.【答案】解：(1)設橢圓C的方程為m/+ny=i(m>0fn>0lm≠n).

因為過(2,0),(C,?)兩點，

所以{3m+∕=l'解得m=M=京,

I4

所以橢圓C的方程為4=L

43

(2)假設存在直線2滿足題意.

(i)當直線，的斜率不存在時，此時/的方程為X=±1.

當I：X=I時，OB≠0,

同理可得，當I：X=-I時，OA-OB≠0.

(ii)當直線，的斜率存在時，設I的方程為y=kx+m,設4(∕,yι),B{x2,y2),

Iml_1

因為直線嗎圓。相切，所以丁丁一1,即病="+1①，

y-」

+m,

+

聯立方程組整理得(3+4∕C2)X2+8kmx+4m2—12=0,

x2τy23

Δ=48(4∕C2-m2+3)=48(3fc2+2)>0,

_一8km

%+%2―3+4∕C2

由根與系數的關系,得《

4/-12

Xl×2=3+4F,

因為瓦？,赤=0，所以Xι%2+%丫2=。?

22

所以XIX2+(kxι+m)(kx2+m)=(1+k)x1x2+km(%1+x2)÷m=0,

-8km

所以(1+∕c2).黑京2+km?+m2=O,

3+4∕C2

整理得7T∏2_12∕C2-12=。②,

聯立①②，得Y=-I,此時方程無解.

由(助(團)可知，不存在直線，滿足題意.

【解析】(1)設橢圓方程為+ny2i(m>0,n>0,m≠n),將已知點坐標代入解方程組即可;

(2)分斜率存在和不存在兩種情況討論，當斜率存在時，設直線方程，聯立橢圓方程消去y,利用

韋達定理表示刀?南=0,再根據直線與圓相切列方程，聯立求解即可判斷.

本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉化能力，屬于難題.

?2

21.【答案】解：(1)當α=-2時，/(X)="X+*9,[S)=]一不及，

所以f(D=ι,Γ(i)=j,

所以函數/(無)的圖像在(Ija))處的切線方程為y-1=i(x-l),即X-2y+1=0.

(2)因為/(X)=Inx-?,

所以/'(X)=~+=≡??±1(χ>0),

jk7%α+i)2Xa+ip、>

由題意知與，不是方程/(%)=。在(0,+8)內的兩個不同的實數解，

令九(%)=%2÷(2+a)x+1,

又八(0)=1>0,且函數h(x)圖像的對稱軸為直線X=-竽，