2023年安徽省合肥市六校聯(lián)考中考一模數(shù)學試卷（含答案與解析）

2023年安徽省合肥市六校聯(lián)考中考模擬試卷（一）

數(shù)學

（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

注意事項：

1.答題前，考生先用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在試卷及答題卡的指定

位置，然后將條形碼準確粘貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”內。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體

工整，筆跡清晰。

3.按照題號順序在答題卡相應區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

4.在草稿紙、試卷上答題無效。

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.k2|的相反數(shù)是（）

11

A.—2B.----C.~D.2

22

2.安徽省2023年《政府工作報告》指出去年糧食產量達到820.02億斤，其中820.02億用科學記數(shù)法表示

為（）

A.820.02×IO8B.8.2002XIO9C.8.2002×10l°D.0.82002x10"

3.下圖中，不是右圖所示物體從正面、左面和上面三個方向看到的圖形的是（）

C（-2α%）3=-8。6獷D.[a-h^^a2-b2

5.一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，點E在AB上，BC//EF,則NI的度數(shù)是（）

6.下列定理中，沒有逆定理的是（）

A同旁內角互補，兩直線平行

B.直角三角形的兩銳角互余

C.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等

D.同位角相等，兩直線平行

7.已知：ABC中，NC=45°,D為BC邊上一點,AD=AB,BD=2,BHJ.AD于H,3”延長

線交AC于E，則CE的長為（）

r-4L

A.√2B.-C.y∣3D.1

8.在一次舞蹈比賽中，甲、乙、丙、丁四隊女演員的人數(shù)相同，身高的平均數(shù)均為166cm,且方差分別為

?=3.1,,《=2.9,S需=2.3,.4=1.8,則這四隊女演員的身高最整齊的是（）

A.甲隊B.乙隊C.丙隊D.丁隊

9.在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=@與二次函數(shù)y=0√-。的圖象可能是（）

X

10.如圖，正方形ABCr）一邊AB在直線/上，P是直線/上點A左側的一點，AB=2Q4=4,E為邊AD

上一動點，過點P,E的直線與正方形ABCQ的邊交于點尸，連接5E,BF＞若設。E=x,的

面積為S,則能反映S與X之間函數(shù)關系的圖像是（）

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

11.有理數(shù)“、b、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：I。-h∣-∣α+c∣的值為.

cOah

12.如果y=√x-2+√2-x+5,那么yv的值是,

13.已知某直線經過點A（0,2）,且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2.則該直線的函數(shù)表達式是

14.如圖，在矩形ABCQ中，A3=6,BC=4,P是矩形內部一動點，且滿足,/“/∣?∣）（',則線

段8尸的最小值是；當8尸取最小值時，DP延長線交線段BC于￡,則CE的長為.

三、解答題（本大題共9小題，共90.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16

15.計算：（-τr-2）0-|1-tan60o∣-（?-）^'

16.某項工程，甲工程隊單獨施工10天后，為加快進度，乙工程隊也加入一起施工，這樣共用30天完成了

任務，已知乙工程隊單獨施工需要40天完成，求甲工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù).

17.如圖，在邊長為1個單位的小正方形組成的12x12網格中，給出了以格點（網格線的交點）為頂點的

ABC,并建立如圖所示的平面直角坐標系.

（1）畫出CABC關于X軸對稱的J）石尸（點A,B,C的對應點分別為O,E,F）；

（2）將」沒向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到.GH/（點。,E,尸的對應點分別為G,

H,/）,畫出平移后的AG/〃，并寫出點/的坐標.

18.觀察以下等式:

..221_1

第1個等λλ式：一X

13^3^1

2311

第2個等式：一X

24^4^2

241_1

第3個等式：一X

35^5-3

25_￡?

第4個等式：一X

466^4

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第5個等式；

（2）寫出你猜想的第〃個等式：（用含〃的等式表示），并證明.

19.為鞏固農村脫貧成果，利興村委會計劃利用一塊如圖所示的空地ABCO,培育綠植銷售，空地南北邊

界AB〃CD,西邊界經測量得到如下數(shù)據，點A在點C的北偏東58°方向，在點。的北偏東

48。方向，BC=780米，求空地南北邊界AB和Co的長（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據：tan48°vl.l,

20.如圖，在一A8C中，AB=AC,以AB為直徑作（。交8C于點D.過點。作。ElAC,垂足為E,

延長C4交(O于點F.

(2)若tanB=g,C)O的半徑為5,求線段CT的長.

21.皖豐果園隨機在園中選取20棵蘋果樹，并統(tǒng)計每棵革果樹結果的個數(shù)如下：

32394555605460285641

51364446405337474546

(1)求前10棵蘋果樹每棵結果個數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)；

(2)若對這20個數(shù)按組距為8進行分組，請補全頻數(shù)分布表及頻數(shù)分布直方圖;

組別第一組第二組第三組第四組第/1111

個數(shù)分組28≤X<3636≤X<4444≤x<5252≤Λ<6060≤%<68

個數(shù)242

(3)若從第一組和第五組中隨機選取兩棵樹進行細化研究，求選取的兩棵樹恰巧屬于不同組別的概率.

22.如圖，拋物線y=∕+?v+c經過A(T,0),B(3,0),C(0,3)三點，。為直線8C上方拋物線上一動

點，過點。作。QLx軸于點。，OQ與BC相交于點M?DE上BC于E.

v?

(I)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)求線段OE長度最大值;

(3)連接AC，是否存在點。，使得Cr>￡中有一個角與NC4O相等？若存在，請直接寫出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

23.在四邊形ABC。中，NABC=90。，AB=BC,對角線A。、8。相交于點E，過點C作CT垂直于

BD，垂足為F,且CF=DF.

(2)如圖2,連接"，點P、M、N分別為線段AB、AF>DF中點，連接PM、MN、

PN.

①求證：NPMN=I35。；

②若AO=2√∑,求二PMN的面積.

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

LH的相反數(shù)是()

A.-2B.——C.?D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用絕對值的性質化簡，再利用相反數(shù)的性質得出答案.

【詳解】解：|-2|=2,故|-2|的相反數(shù)是一2?

故選:A.

【點睛】本題主要考查了絕對值的性質、相反數(shù)的性質，解題的關鍵是正確掌握相關性質.

2.安徽省2023年《政府工作報告》指出去年糧食產量達到820.02億斤，其中820.02億用科學記數(shù)法表示

為（）

A.820.02×IO8B.8.2002×IO9C.8.2002×IO'0D.0.82002×10"

【答案】C

【解析】

【分析】根據科學記數(shù)法的表示方法，進行表示即可.

【詳解】解:820.02億=8.2002xl0∣°;

故選C.

【點睛】本題考查科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法表示方法：Ω×10,,（l≤∣a∣<10）,〃為整數(shù)，是解

題的關鍵.

3.下圖中，不是右圖所示物體從正面、左面和上面三個方向看到的圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據幾何體的三視圖解題：分別從正面、左面、上面對該幾何體正投影所得的圖形即是主視圖、

左視圖、俯視圖.

,面

從上面看:＞選項A、C、力不符合題意，選項B符合題意,

故選:B.

【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖的識別，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

4.下列運算中正確是（）

A.cr+a1=2Ω4B.t/6?÷?(2~=a''

C.(-2a2b)3=-Sa6b3D.(a—Z?)--a2-b2

【答案】C

【解析】

【分析】根據整式的加法、同底數(shù)事的除法，積的乘方運算，完全平方公式逐一進行計算，即可得到答案.

22原計算錯誤，不符合題意，選項錯誤;

【詳解】解:A、a+a2”,

B、a6÷a2=a4,原計算錯誤，不符合題意，選項錯誤;

C、（-2∕b）3=-8a%3,原計算正確，符合題意，選項正確;

D、（a—bp=/—24。+〃原計算錯誤，不符合題意，選項錯誤，

故選C.

【點睛】本題考查了整式的加法、同底數(shù)累的除法，積的乘方運算，完全平方公式，熟練掌握相關運算法

則是解題關鍵.

5.一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，點E在AB上，BC//EF,則Nl的度數(shù)是（）

A.60oB.65oC.70oD.75°

【答案】D

【解析】

【分析】根據平行線的性質和直角三角板的性質可得N2=/C,Z3=45o,再利用三角形的外角性質即

可求解.

【詳解】解：如圖所示：

由題意得：/3=45°,

BC//EF,

.?.Z2=ZC=30°,

.?.Zl=Z2+Z3=30°+45°=75°，

故選：D.

【點睛】本題考查的是平行線的性質，三角形的外角性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質.

6.下列定理中，沒有逆定理的是（）

A.同旁內角互補，兩直線平行

B.直角三角形的兩銳角互余

C.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等

D.同位角相等，兩直線平行

【答案】C

【解析】

【分析】】根據逆命題的定義寫出各命題的逆命題，然后進行判斷即可.本題主要考查命題的真假判斷，正

確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

【詳解】A、逆定理是兩直線平行，同旁內角互補；

B、逆定理是兩銳角互余的三角形是直角三角形；

C、逆命題是絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)，是假命題，故沒有逆定理；

D、逆定理是兩直線平行，同位角相等；

故選C.

【點睛】本題主要考查命題真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

7.已知：.ABC中，NC=45°,D為BC邊上一點,AD=AB,BD=rL,BHJ.AD于H,8”延長

線交AC于E，則CE的長為（）

BD

L4L

?-√2B?~C.?/?D.1

【答案】A

【解析】

【分析】過點A作AMLBD于點M,過點E作E尸，BC于點R由等腰三角形的性質得出NBAM=

ZDAMfBM=DM,證出AB=JBE,證明aABMgABM(AAS),由全等三角形的性質得出Er=BM=1,

則可得出答案.

【詳解】解：過點A作AM_L3Q于點M,過點E作MJ_3C于點R

：.ABAM=ADAM.BM=DM,

9

'.BHLADf

；,/HBD+/HDB=9C,

又?.?N"O8+NMAD=90°,

.?.NHBD=NMAD,

：.NHBD=NBAM=ZMAD1

VZC=45o,

ΛZMAC=ZFEC=45o,

VZAEB=ZC+ZEBC=45o+NEBC,ZBAC=ZMAC+ZBAM=450+ZBAM,

???/AEB=NBAC,

IAB=BE,

ZAMB=ZEFB

在aABM和AAE/中，＜ZBAM=ZEBFf

AB=BE

JXABMQIXBEF(AAS),

.'EF=BM=T,

：.CE=OEF=母,

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，等腰三角形的性質，證明

EF是解題的關鍵.

8.在一次舞蹈比賽中，甲、乙、丙、丁四隊女演員的人數(shù)相同，身高的平均數(shù)均為166cm,且方差分別為

?=3.1,?=2.9,S靠=2.3,Sj-=I.8,則這四隊女演員的身高最整齊的是（）

A.甲隊B.乙隊C.丙隊D.丁隊

【答案】D

【解析】

【分析】根據方差的意義可作出判斷.方差是用來衡量一組數(shù)據波動大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據分

布比較集中，各數(shù)據偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據越穩(wěn)定.

【詳解】解：?=3.1,￠=2.9,耳=2.3,4=1.8,丁隊的方差最小，

，這四隊女演員的身高最整齊的是丁隊.

故選：D.

【點睛】本題考查了方差的意義，熟記方差的意義是解題關鍵.

9.在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=2與二次函數(shù)y=依2一。的圖象可能是（）

【解析】

【分析】根據二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象與性質可進行求解.

【詳解】解：當α>0時，則—α<0,所以二次函數(shù)的圖象開口向上，與y軸交于負半軸，而反比例函數(shù)

的圖象在第一、三象限；故B、C選項錯誤；

當“<0時，則一口>0,所以二次函數(shù)的圖象開口向下，與y軸交于正半軸，而反比例函數(shù)的圖象在第二、

四象限；故A正確，D選項錯誤；

故選A.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握這兩種函數(shù)的圖象與性質是解題的

關鍵.

10.如圖，正方形ABeQ一邊AB在直線/上，P是直線/上點A左側的一點，AB=2PA=4,E為邊Az）

上一動點，過點P,E的直線與正方形ABC。的邊交于點F,連接BE,BF，若設。E=X,ABEF的

面積為S,則能反映S與X之間函數(shù)關系的圖像是（）

AB

【答案】B

【解析】

【分析】分F在邊Cr）上時、點廠與點。重合時時、點尸在邊BC上三種情況，分別求出S與X之間的函

數(shù)關系式即可解答.

【詳解】解:?.?A6=2B4=4,

.?,AB=4,AP=2，P3=4+2=6,

四邊形ABCZ）是正方形,

.?.AB=AD=BC=CD=4,

：點F在邊CD上時，DE=x,AE=4-x,

=

.*.SSBPF-S=2X6χ4—/X（64—x）=3x,

點F與點C重合時時，S=LX4x4=8,

2

四邊形ABCD是正方形,

ADlIBC,

PA_AE

~PB~~BC'

ADHBC,

PAAE24-x

.*.---=,即πr一1=-----,

PBBF6BF

..BF=12—3x,

.?.S=gx4（12-3x）=24-6x,

QQQ

二當x<一時，S=3x；當X=一時，5=8；當一<x<4時，S=24—6%；

333

，能反映S與X之間函數(shù)關系的圖像是B.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了動點的圖像問題，涉及到一次函數(shù)、平行線分線段成比例定理，正方形的性質等知

識點，掌握分類思想的利用是解題的關鍵.

第II卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

11.有理數(shù)出b、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：Ia-b∣-∣α+Cl的值為.

____I___________________I_______I______I?

cOab

【答案】b+c

【解析】

【分析】由圖可得：c<0<α<b,且∣c∣>∣6∣>∣α∣,據此即可去掉絕對值,進行運算即可求得.

【詳解】解：由圖可得：c<0<α<?,且∣c∣>∣b∣>∣α∣,

Λa-h<O1β+c<0,

.*.?a~b?-?a+c?=b~a+a+c=b+cf

故答案為：?+c.

【點睛】本題考查數(shù)軸與絕對值；熟練掌握數(shù)軸上點的特點，能夠根據數(shù)的范圍準確去掉絕對值符號是解

題的關鍵.

12.如果y=√x-2+√2-x+5,那么的值是,

【答案】25

【解析】

【分析】根據被開方數(shù)不能為負數(shù)，解不等式求得X的取值即可；

【詳解】解：?.”-220,.?.x22,

又?.?2-x20,.?.xW2,

Λx=2,

?4=5,

.?.∕=52=25,

故答案為：25；

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解不等式；掌握被開方數(shù)不能為負數(shù)是解題關鍵.

13.已知某直線經過點40,2),且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2.則該直線的函數(shù)表達式是

【答案】y=x+2或y=-x+2

【解析】

【分析】先畫出函數(shù)大致圖，結合圖象分兩種情況討論，根據三角形的面積為2求出函數(shù)與X軸交點坐標,

即可求出函數(shù)解析式

【詳解】如下圖，：點A(0,2)

V直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2,

：.-OA-OB^2,

2'1

解得。與=2,故4(2,0)

設該直線的解析式為y=kx+2

將(2,0)代入得0=2k+2,解得k=-l

.*.y=-x÷2

當直線與X軸相交于與時，同理可求與(-2,0)

將為(一2,0)代入得0=-2k+2,解得k=1

.,.y=-x+2

故該函數(shù)表達式為：y=x+2或y=-x+2

填：y=x+2或y=-x+2.

【點睛】本題考查一次函數(shù)與兒何圖形問題.能根據函數(shù)與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2求出它與X軸

的交點坐標是解決此題的關鍵.另外本題一定要分交點在X軸正半軸和X軸負半軸兩種情況討論.

14.如圖，在矩形ABCO中，AB=6,BC=4,尸是矩形內部一動點，且滿足一次'P-，則線

段JBP的最小值是；當BP取最小值時，Z)P延長線交線段BC于E，則CE的長為

【解析】

【分析】(1)如圖，由NBCP=NPr)C及NBCO=90°易證NCPD=90°，所以點尸在以CD為直徑的

圓上，連接0B,交。于P,此時BP長最小，根據勾股定理求解OB=5,進而求得5P為2；

1RFDp

(2)如圖，作。尸Be交OE于E，由OC=OD可證OF=-CE,由BPEOPF知—=——，

2OFPO

從而解得CE=3.

/.ZBCD=90°,

.?.ZBCP+ZDCP=90°

?.?ZBCP=NPDC,

：.NPDe+NPCD=90°,

:.NCPD=90°,

以Cr）為直徑作OO,。。經過點尸，連接。8,交c0于p,此時PB長最小.

OB2=BC2+COZ=42+32,

.?.OB=5,

：.PB=OB—OP=5—3=2,

故答案為2.

（2）作。『BC交DE于F,

OC=OD,

..DF=EF9

：.OF=>CE,

2

?/OFBC

：.ZPFO=ZPEB,ZPOF=NPBE

：.,BPEOPF

.BEBP

??-------------,

OFPO

4-CE_2

,F==

2

CE-3.

故答案3.

【點睛】本題主要考查直角三角形的外接圓、點到圓上點的最值問題、中位線定理、相似三角形的判定和性

質；明確動點尸的軌跡，確定BP取最小值時點P的位置是解題的關鍵；求CE長的關鍵是利用矩形的性質

及（1）空的結論構造相似三角形求解.

三、解答題（本大題共9小題，共90.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16

15.計算：（-7Γ-2）°-∣1-tan60°∣-（5）刀+/r,

【答案】√3

【解析】

【分析】根據負整數(shù)指數(shù)幕的意義，零指數(shù)嘉的意義，特殊三角函數(shù)值的代入，分母有理化即可求出答

案.

【詳解】解：原式=I-（√3-1）-2+苑

3

=1-√3+l-2+2√3

=√3.

【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)累，特殊三角函數(shù)值，分母有理化，正確的計算是解題的關

鍵.

16.某項工程，甲工程隊單獨施工10天后，為加快進度，乙工程隊也加入一起施工，這樣共用30天完成了

任務，已知乙工程隊單獨施工需要40天完成，求甲工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù).

【答案】甲工程隊單獨完成此項工程需要60天

【解析】

【分析】設甲工程隊單獨完成此項工程需要X天，先求出甲、乙工程隊每天完成的工程量，再根據題意列出

方程，解方程即可得.

【詳解】解：設甲工程隊單獨完成此項工程需要X天，

將整個工程量看作為“1”，則甲工程隊每天完成的工程量為L,乙工程隊每天完成的工程量為4

X40

3030-10

由題意得:—+=1)

X40

解得X=60,

經檢驗，X=60是所列分式方程的解，

答：甲工程隊單獨完成此項工程需要60天.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

17.如圖，在邊長為1個單位的小正方形組成的12x12網格中，給出了以格點（網格線的交點）為頂點的

ABC,并建立如圖所示的平面直角坐標系.

（1）畫出.TLBC關于X軸對稱的一。防（點4,B,C的對應點分別為。，E,F）；

（2）將所向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到GHI（點。，E,F的對應點分別為G,

，，/）,畫出平移后的AG"/,并寫出點/的坐標.

【答案】（I）見解析；（2）見解析，/C

【解析】

【分析】（1）根據軸對稱的性質得出對應的點，再連線即可;

（2）根據平移的性質得出對應的點連線即可.

【詳解】解：（1）根據對稱的性質作圖_DEF如圖；

（2）根據平移的性質作圖,C/〃如圖，/（3,-1）.

【點睛】本題考查了圖形的對稱變換和平移變換；正確的得出對應點的位置是解題的關鍵.

18.觀察以下等式:

2211

第1個等式：—X—

13^3^1

23

第2個等式：—X—??

24~4~2

241_1

第3個等式：—X—

355^3

2511

第4個等式：—X—

466~4

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第5個等式；

（2）寫出你猜想的第〃個等式：（用含〃的等式表示），并證明.

…小2611

【答案】（1）—X-----=一

5775

(2)-×-一一二=’,證明見解析

nn+2n+2n

【解析】

【分析】(1)分別找到各部分分子和分母的規(guī)律，寫出第5個等式即可；

(2)根據題意猜想，再利用分式的加減運算法則驗算即可.

【小問1詳解】

解：由題意可得：

,,,?,,2611

第5個λ等λ式-u：一X------=—；

5775

【小問2詳解】

猜想的第幾個等式：-X—一一-=

nn+2n÷2n

F口2〃+11

證明：一X---------------

nn+2〃+2

_2(〃+1)____n

〃(〃+2)〃(〃+2)

_2n+2-n

〃(〃+2)

n+2

rt(π+2)

?

n

【點睛】本題考查了數(shù)字型規(guī)律，分式的加減運算，解題的關鍵是找到所給等式的規(guī)律，并用分式的運算

法則驗證.

19.為鞏固農村脫貧成果，利興村委會計劃利用一塊如圖所示的空地A8C。，培育綠植銷售，空地南北邊

界AB〃C。，西邊界經測量得到如下數(shù)據，點A在點C的北偏東58°方向，在點。的北偏東

48。方向，BC=780米，求空地南北邊界AB和CO的長(結果保留整數(shù)，參考數(shù)據：tan48o≈l.l,

【答案】AB的長和CO的長分別約為1248米和390米.

【解析】

【分析】根據題意作輔助線得到矩形BcDE,在直角三角形中利用正切得到AB和AE的長度，再根據線

段的和差關系即可得到CO的長度.

【詳解】解：過。作于Z）ElAB于E，

?.?BCLAB,

：,BC//DE,

?.?AB//CD,

四邊形BCoE為矩形，

?.?ZAeB=58°,

An

'?在Rt△ASC中，tan58°=----,

BC

???5。=78（）米，taπ58o≈1.6,

/.AJ3≈780×1.6=1248（米），

,/NADE=48。，

...在RtZkADE中，tan48°=—,

DE

Y四邊形BCOE為矩形，

/.DE=BC=780米,

,/tan480≈1.1,

ΛAE≈780×l.1=858（米），

ΛCD=BE=AB-AE≈1248-858=390（米），

答：AB長和CO的長分別約為1248米和390米.

【點睛】本題考查了解直角三角形，根據題意構造出直角三角形是解題的關鍵.

20.如圖，在JIBC中，AB=AC,以AS為直徑作。。交BC于點。.過點。作OElAC,垂足為E，

延長C4交Co于點尸.

F

(1)求證：DE是Q的切線；

(2)若tanB=；,Oo的半徑為5,求線段。尸的長.

【答案】(1)見解析(2)16

【解析】

【分析】(1)根據已知條件得到。AC,即可得到結論；

(2)連接所、AD，根據已知可求出BD的長，由AB=AC且NAz>3=90°可得。為BC的中點，進

而得到BC的長度，然后根據。D〃AC可證NS=NODB=NC,在RfBCF中,利用勾股定理求解即

可.

【小問1詳解】

,/OB=OD,

.?.ZABC=/ODB,

,.?AB^AC,

：.ΛABCZACB,

：.NODB=ZACB,

：.OD//AC,

VDElAC,0。是半徑，

/.DE^OD,

OE是Co的切線.

【小問2詳解】

連接所、AD，

???：.。的半徑為5,AB為直徑，

ΛAB=IO,NAD8=90°,ZBFC=90°,

?.?tanβ=?,設AD=X,則B￡>=2x,

2

在RhAS。中，由勾股定理得：

AD1+BD2=AB2>即/+（2x）2=10、

解得：X=2^∣5^x=-2>∕5（舍去），

.??BD=2x=4√5.

VAB=AC,ZADB=90o,

?*.BD=CD，

.*.BC=2BD=8√5，

由（1）知，OD//AC,

：.NODB=NC,

'：OB=OD,

：.ZB=NODB=NC,

：.tanC=tanB=?,即CF=2BF，

2

在MBCE中，BF2+CF2=BC2，即8尸+（28/）2=（8√5y,

解得B/7=8或BE=—8（舍去），

.?.CF=2BF=?6.

【點睛】本題考查了切線的判定、銳角三角函數(shù)的定義，正確理解題意，熟練運用相關性質是解題的關鍵.

21.皖豐果園隨機在園中選取20棵蘋果樹，并統(tǒng)計每棵蘋果樹結果的個數(shù)如下：

32394555605460285641

51364446405337474546

（1）求前10棵蘋果樹每棵結果個數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）若對這20個數(shù)按組距為8進行分組，請補全頻數(shù)分布表及頻數(shù)分布直方圖；

組別第一組第二組第訓第四組第五組

個數(shù)分組28≤x<3636≤x<4444≤x<5252≤x<6060≤x<68

個數(shù)242

(3)若從第?組和第五組中隨機選取兩棵樹進行細化研究，求選取的兩棵樹恰巧屬于不同組別的概率.

【答案】(1)中位數(shù)為49.5,眾數(shù)為60

(2)5,7,圖見解析

(3)-

3

【解析】

【分析】(1)根據求中位數(shù)和眾數(shù)方法即可求解；

(2)利用20個頻數(shù)即可補全第三組和第四組的頻數(shù)，再補全直方圖；

(3)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出選取的兩棵樹恰巧屬于不同組別的結果數(shù)，然后根據概

率公式求解.

【小問1詳解】

解：將前10個數(shù)從小到大依次排列為：

28323941455455566060

第5個和第6個數(shù)分別為45和54,它們兩個數(shù)的平均數(shù)為49.5,所以中位數(shù)為49.5,

出現(xiàn)次數(shù)最多的是60,出現(xiàn)了兩次，所以眾數(shù)為60；

【小問2詳解】

解：補全頻數(shù)分布表如下：

組別第一組第二組第三組第四組第五組

個數(shù)分組28≤X<3636≤%<4444≤x<5252≤x<6060≤%<68

個數(shù)25742

補全頻數(shù)分布直方圖(如下)

【小問3詳解】

解:設第一組的兩棵樹分別為A、B,第二組的兩棵樹分別為C、D,

畫樹狀圖為:

開始

ABJD

小/N?/τ×

BCDACDABDACB

共用12種等可能的結果，其中選取的兩棵樹恰巧屬于不同組別的結果數(shù)為8,

Q2

所以選取的兩棵樹恰巧屬于不同組別的概率=一=一.

123

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出〃,再從中選出符合

事件A或8的結果數(shù)目肛然后利用概率公式求出事件A或B的概率.

22.如圖，拋物線丁="+法+。經過A(T,0),8(3,0),C(0,3)三點，O為直線BC上方拋物線上一動

點，過點。作。QJ?X軸于點。，。。與BC相交于點M.DELBC于E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求線段DE長度的最大值；

(3)連接AC,是否存在點。，使得，Cr)E中有一個角與NC4。相等？若存在，請直接寫出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

【答案】(Oy=-x2+2x+3

(3)存在，點。的坐標為

【解析】

【分析】(1)設拋物線解析式為y=α(x+l)(x-3),將C(0,3)代入，得：α×(0+l)×(0-3)=3,解得

a=T,即可求出拋物線解析式為y=-f+2χ+3;

(2)設f>(m,τ√+2m+3),且0Vm<3,設直線BC的解析式為y=依+〃，將B(3,0),C(0,3)代

DEBO

入，求出直線3C的解析式為y=-χ+3,證明一DMES_3CO,得出

JDMBC

DE=--m2+^m,即可解得;

22

(3)設。(加,一∕√+2m+3),且0V∕"V3,由(2)知。E=—4加2+半加，分兩種情況討論即可①

OC3

若NZ)CE=NC40，tanNOCE=tanNC4。=—=3,解得m=二或0(舍去)；②若

OA2

CE5

NCDE=NCAO,InnZDCE=——=3,解得加=一或0(舍去)，即可解得.

DE2

【小問1詳解】

解：?；拋物線丁=奴2+&+。經過4(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點，

.?.設拋物線解析式為y=α(x+l)(x-3),

將C(0,3)代入，得：ax(0+l)x(0-3)=3,

解得a=-1.

y=-(x+l)(χ-3)=-χ2+2τ+3,

/.拋物線解析式為y=~x2+2x+3;

【小問2詳解】

解：設Z)(∕〃,τ√2+2m+3),且OV〃zV3,

在RLBoC中，

BO=3,

OC=3

5C=√32+32=3√2-

設直線3C的解析式為y=H+”,將8(3,0),C(0,3)代入,

3k+n-0

得《

n-3

k=—1

解得

n-2

：,直線BC的解析式為y=-X+3,

.?.M(∕w,-m+3),

.*.DM=—m2+2m+3-(―7w)(-m+3)=—m+3m2+3m,

?；DElBC,

：.NDEM=NBoCR00，

VOQLX軸，

.,.OQ〃y軸，

.?.ZDME=ZBCO,

.?,JDMESdBCO,

.DEBO

"DM^BC'

DE3

即?~^---T=,

-m^+3m3√2

存在點。，使得,COE中有一個角與NC4O相等.

VA(-LO),6(3,0),C(0,3),

OA=I,

OC=OB=3,

：.NoBC=NoeB=45°，

?.?OQ口軸，

.?.ZBMQ=ZDM^450,

YDElBC,

.??ME=DE，

設D^m,-rri2+2m+3),

且0<〃r<3，

則M(/%-/%+3),

?'?CM=+(—m+3-3)^=?[lm，

由(2)知DE