2023屆高考前復(fù)習(xí)2-3數(shù)形結(jié)合思想中的八種題型 （導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式、立體與解析幾何、統(tǒng)計(jì)概率） （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案(上海地區(qū)專用))

專題2.3數(shù)形結(jié)合思想中的八種題型

題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、填空題

1.(2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為F(X)=2χ3-5f-4x,如

果f(a)=f(b)=f(c)^a<b<c,貝!Ja6c的取值范圍為.

【答案】(唱

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，令

∕3)=∕(b)=∕(c)=k,可得A的范圍，則/(x)-左=0的三個(gè)根為α,"c,從而可得

2√-5X2-4x-k≈2(x-o)(x-?)(x-c),右邊去括號(hào)即可得解.

［詳解［f'(x)=6x2-10x-4=2(3x+l)(x-2),

當(dāng)x〉2或時(shí)，用X)>0,當(dāng)-；<x<2時(shí)，/^Λ?)>0,

所以函數(shù)的增區(qū)間為(-8,T)，(2,+8),減區(qū)間為1-g,2),

則函數(shù)〃x)的極大值為/(T)=,極小值為/(2)=-12,

作出函數(shù))(%)的大致圖象,若f(α)=f(b)=∕(C)且“<:<c,

令/(α)=fS)=/(c)=M,貝

即/(x)-4=0的三個(gè)根為",",c,

即2xi-5X2-4x-k=2(Λ-Λ)(X-?)(X-C),

又2(x—α)(x—〃)(X-C)=2χ3—2(α+/?+C)X2+2(a6+αc+bc)x—2^z?c,

2.(2022春?上海崇明?高二統(tǒng)考期末)已知在區(qū)間(0,1)上rα)>l.在下面所示的圖象中,

可能表示函數(shù)y=?fω的圖象的有(填寫所有可能的選項(xiàng)).

【分析】根據(jù)題意y=f(χ)切線的斜率始終大于1,對(duì)比選項(xiàng)得到答案.

【詳解】在(0,1)上，y=∕(χ)切線的斜率始終大于1,僅(1)滿足.

故答案為：(1)

3.(2022春?上海楊浦?高二上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？计谀?如圖，水缸為圓錐形，圓錐底

面直徑為2.5米，高為5米，水被以萬立方米/小時(shí)的速度注入水缸中，當(dāng)水缸中的水深為2米

時(shí)，此時(shí)水面上升的瞬時(shí)速度(變化率)為(單位：米/小時(shí)).

【分析】根據(jù)半徑與高度關(guān)系得到r=%,則根據(jù)體積公式得到3=48/，=

對(duì)M求導(dǎo)代入時(shí)間即可.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為,，水深的高度為〃，水注入的時(shí)間為f,

Δ=A=1

則有；一行一\4則，=

----4

2

πt-??πrl`h,則I=!="??/,化簡(jiǎn)得〃3=48/,

3316

???

則∕ι=(484戶=481戶

11，

//=483X上Xf3,

3

當(dāng)人=2時(shí)，代入∕=48r,則

O

2

,?1∩v??1?I?

V=h,=483×-×—=63×83×-×63=6×-×83=4,

3{6J33

故答案為：4.

4.(2022秋?上海虹口?高三上外附中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=[-[X'110,若存在

X1≤0,?>0,使得/(xl)=∕(w),則XJ(A?)的最小值為.

【答案】T/

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)/(X)的簡(jiǎn)圖，設(shè)/(XJ=/(w)=f,根據(jù)圖像確定f的取

值范圍，將Xj(Xz)化成只含有一個(gè)變量r的二次函數(shù)，由定區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的性質(zhì)，從而確定

?V(??)的最小值.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=X-Inx,/(X)=I-I=-,

XX

當(dāng)x>]時(shí),/(x)>O,當(dāng)OCXVl時(shí)，/(Λ)<0,

即當(dāng)χ=l時(shí)，/⑶取得極小值為AD=L

當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x+4e為增函數(shù)，且/(x)M4e,

函數(shù)/(x)的圖像如圖：

設(shè)/(Xi)=7%)=，，由題可知l≤f≤4e,由f(%)=f得芭+4e=f,則x∣=f-4e,

22

則xl∕(x2)=t(t-4e)=(t-2e)-4e,

.l≤r≤4e,所以當(dāng)∕=2e時(shí)，Wo?)取得最小值為-4e?.

故答案為：-4e2.

【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)是根據(jù)函數(shù)解析式做出函數(shù)圖像，然后根據(jù)換元的思想，把雙變量問題轉(zhuǎn)化

為單變量問題，然后就可以輕松求解.

題型二：三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.(2023春?上海金山?高一上海市金山中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列說法正確是()

A.角60。和角600。是終邊相同的角

B.第三象限角的集合為{αE+2E≤α≤^+2Ekz}

C.終邊在>軸上角的集合為{α∣α=E+],Aez}

D.第二象限角大于第一象限角

【答案】C

【分析】根據(jù)終終邊相同角的表示，可以判斷A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)象限角的表示可以判斷B錯(cuò)

誤：舉特例可以判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】600o=360°+240°,與60。終邊不相，故A錯(cuò)誤；

第三象限角的集合為{aE+2E<α吟+2E,%ez},故B錯(cuò)誤：

終邊在y軸上角的集合為{α∣α=2∕zπ+p∏∈Z∣{α∣α=2nπ+y,∏∈Z∣,

即{ala-2∕jπ+?∣,n∈Z∣{αla=(2n+l)π+-∣,n∈Z∣,

即卜Iα=bt+1,kez},故C正確；

120。是第二象限角，390°第一象限角，120。<390。，

故D錯(cuò)誤；

故選：C.

2.(2023春?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))己知函數(shù)

f(x)=2sin"-總sin"+爸(0<3<l)的圖象關(guān)于點(diǎn)仁,0)對(duì)稱，將函數(shù)/(x)的圖象向左

平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(χ)的圖象，則g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()

3兀Ttr-1兀3?！赴税?

A.-F&B.[-π,π]C.-QFD.[θ,2π]

【答案】B

【分析】本題首先根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)得出/(x)=sin(2s?q),

再根據(jù)平移的左正右負(fù)的原則得到g(x)的解析式，最后得到g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】/(x)=2sin

=sin2ωx--

I6

函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)(g,oj對(duì)稱,

TTTL31/\

:.2ω×-------=kπ,kwZ,0=—&+—,Qtυ∈(0,l),&∈Z,

3624v7

?■?“=：，"力=SinQxf,

將函數(shù)向左平移W單位的解析式是g(x)=Singx,

Jr1Jr

令2kπ—≤—%≤2?π+—,Z∈Z,

222

4Aπ-π≤x≤4^π÷πΛ∈Z,結(jié)合所給的選項(xiàng)，令k=0,

則g(X)的一個(gè)增區(qū)間為卜兀,π],

故選：B.

二、填空題

3.(2023春?上海金山?高一上海市金山中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知一ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三

角形.如圖，將.A5C的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，AB在X軸上，然后將三角形沿著X順時(shí)針滾利，

每當(dāng)頂點(diǎn)A再次回落到X軸上時(shí)，將相鄰兩個(gè)A之間的距離稱為“一個(gè)周期”，給出以下四個(gè)

①一個(gè)周期是6；②完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡是一個(gè)半圓；③完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌

跡長(zhǎng)度是?；④完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡與X軸圍成的面積是與；其中說法正確的是

【答案】①③

【分析】根據(jù)題目分析出圖像的運(yùn)動(dòng)情況，畫出簡(jiǎn)圖，可以得到一個(gè)周期為6,可以判斷①正

確：根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡是兩段曲線，不是半圓，可以判斷②錯(cuò)誤；利

用弧長(zhǎng)公式可以判斷③正確；利用面積公式可以判斷④錯(cuò)誤.

【詳解】如下圖：

ABC沿著X軸順時(shí)針滾動(dòng)完成一個(gè)周期的過程如卜.：

第一步，ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段BC落到X軸上B1C1位置，

得到,此時(shí)頂點(diǎn)A的軌跡是以B為圓心，

IABI為半徑的一段圓弧，

即頂點(diǎn)A由原點(diǎn)。沿AA1運(yùn)動(dòng)至A位置；

第二步，AA1BC繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段CM落在X軸上C2A2位置，

得到AA與G,此時(shí)頂點(diǎn)A的軌跡是以C1為圓心，

IGAl為半行的一段圓弧，

即頂點(diǎn)A由A沿A4運(yùn)動(dòng)至A2位置，落到X軸，完成一個(gè)周期.

對(duì)于①，I明=∣4ClTG闋=2,

所以一個(gè)周期IA因=6,故①正確：

對(duì)于②，完成個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡是A41和44組成的曲線，

不是半圓，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由己知NABe=NAG4=],

.-.ZAlBA=ZAfClA2=—

Λjr

.?.AAI的抓長(zhǎng)ll=ΛAtBA-?BC?=y,

/17T-

A4的弧長(zhǎng)∕2=41G4?∣GA∣=^,

???完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡長(zhǎng)度為與+*箏

故③正確；

如圖④，完成一個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡與X軟圍成的圖形為扇形BAA

，扇形CMA2與448∣G的面積和，

2π

NABA=NAGA2=可，

.__12兀2_4兀

?.3?崩形β?一J?扇形GA&-'乂彳XZ一才，

■等邊邊長(zhǎng)為2,?,?S扇形=y∣3,

?.?完成個(gè)周期，頂點(diǎn)A的軌跡與九軸圍成的面積是：

故④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

4.（2023春?上海金山?高一上海市金山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知α是第二象限角，則/終

邊在第象限.

【答案】一或三

【分析】根據(jù)象限角的范圍即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意知］+2?π<α<7t+2E,AwZ,

貝IJ3+E<區(qū)<二+kπ,k∈Z,

422

TT/VTT

當(dāng)左=2〃,〃￡Z時(shí)，一+2及兀<—<一+2n‰n∈Z,

422

此時(shí)券終邊在第一象限，

當(dāng)k=2"+l,neZ時(shí)，—+2nπ<—<—+2nπ,n∈Z,

422

此時(shí)券終邊在第三象限.

所以，終邊在第一和三象限.

故答案為：一或三.

5.(2021秋?上海楊浦?高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))將函數(shù)y=J9+lOx—f一3(xW［0,⑼)的

圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，(0≤a≤α),得到曲線C.若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，，曲線C

都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則α的最大值為_(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).

3

【答案】arctan-

【分析】作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，確定當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角大于ZMO3

時(shí)，曲線C將不是一個(gè)函數(shù)的圖像,由此求得答案.

【詳解】先畫出函數(shù)y=歷H7-3(x∈［0,10］)的圖像,如圖：

/(X)=√9+10X-X2-3(X∈［0,10］)，

函數(shù)圖像是一個(gè)圓弧，圓心為例(5,-3),與X軸分別交于0(0,0),800,0),

設(shè)此時(shí)過原點(diǎn)和圓弧相切的直線為

由圖可知當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角大于ZMOB時(shí)，

此時(shí)/將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)越過淵，盛由將與旋轉(zhuǎn)后的圓弧有兩交點(diǎn)，

此時(shí)曲線C將不是一個(gè)函數(shù)的圖像，故α的最大值為NMO8,

因?yàn)镸(5,-3),故ZMOB=arctan不，

3

故答案為：arctan—

6.(2022春?上海浦東新?高一上海市川沙中學(xué)校考期中)定義在區(qū)間［T兀,4π］上的函數(shù)

丫=4討2劃與》=8$》的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【答案】16

【分析】畫出［0,4π］時(shí)的圖像，根據(jù)圖像結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到答案.

【詳解】由于sin∣2(-x)I=sinI2x∣,故y=sin∣2x∣為偶函數(shù),

因?yàn)閥=cosx也為偶函數(shù)，故考慮［0,4司的情況，畫出圖像，如圖所示：

共有8個(gè)交點(diǎn)，且X=O時(shí)，沒有交點(diǎn)，故共有16個(gè)交點(diǎn).

故答案為：16

7.(2022春?上海金山?高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))終邊在直線=X上

的角α的集合是______.(用弧度制表示)

【答案】{"∣"=(+%萬

【分析】把直線y=χ分成兩條射線，y=χ(χ≥θ),y=χ(χ≤θ)來考慮終邊落到這兩條射線上的

角的集合，然后取兩部分的并集.

【詳解】當(dāng)角α的終邊落到y(tǒng)=x(x≥0)匕

貝IJjα∣α=^+2kπ,k&Z^={i∣c=?^?+(2A)τ,kez}①

當(dāng)角ɑ的終邊落到y(tǒng)=χ(χ≤o)上，

貝IJ∣α∣α=^-+2kπ,k∈Z∣={α∣α=?+(2%+1)萬,左ez1②

①與②的并集得：?a?a=^+kπ,k&Z^

故答案為：∣α∣α=→?Λ?Λ∈zj-

8.(2022春?上海閔行?高一校考期末)將邊長(zhǎng)為20的正三角形ABC,按“斜二測(cè)”畫法在

水平放置的平面上畫出為A'B,C,則Ae=.

【分析】先在直角坐標(biāo)系中得出各邊的數(shù)值，再按“斜二測(cè)”畫法作圖，得出相關(guān)關(guān)系，再利

用余弦定理，求出邊Ae

【詳解】解：由題意

在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC是邊長(zhǎng)為20的正三角形

ΛAB=BC=20,BC邊上的高為〃=lθ6,

按“斜二測(cè)”畫法如下圖所示：

B,[YC

‘B'D'=C'D'=-BC=?0,Az)'=L∕z=Lχlθ6=56,

222

在三角形A'C'Q'中，ZXDlC=45°,

由余弦定理得，___________________________

A'C=>∕A'D'1+C'D'2-2A'D'C'D'COSZA'D'C'=Jg埒+102-2×5^×10×cos45o=5(√6-1)

故答案為：5（√6-l）.

題型三：平面向量

1.（2020?上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，正方形45CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E、尸分別在

邊A。、BC±,KDE=2AE,CF=IBF,如果對(duì)于常數(shù)2,在正方形ABa）的四條邊上，有

且只有6個(gè)不同的點(diǎn)尸使得P6PF=zl成立，那么4的取值范圍是（）

B.(4,7)

C.（0,4）D.(-5,16)

【答案】C

PF+PF=2PCII__________

【解析】由題畫出圖形，設(shè)EF的中點(diǎn)為O,則PE.招二反，可解得附卜師，討論點(diǎn)。

在每一條邊上時(shí),WOl的取值范圍，進(jìn)而求解即可得選項(xiàng).

【詳解】如圖所示,

設(shè)E廠的中點(diǎn)為0,則L遁,兩式平方相減得4PE∕F=4P0LEL,所以

PE-PF=FE

PE-PF=PO1-^=λ即PO2=2+9,所以|叫=返+9,

①當(dāng)點(diǎn)悔〃。上時(shí)，

當(dāng)g?a的中點(diǎn)處時(shí)，卜OI=J∑石=4,止匕時(shí)2=7,

當(dāng)改式的中點(diǎn)兩側(cè)（非端點(diǎn)力、〃）時(shí)，4<∣PC>∣=√ΣT9<5,此時(shí)7<∕l<16,

②當(dāng)點(diǎn)儺/8上時(shí)，

當(dāng)?shù)牧由字悬c(diǎn)處時(shí)，卜O∣=√τ了=2,此時(shí)/1=-5,

當(dāng)施4施勺中點(diǎn)兩側(cè)（非端點(diǎn)力、而時(shí)，2<∣PO∣=√Λ+9<√13,此時(shí)一5<2<4,

③當(dāng)點(diǎn)恥49上時(shí)，

當(dāng)喀點(diǎn)故b時(shí)，IPOI=JTiW=3,此時(shí)/=0,

當(dāng)3<po∣=√ΣT^<如,此時(shí)0<九<4,點(diǎn)M2個(gè)滿足3<po∣=√Σ7^<√F5的點(diǎn)；

當(dāng)jm<pθ∣=√∑而<5,此時(shí)4<∕l<16,點(diǎn)/，有1個(gè)滿足JBqPOl=√τ^<5的點(diǎn);

④當(dāng)點(diǎn)∕?8C上時(shí)，

當(dāng)唯點(diǎn)，處時(shí)，∣P0I=Ja石=3,此時(shí)4=0,

當(dāng)3<po∣=JΣ76<√iI,此時(shí)o<∕i<4,點(diǎn)麗2個(gè)滿足3<∣po∣="^<√il的點(diǎn)；

當(dāng)舊<∣PO∣=√ΣT^<5,此時(shí)4<∕l<16,點(diǎn)瓶1個(gè)滿足√i^<po∣=√Γ^<5的點(diǎn)；

⑤當(dāng)∕?點(diǎn)?1處時(shí)，P4=J∑而=Jii,此時(shí);I=4,當(dāng)陷點(diǎn)放LH寸，|尸。|="^=而，此時(shí)

Λ=4,

當(dāng)∕?點(diǎn)C處時(shí)，卜OI=√∑^=5,此時(shí);1=16,當(dāng)∕?點(diǎn)〃處時(shí)，∣P0∣=√∑工？=5,此時(shí)2=16,

綜上得：當(dāng)2=-5時(shí)，有1個(gè)滿足條件的點(diǎn)。；

當(dāng)-5<4<0時(shí)，有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)只

當(dāng)2=0時(shí)，有4個(gè)滿足條件的點(diǎn)只

當(dāng)0<4<4時(shí)，有6個(gè)滿足條件的點(diǎn)?；

當(dāng)九=4時(shí)，有4個(gè)滿足條件的點(diǎn)只

當(dāng)4<∕l<7時(shí)，有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)只

當(dāng)2=7時(shí)，有3個(gè)滿足條件的點(diǎn)R

當(dāng)7<∕l<16時(shí)?，有4個(gè)滿足條件的點(diǎn)片

當(dāng)X=16時(shí)，有2個(gè)滿足條件的點(diǎn)只

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

2.（2021?上海市延安中學(xué)高三期中）如圖，C為.ABC外接圓P上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若

OA=1,08=后,NAOB=150,則OAoC的最大值為.

【答案】√7+^

2

【解析】先求出外接圓半徑/?=近，設(shè)。A?0C=∣0A∣4=d,其中d是Oe在。4上的投影，再利

用數(shù)形結(jié)合分析得解.

［詳解］由余弦定理得I43hJc?2+_20AOBCoS150=√7.

由正弦定理得外接圓半徑R=4?Y?Γ=√7,

2s?n150

所以。4?0C=IoAId=d,其中d是OC在上的投影,

過點(diǎn)尸作PC//QI交圓于點(diǎn)C,如圖所示，

則da=f0*+R=g+",

所以。A?OC的最大值為：+".

故答案為："+?

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是由題得QA?OC=∣OA∣d=d,其中"是。。在OA上的投

影，再利用數(shù)形結(jié)合分析得解.

3.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知問=3,MHel=4,若￠=則卜一心4的

最大值為一

【答案】9

【解析】由數(shù)量積公式證明“?Lc,取涉=CB,c?=OC,借助圖形進(jìn)行分析，即可得出答

案.

【詳解】入+-（￡/小9-靛@山|州“4=9-9=。

:.a-Lc

如下圖所示

:.\a-b-c\=\CA-CB\=\BA\

則IBAI的最大值即為I〃-6-CI的最大值

當(dāng)ACB三點(diǎn)共線時(shí)，如下圖所示，此時(shí)IBXl取最大值IACI+1BCl=J4?+32+4=9

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求向量模長(zhǎng)的取值范圍，涉及了數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知∣OA∣=∣OB∣=1,若存在R,使得nMB+θ4與

“AB+08夾角為60,且K”[AB+OA）-（"43+O8j=g,則網(wǎng)的最小值為.

【答案】叵

2

【分析】設(shè)α=OA'=mAB+OA,O=O8'=〃AB+O8可得AA',B,B'共線，又Ia一切=IBWl=g,

當(dāng)I詼I=；為最小時(shí)I窈I最小，而此時(shí)A、8,關(guān)于鼎對(duì)稱，結(jié)合已知即可求的最小值.

【詳解】由題意，AB=OB-OA,

.?^a=OA'=mAB+OA=(?-m)OA+mOB,h=OB'=nAB+OB=(?+n)OB-∏OA,故有

網(wǎng)最小,

此時(shí)。到用的距離為后野?邛,

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用向量的線性關(guān)系及共線性質(zhì)，可知α=Ql'=機(jī)AS+。4,

h=OB'=nAB+OB>OA、OB的終點(diǎn)共線，目「"-"l=∣8'AI=；可分析得A、3,關(guān)于苗由對(duì)稱

時(shí)，,B∣最小，進(jìn)而求最小值即可.

題型四：數(shù)列

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿足：?>0,且。：=2匕「”向(〃eN)下

列說法正確的是()

A.若q=?∣,貝∣J”,,>α<1+∣B.若則《>1

20

C.ol+?≤3D.?an+2-an+t?≤^?an+t-an\

【答案】D

【分析】化簡(jiǎn)已知遞推關(guān)系式可得至1(4-1)(4出-1)>0，由此分別判斷A,8選項(xiàng)，可知A8錯(cuò)

誤；_____

設(shè)，則%=癡。，*=L+-+8'采用數(shù)形結(jié)合的方式知｛4-。同｝越來越小，C

4

借誤：假設(shè)。成立，通過化簡(jiǎn)不等式可知不等式恒成立，知。正確.

【詳解】=2a,tl-?+1,Aa；,-I=2a；tl-an+l-1,/.(a,l-l)(aπ+1)=(a,,+l-l)(2απ+l+1),

又α,,>0,.?.%+1>0,2a,,+1+1>O,/.(0,,-1)(?+l-1)>O

對(duì)于A,若α∣=g,則4,-l=-g<0,a,l+l-1<O,

???-?÷∣=?"+i-?+l=?+ι(?÷ι-1)<O.a?<an+l,A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若q,<4+∣,則。；一。3=4M(4M-I)<O,

???-l<0,βpan<?,al<l,8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)α,H=x,則4=√2χ2-χ,

考慮函數(shù)丫=亞彳彳與y=χ的圖象，如下圖所示：

當(dāng)q>0時(shí),｛。“｝單調(diào)遞減,且｛《「《向｝越來越小，-4>4-。5,

.?.ai+a5>2ai,C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于￡>,設(shè)?+∣=X,則an=?j2x—X,〃"+2=，+.：-，

2χ2-x

若|4,2一?+.∣≤?∣?÷∣-?∣'則一J≤#IX-√∣，

等價(jià)于1+8xJ2ri-X≤Jl+8Y.(4x-1),BP2?∣2x2-x≤3x-1>即χZ-2x+l≥0,

而幺-2x+l=(X-I)2≥0顯然成立，；.寓+2-α,,∣，。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得

到數(shù)列前后項(xiàng)所滿足的關(guān)系，同時(shí)借用函數(shù)的思想將數(shù)列前后項(xiàng)的大小關(guān)系變化利用函數(shù)圖象

來進(jìn)行表現(xiàn)，屬于難題.

2.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S"，q=3,S?=^a,,+1+l(we∕V*).

已知K,K是雙曲線C：[-丁=]的左右焦點(diǎn)，Eb若t≥月國(guó)一火閭對(duì)

〃wN*恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是_____.

【答案】t≥4

【分析】根據(jù)題意，求得出=4,類比5“=支M+l("eM)寫出〃≥2,

S,ι==",+l("eN"),兩式作差，整理得出&r=%=g=2,得到q,=]：'〃二進(jìn)而求

2`7n+?n2[2n,n≥2

得S,,=['"=：、.，點(diǎn)卻〃,號(hào)二]32)可化為4〃,以落在雙曲線的漸近線>=[上，

[m5+l)+l,“≥2I%+2Jk2；2

結(jié)合雙曲線的定義以及漸近線的性質(zhì)，得到結(jié)果.

【詳解】M=I,?!=??2+?>'.'q=3,...02=4,

"≥2,Sz=Fq+H"WN)

作差得，an=an+l-怨all(n≥2)

=41L="(^2)=%=&=2,

/2+1nn2

.a=J，〃=1S=F,"∣

??"?2n,n≥2,"[n(n+l)+l,n≥2,

^(-√5,θ),∕ζ(√5,θ),n=?,6卜，|)，山耳HqgIBL96,“≥2,

設(shè)線段E,K與雙曲線交于點(diǎn)G,Ie耳ITE閭=IE閭一(以G∣+∣G居∣)<∣G周TG瑪∣=2α=4,

p,?〃,屋WI得坐標(biāo)可化為P,,[〃()，

I?+2j?2√

Y?Y

落在雙曲線C：二-丁=1的漸近線y=[上，

4.2

"i"→8時(shí)，K卜，3可近似看成第一象限雙曲線上的點(diǎn)，區(qū)耳H6閭→2ɑ=4,

.,.t≥4.

故答案為：t≥4.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列與雙曲線的綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的

通項(xiàng)以及前〃項(xiàng)和，雙曲線的性質(zhì)，極限思想，屬于較難題目.

3.(2020?上海?高三專題練習(xí))如圖所示，設(shè)正三角形(邊長(zhǎng)為a1,M是T,的中點(diǎn)三角形，

4為1除去乙后剩下三個(gè)三角形內(nèi)切圓面積之和，求則(4+4++4).

【分析】由題意和圖形，表示4=3.李=?,并求得爭(zhēng)=；,說明數(shù)列｛4｝是公比

\62744"4

為9的等比數(shù)列，并求首項(xiàng)4,最后代入公式求極限.

4

【詳解】解由于邊長(zhǎng)為。的正三角形的內(nèi)切圓半徑為r=立a.

6

于是Ai伶「爺,

4+i憐品］=猊n今LT

又因?yàn)锳=3"［2^?W］二吟,所以數(shù)列｛4｝是一個(gè)公比為;的無窮等比數(shù)列，

(62J164

故Iim(A+4++A,)=Iim"I4」=_1^_=.

f`1〃，…1112

1---1---

44

【點(diǎn)睛】本題考查無窮等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題，抽象概括能力，屬

于中檔題型，本題的關(guān)鍵是讀懂題意，并結(jié)合圖形分析出每個(gè)內(nèi)切圓和對(duì)應(yīng)三角形邊長(zhǎng)的關(guān)

系.

題型五：不等式

x≥l

1.(2022?上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)變量X,y滿足約束條件,χ-y+2≤0,則

x+y-7≤0

z=-2x+y的取值范圍為_____

【答案】一；，4

【分析】作出可行域，根據(jù)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求最值即可得解.

【詳解】作可行域如圖，

聯(lián)立[X=\解得4L6),聯(lián)立上一叱[解得喉V，

[x+y-7=0[x+y-7=0\22)

由Z=-2x+y可得y=2x+z,

由圖形及Z為y上的截距可知，當(dāng)z=-2x+y過相寸，Znm=-2xl+6=4,

5Q1

-2+-,

當(dāng)z=-2x+y過的，zmin=×22≡2

所以-g≤z44,

故答案為：-1，4

2.(2022?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí))已知平面上兩個(gè)點(diǎn)集

M={(x,y)∣∣x+y+l∣+∣x+y-l∣>2,xeR,yeR},N=∣(x,y)∣∣x-α∣+∣y-l∣≤l,x∈Λ,^∈Λ∣,若

MCN=0,則實(shí)數(shù)。的取值集合是

【答案】{T}

（分析】結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可知M表示到直線X+y+l=O與x+y-l=O的距離之和大于

近的所有點(diǎn)的集合，又兩平行線間距離為正，可得可行域；N是以（α,l）為中心，血為邊長(zhǎng)

的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)集，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定。的取值.

【詳解】由∣χ+y+ι∣+∣χ+y-]>2得：、％~-+'λL~^->42,

則M表示到直線χ+y+ι=0與χ+y-ι=0的距離之和大于√Σ的所有點(diǎn)的集合；

直線χ+y+ι=0與x+y-l=O之間的距離d=0,

則集合M=Gy）:

71[x+γ+l<0

則其表示區(qū)域如陰影部分所示（不包含χ+y+l=O與χ+y-l=O上的點(diǎn)）；

集合N是以（〃』）為中心，立為邊長(zhǎng)的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)集，

若MCN=0,則M,N位置關(guān)系需如圖所示，

由圖形可知：當(dāng)且僅當(dāng)a=—1時(shí)?，MCN=0,

實(shí)數(shù)a的取值集合為{7}?

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查集合與不等式的綜合應(yīng)用問題，解題基本思路是能夠確定集合所

表示的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域圖形，進(jìn)而采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行分析求解.

題型六:空間向量與立體幾何

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知N8AC=NB∣AG,AB//A1B1,則AC與AG的位置關(guān)系

是.

【答案】平行或異面或相交或重合

【分析】利用長(zhǎng)方體，結(jié)合題設(shè)條件在不同的頂點(diǎn)標(biāo)上即可判斷AC與AC的

位置關(guān)系.

【詳解】由題設(shè)可得如下四種情況：

.?.AC與AG的位置關(guān)系是平行、異面、相交、重合都有可能.

故答案為：平行或異面或相交或重合

題型七：解析幾何

2

丫2v

1.(2022?上海?高三開學(xué)考試)已知雙曲線4=1的左，右焦點(diǎn)分別為6，F(xiàn)2,過右

ab"

焦點(diǎn)在2的直線/交該雙曲線的右支于M，N兩點(diǎn)(M點(diǎn)位于第一象限)，的內(nèi)切圓半

徑為&,4NK名的內(nèi)切圓半徑為&,且滿足《=3,則直線/的斜率__________.

A2

【答案】√3

【分析】設(shè)M4=MC=m,AFl=BFl=n,BF2=CF2=t,利用雙曲線的定義可得"=α+c,作

出圖形，結(jié)合圖形分析，可知/。2。Q與直線/的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，

求出tanNQOQ,即可得到直線的斜率

【詳解】解:設(shè)耳人的內(nèi)切圓為圓。I,與三邊的切點(diǎn)分別為AB,C,如圖所示，設(shè)

MA=MC=m,AF^BFx=n,BF2=CF2=I,設(shè)?的內(nèi)切圓為圓。?，

[(m+n)-(m+t)=2a,

由雙曲線的定義可得。,得〃=α+c,

由引可知，在中，。田，》軸于點(diǎn)8,同理可得。*_LX軸于點(diǎn)8,

所以O(shè)?_Lx軸，

過圓心。2作Ca的垂線，垂足為。，

o

因?yàn)閆O2O1D+ZBF2C=180,ZBF2C+ACF1x=180°,

所以N。?。。與直線/的傾斜角相等，

因?yàn)?=3,不妨設(shè)4=3,a=1,

則O∣Q=3+1=4,QQ=3-1=2,

22

在Rf中，O2D=√4-2=2√3，

所以tan/O2q。=第=￥=6

所以直線/的斜率為5

故答案為：√3

【點(diǎn)睛】此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線的斜率與

傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將直線的傾斜角轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解，考查數(shù)形結(jié)合

的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題

2.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知集合A={(x,y)∣(x+y)2+x+y-2≤θ},

β={(x^)IU-2α)2+(y-a-l)2≤a2-y},若Ac3*0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】[-也號(hào),0]

【分析】化簡(jiǎn)集合A={(x,y)∣-2融+y1},其表示兩平行線線上及其中間部分的點(diǎn)(如陰影部分所

示)，集合8表示以M(20,α+1)為圓心，亞二弓為半徑的圓及其圓內(nèi)的點(diǎn),而A∩Bx0,即表示該圓

與陰影部分有交點(diǎn)，因此，即可利用直線與圓的位置關(guān)系來解決此題.

【詳解】集合A={*,y)l(χ+y)2+χ+y-2,0},

.?.集合A={(%y)∣—2領(lǐng)k+y1},

所以其表示兩平行線x+y=Tx+y=l線上及其中間部分的點(diǎn)，如下圖陰影部分所示，

6=](χ,y)I(χ-2∏)2+(y-Q-1)1,a2~,

其中(0一2。)2+(y-。-1)2=/一_|,由一_|0,解得a..g或4,0,

在此條件下,其表示以M(2a,a+D為圓心，為半徑的圓及其圓內(nèi)的點(diǎn),

其圓心在直線x-2y+2=0上，

依題意4BK0,即表示該圓與陰影部分相切或者相交,

即∣2α+%l-%小冶

解得：ae0;

②-2≤?！躉時(shí)，圓M與陰影部分恒有交點(diǎn),滿足題意;

③。＜-2時(shí)，圓〃應(yīng)與直線x+y+2=0有交點(diǎn),

即∣2α+[l+2∣,,Ja冶

解得一生奢。＜_2；

14

綜上所述:實(shí)數(shù)〃的取值范圍為[」9+嚴(yán)⑼.

14

故答案為：I-器警⑼.

14

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,結(jié)合了集合,不等式等相關(guān)知識(shí),有一定難度.解題關(guān)

鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為幾何問題.

3.(2020?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí))存在實(shí)數(shù)“∈R使得

2^cosa+??+sin2a-JCoS?α+°in&一g)≥m,則實(shí)數(shù)用的取值范圍為

［答案］'S,乎］

【分析】首先利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)已知，轉(zhuǎn)化為

/(α)=7(cosa+2)2+sin2α-^cos2α+^sinɑ-??,利用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造幾何意義，求距

離差的最大值，再根據(jù)存在問題求加的取值范圍.________________

【詳解】2J(c0sα+g)+sin2α-、cos?a+(sina-；)=√5+4cosa-??eos2α+^sina-^

=J(CoSα+2)+sin%-Jcos,a+卜inor-g)，

設(shè)P(COSa,sino),β(-2,0),sfθ,?j,

1=IPQI-附，

貝!j/(")=J(CoSa+2『+sin%-'cos2a+sina-

IPaT陽≤∣QB∣,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn),3三點(diǎn)共線且點(diǎn)B在尸,。之間時(shí)等號(hào)成立,

又|。BI=J(O+2),(-0，故f(a)的最大值為呼,

2

Sina-L)≥m

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)αeR使得2.CoSa+一+sin2a-COS2Of+

22

2

+sin2a-Jcos2α+fsinɑ-?

所以相≤2.cosa+—

2

/max

Hrl7∏

即m≤--

2

故答案為：-8,

【點(diǎn)睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，重點(diǎn)考查構(gòu)造函數(shù)的幾何意義求最值，數(shù)形結(jié)

合思想，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化幾何意義求最值.

4.(2019?上海?華師大二附中高三期中)已知力、B為橢圓二+W?=1(4＞匕＞0)和雙曲線

ab

22

2=1的公共頂點(diǎn)，P、0分別為雙曲線和橢圓上不同于力、相勺動(dòng)點(diǎn)，且

ab"

AP+BP=λ(AQ+BQ)(Λ∈∕?,∣2∣＞1),設(shè)4只BP、AQ,闈的斜率分別為K、&、勺、&.

(1)若4=2,求IOPf的值(用a、6的代數(shù)式表示)；

(2)求證：』+&+%+:=0;

（3）設(shè)《、尸2分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)，若EPF1Q,求片+后+后+及的值.

【答案】3）二產(chǎn)；（2）證明見解析：（3）8.

【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得OP=20。，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,QgXTy），將兩點(diǎn)分

Sa

別代入雙曲線方程和橢圓方程并求解可得/=1/,y2=^b2,從而可求|OP『；

（2）設(shè)點(diǎn)戶，面坐標(biāo)分別為（怎,%）