2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 6-3 等比數(shù)列 學案

第三節(jié)等比數(shù)列

【課標標準】1.理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義2掌握等比數(shù)列的前n項和公

式，理解等比數(shù)列的通項公式與前〃項和公式的關系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列

的等比關系，并解決相應的問題4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.等比數(shù)列的有關概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的都等于

,那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,通常用字母〃

表示(顯然gWO)?數(shù)學表達式為(〃22,q為非零常數(shù)).

(2)等比中項

如果在α和6中間插入一個數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做”與人的等比

中項，此時G2=.

2.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式

(1)通項公式：an=.

（2）前"項和公式：s“=1—'q=i'

I_____=______,q≠1.

3.等比數(shù)列的性質

(1)通項公式的推廣公式：③=","4'F(",%∈N*).

(2)若%+/=機+〃(憶，I,m,n∈N*),則以包=.

(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak,ak+m,或+2”，…仍是等比數(shù)列，

公比為.

(4)當qW—1或4=-1且k為奇數(shù)時，Sk,Szk—Sk,S3*-$2?，…是等比數(shù)列，其公比

為qk.

(5)當〃為偶數(shù)時，SK：S告=q.

［常用結論］

(1)若等比數(shù)列｛atl｝的前“項和S"=A?∕+B,則A,3滿足的關系式為A+8=0.

(2)三個數(shù)成等比數(shù)列可設三個數(shù)分別為3b,bch四個數(shù)成等比數(shù)列且公比大于0時，

可設四個數(shù)分別席，旨bq,研

⑶若卜ql°i'

?<ι時,則等比數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列;

若1或卜q：°i'時，則等比數(shù)列｛如｝是遞減數(shù)列?

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)等比數(shù)列公比g是一個常數(shù)，它可以是任意實數(shù).()

(2)三個數(shù)α,b,C成等比數(shù)列的充要條件是b2="c.()

(3)數(shù)列｛斯｝的通項公式是％=α",則其前〃項和為S,=*2()

(4)數(shù)列｛aj為等比數(shù)列，則S4,S8-S4,Sm-S8成等比數(shù)列.()

2.(教材改編)等比數(shù)列｛a11｝的各項都是正數(shù)，若α∣=81,痣=16,則它的前5項的和是

()

A.179B.211

C.243D.275

3.(教材改編)若數(shù)列｛a11｝為等差數(shù)列，則數(shù)歹U｛2an｝為數(shù)列；若數(shù)列｛a11｝為等比

數(shù)列，且?！?gt;0,則數(shù)列｛lga11｝為數(shù)列.

4.(易錯)等比數(shù)列｛a｝中，0=；，q=2,則如與制的等比中項是()

11O

A.±4B.4

5.(易錯)已知等比數(shù)列｛如｝共有2n項，其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大

80,則公比q=.

關鍵能力題型突破

題型一等比數(shù)列基本量的運算

例1(l)∣2023?安徽馬鞍山模擬］等比數(shù)列｛arι｝中，己知α∣+α4=9,4?+α5=l8,則S5=

()

A.31B.32

C.63D.127

(2)［2023?湖北黃岡模擬］已知等比數(shù)列｛a11｝的前n項和為Sn,若S3=4,56=12,則S12

=()

A.32B.28

C.48D.60

(3)［2023?河南開封模擬］在等比數(shù)列｛aj中，S,為其前”項和，若心=3,$3=9,則｛a11｝的

公比為.

［聽課記錄］............................................................................

題后師說

等比數(shù)列基本運算的求解策略

鞏固訓練1

(1)等比數(shù)列｛aj的前"項和為S,”若42=3,S3=13,則俏=()

A.1或9B.I

C.9D.3

∣

(2)［2023?浙江杭州期末］已知正項等比數(shù)列｛a11｝前〃項和為S”且α+α3=6,S4+α2=S3

+3,則等比數(shù)列的公比為()

A.-B.2C.-D.3

23

(3)已知｛atl｝是等比數(shù)列，S,為其前"項和，若G是ai、S2的等差中項，54=15,則4∣

題型二等比數(shù)列的判定與證明

例2［2023?山東淄博期末］已知數(shù)列｛aj的前〃項和為S,Sn=2al~2,n∈N*.

(1)證明：｛a11｝為等比數(shù)列，并寫出它的通項公式；

(2)若正整數(shù)m滿足不等式‰≤5OO,求m的最大值.

［聽課記錄］

題后師說

一

等

比

就

列

的

朝

斷

方

法

_

2

訓練

鞏固

q>0.

公比

13,且

,53=

44=9S

已知

和，

〃項

｝的前

列｛a

等比數(shù)

S“為

11

ni

?！奔癝

⑴求

請

在，

不存

；若

的值

求力

在，

若存

列？

比數(shù)

｝是等

+X

列｛Sn

使得數(shù)

數(shù)2,

在常

否存

(2)是

.

理由

說明

的性質

比數(shù)列

三等

題型

質

的性

列項

比數(shù)

一等

角度

+?7

則?4

9,

648=

+。

546

24

5+

，434

｛a｝中

比數(shù)列

正項等

擬］在

順德模

?廣東

［2023

(l)

例3

11

()

=

B.2

A.1

D.4

C.3

2

根，

的兩

l=0

4x+

程%+

是方

⑶、的

列，且

比數(shù)

｝為等

列｛a

］若數(shù)

模擬

九江

江西

023?

(2)［2

tl

)

(

則43=

B.1

2

A.-

1

D.+

-1

C.

lga

α∣+

則Ig

=8,

。445期

已知

｝中，

列｛a

等比數(shù)

正項

模擬］在

莊二中

北石家

23?河

(3)［20

2

tl

=.

l9

+lgC

+…

記錄］

［聽課

題后師說

(1)在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若機

+n=p+q,則％rall=aPq",可以減少運算量，提高解題速度.

(2)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此

外，解題時注意設而不求思想的運用.

鞏固訓練3

(l)［2023?山東日照期末］等比數(shù)列｛aιq｝中，a1a2a3=S,a5=lβ,則公比為()

A.-2B.2

C.-4D.4

(2)已知等比數(shù)列｛a11｝,滿足log2Λ2+log2α∣ι=b且。5陽8a9=16,則數(shù)列｛atl｝的公比為

)

A.2B.4

C.±2D.±4

⑶［2023?安徽滁州期末］在等比數(shù)列｛a11｝中，42+α4=1，的+〃5=3,則的+幻=.

角度二等比數(shù)列前"項和的性質

例4等比數(shù)列｛a11｝的前“項和為S”公比為q,若α∣+α2+α3=2,S6=9S3,則S9-()

A.50B.100

C.146D.128

［聽課記錄］............................................................................

題后師說

在等比數(shù)列中，當前〃項和的下標成等差數(shù)列時，往往借助ShSik-Sk,SaLSM,…

成等比數(shù)列這一性質求解，減少了運算量，提高了解題速度.

鞏固訓練4

f2023?江西南昌模擬］已知等比數(shù)列｛a11｝的前n項和為Sn,若S4=3,§8=9,則S16=

真題展臺

l.［2022?全國乙卷］已知等比數(shù)列｛%｝的前3項和為168,痣一的=42,則a=()

A.14B.12

C.6D.3

2.[2021?全國甲卷]等比數(shù)列｛斯｝的公比為“，前〃項和為S”.設甲：q>0,乙：⑸｝是

遞增數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.[2022?北京卷]已知數(shù)列｛a11｝的各項均為正數(shù)，其前〃項和S,滿足斯?S,=9("=1,

2,,,,).給出下列四個結論：

①｛a11｝的第2項小于3；

②｛a11｝為等比數(shù)列；

③｛aQ為遞減數(shù)列；

④｛a∏｝中存在小于京的項?

其中所有正確結論的序號是.

4.[2020?新高考II卷]已知公比大于1的等比數(shù)列｛a11｝滿足s+α4=20,侑=8.

(1)求｛aQ的通項公式;

π1

(2)求――T----1-(—l)^^0nan+1.

第三節(jié)等比數(shù)列

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.⑴比同一個常數(shù)公比E?=qQ)ab

an-ι

2.(l)α,<>(2)na1*"

1—q1—q

3.(2)‰?‰(3)√n

夯實雙基

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)×

2.解析：設公比為g,

因為0=81,“5=16,所以/=上=苔=(I),,且q>o,

??oi\3/

.?.q=2,.?.S5=^^=^≠=21L故選B.

31-q1-j

答案：B

3.解析：若數(shù)差｛a11｝為等差數(shù)列，設其公差為d,則嘿=2an+∣-an=2d,.?.｛2an｝為等

比數(shù)列;若數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，設其公比為夕，則Ig詼+|-Igm=Ig皿=Ig4，

11an

.?.｛lga11｝為等差數(shù)列.

答案：等比等差

4.解析：設處與痣的等比中項是x?由等比數(shù)列｛a11｝的性質可得展=w?,所以x=±%?

所以〃4與恁的等比中項x=±a6=±^X25=±4.故選A.

8

答案：A

S奇+S偶——240,

5.解析：由題意，得〈

S奇一S偶=80,

S奇=-80

解得

S偶=-1