第3章 復(fù)變函數(shù)的積分

第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義二、積分存在的條件及其計(jì)算法三、積分的性質(zhì)四、小結(jié)與思考3一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,4簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:

在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.52.積分的定義:6(7關(guān)于定義的說明:8二、積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在的條件證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,910根據(jù)線積分的存在定理,11當(dāng)n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時(shí),12在形式上可以看成是公式132.積分的計(jì)算法14在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.15例1解直線方程為16這兩個(gè)積分都與路線C無關(guān)17例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x18(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x19y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為20例3解積分路徑的參數(shù)方程為21例4解積分路徑的參數(shù)方程為22重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).23三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式24性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]25例5解根據(jù)估值不等式知2627四、小結(jié)與思考

本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.28思考題29思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.第二節(jié)柯西－古薩基本定理一、問題的提出二、基本定理三、典型例題四、小結(jié)與思考31一、問題的提出觀察上節(jié)例1,此時(shí)積分與路線無關(guān).觀察上節(jié)例4,32觀察上節(jié)例5,由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.33二、基本定理柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.34關(guān)于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.35三、典型例題例1解根據(jù)柯西－古薩定理,有36例2證由柯西－古薩定理,37由柯西－古薩定理,由上節(jié)例4可知,38例3解根據(jù)柯西－古薩定理得3940四、小結(jié)與思考通過本課學(xué)習(xí),重點(diǎn)掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.41思考題應(yīng)用柯西–古薩定理應(yīng)注意什么?42思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.第三節(jié)基本定理的推廣一、問題的提出二、復(fù)合閉路定理三、典型例題復(fù)合閉路定理四、小結(jié)與思考44一、問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.45二、復(fù)合閉路定理1.閉路變形原理︵︵46︵︵︵︵︵︵︵︵47得︵︵︵︵48解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).492.復(fù)合閉路定理那末5051三、典型例題例1解依題意知,52根據(jù)復(fù)合閉路定理,53例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,54例3解55由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因?yàn)椴槐厥菆A,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.56例4解由上例可知57四、小結(jié)與思考本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:58思考題復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用?要注意什么問題?59思考題答案利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時(shí),要注意曲線的方向.第四節(jié)原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結(jié)與思考61一、主要定理和定義定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁圖)1.兩個(gè)主要定理:6263定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.64由于積分與路線無關(guān),6566由積分的估值性質(zhì),67此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]682.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證69那末它就有無窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]703.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)71證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.72二、典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,73例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)74例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,75例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”76例4解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案77例5解78例6解所以積分與路線無關(guān),根據(jù)?！R公式:79三、小結(jié)與思考本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與《高等數(shù)學(xué)》中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合,更好的理解本課內(nèi)容.80思考題解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓–萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓–萊布尼茲公式有何異同?81思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類似的.兩者對函數(shù)的要求差異很大.第五節(jié)柯西積分公式一、問題的提出二、柯西積分公式三、典型例題四、小結(jié)與思考83一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,求這個(gè)值.8485二、柯西積分公式定理證8687上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關(guān),所以只有在對所有的R積分值為零時(shí)才有可能.[證畢]柯西積分公式88關(guān)于柯西積分公式的說明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.89三、典型例題例1解90由柯西積分公式91例2解由柯西積分公式92例3解由柯西積分公式93例４解根據(jù)柯西積分公式知,94例5解95例5解96由閉路復(fù)合定理,得例5解97例6解根據(jù)柯西積分公式知,98比較兩式得99課堂練習(xí)答案100四、小結(jié)與思考柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式,它的證明基于柯西–古薩基本定理,它的重要性在于:一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.柯西積分公式:101思考題柯西積分公式是對有界區(qū)域而言的,能否推廣到無界區(qū)域中?102思考題答案可以.其中積分方向應(yīng)是順時(shí)針方向.第六節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、問題的提出二、主要定理三、典型例題四、小結(jié)與思考104一、問題的提出問題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?105二、主要定理定理證106根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得107108109再利用以上方法求極限110至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.111三、典型例題例1解112113根據(jù)復(fù)合閉路定理114115例2解116117例3解由柯西－古薩基本定理得由柯西積分公式得118119課堂練習(xí)答案120例4解121根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,122123例5(Morera定理)證依題意可知124參照本章第四節(jié)定理二,可證明因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),125例6證不等式即證.126四、小結(jié)與思考高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時(shí)表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式127思考題解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?128思考題答案這一點(diǎn)與實(shí)變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.放映結(jié)束，按Esc退出.第七節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)的定義二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系三、小結(jié)與思考130一、調(diào)和函數(shù)的定義定義

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實(shí)際問題中有很重要的應(yīng)用.拉普拉斯131二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.兩者的關(guān)系定理

任何在區(qū)域

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證132根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理,[證畢]1332.共軛調(diào)和函數(shù)的定義

區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).1343.偏積分法

如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi.這種方法稱為偏積分法.解例1135136得一個(gè)解析函數(shù)這個(gè)函數(shù)可以化為答案課堂練習(xí)137例2解138139所求解析函數(shù)為1404.不定積分法不定積分法的實(shí)施過程:141將上兩式積分,得142例3解根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得143所求解析函數(shù)為144用不定積分法求解例1中的解析函數(shù)例4解145例5解用不定積分法求解例2中的解析函數(shù)146147例6解兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)所以上面兩式分別相加減可得148149三、小結(jié)與思考

本節(jié)我們學(xué)習(xí)了調(diào)和函數(shù)的概念、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以及共軛調(diào)和函數(shù)的概念.應(yīng)注意的是:1.任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v所構(gòu)成的函數(shù)u+iv不一定是解析函數(shù).2.滿足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v稱為u的共軛調(diào)和函數(shù),u與v注意的是地位不能顛倒.放映結(jié)束，按Esc退出.150拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5March1827inParis,France152

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.復(fù)積分的基本定理；2.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式

復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算153

二、內(nèi)容提要有向曲線復(fù)積分積分存在的條件及計(jì)算積分的性質(zhì)柯西積分定理原函數(shù)的定義復(fù)合閉路定理柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)154

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那末我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,1.有向曲線1552.積分的定義156(1573.積分存在的條件及計(jì)算（1）化成線積分（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分1584.積分的性質(zhì)1595.柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)160由定理得1616.原函數(shù)的定義(牛頓-萊布尼茲公式)1627.閉路變形原理

復(fù)合閉路定理

一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末1631648.柯西積分公式一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.165

9.高階導(dǎo)數(shù)公式16610.調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)

任何在

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是

D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).167定理區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).

共軛調(diào)和函數(shù)168

三、典型例題例1

計(jì)算的值，其中C